Discussion:
funkcja rozniczkowalna..
(Wiadomość utworzona zbyt dawno temu. Odpowiedź niemożliwa.)
Torin
2005-06-18 09:11:10 UTC
Permalink
Witam

Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko jednym punkcie? (moze
byc nieciagla)

Myslalem nad tym dosc dlugo acz bezskutecznie.
Moze ktos z Was ma jakis pomysl? Lub wrecz rozwiazanie?

pozdrawiam
Torin
Marcin Kysiak
2005-06-18 09:25:00 UTC
Permalink
Post by Torin
Witam
Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko jednym punkcie? (moze
byc nieciagla)
Myslalem nad tym dosc dlugo acz bezskutecznie.
Moze ktos z Was ma jakis pomysl? Lub wrecz rozwiazanie?
f(x)=x^2 * D(x),

gdzie D(x) to funkcja Dirichleta, czyli funkcja charakterystyczna zbioru
liczb wymiernych.

Pozdrawiam
Marcin
Name
2005-06-18 16:30:06 UTC
Permalink
Post by Marcin Kysiak
Post by Torin
Witam
Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko jednym punkcie?
(moze byc nieciagla)
Myslalem nad tym dosc dlugo acz bezskutecznie.
Moze ktos z Was ma jakis pomysl? Lub wrecz rozwiazanie?
f(x)=x^2 * D(x),
gdzie D(x) to funkcja Dirichleta, czyli funkcja charakterystyczna
zbioru liczb wymiernych.
co to jest funkcja charakterystyczna zbioru i do czego sluzy?
Marcin Kysiak
2005-06-18 17:41:26 UTC
Permalink
Post by Name
co to jest funkcja charakterystyczna zbioru i do czego sluzy?
Funkcja przyjmująca wartość 1 w punktach należących do tego zbioru i
zero poza tym.

Pozdrawiam
Marcin
Andrzej Komisarski
2005-06-18 09:39:24 UTC
Permalink
Post by Torin
Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko jednym punkcie? (moze
byc nieciagla)
Z nieciągłą nie ma problemu:
f(x)= 0 dla x wymiernych
x^2 dla x niewymiernych

Z ciągłą trochę gorzej, ale też się da.
Niech g będzie dowolną funkcją ciągłą, nieróżniczkowalną w żadnym punkcie.
Określamy f(x)=g(x)x^2
--
Andrzej Komisarski
Adam Dzedzej
2005-06-22 12:20:01 UTC
Permalink
Post by Andrzej Komisarski
Post by Torin
Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko jednym punkcie? (moze
byc nieciagla)
f(x)= 0 dla x wymiernych
x^2 dla x niewymiernych
Z ciągłą trochę gorzej, ale też się da.
Niech g będzie dowolną funkcją ciągłą, nieróżniczkowalną w żadnym punkcie.
Określamy f(x)=g(x)x^2
Ale dlaczego x^2?
W obu przypadkach prościej jest wziąć x^1.
Wtedy dowód, że funkcja nie jest różniczkowalna nigdzie poza zerem jest chyba
bardziej elegancki.

To mamy już przykład jak konstruować funkcje ciągłe, różniczkowalne dokładnie
w n zadanych z góry punktach.
Wystarczy pomnożyć funkcję g jak wyżej
przez wielomian o zerach w tych punktach.

Zadanie 1.
Podać przykład funkcji różniczkowalnej dokładnie w punktach całkowitych/
naturalnych.

Zadanie 2.
Czy dla dowolnego ciągu nieskończonego istnieje funkcja ciągła, różniczkowalna
dokładnie w wyrazach tego ciągu?

Zadanie 3.
Scharakteryzować zbiory różniczkowalności funkcji ciągłych. A może jest jakiś
dobry odsyłacz?

Adam
--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/
Maciek
2005-06-22 12:50:01 UTC
Permalink
Post by Adam Dzedzej
Post by Andrzej Komisarski
Post by Torin
Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko
jednym punkcie? (moze byc nieciagla)
f(x)= 0 dla x wymiernych
x^2 dla x niewymiernych
Z ciągłą trochę gorzej, ale też się da.
Niech g będzie dowolną funkcją ciągłą, nieróżniczkowalną
w żadnym punkcie. Określamy f(x)=g(x)x^2
Ale dlaczego x^2?
W obu przypadkach prościej jest wziąć x^1.
Może prościej. Ale otrzymana funkcja nie będzie różniczkowalna
w zerze. Aby była różniczkowalna możesz wziąć x^j, gdzie j>1.
Wykładnik j może być dowolnie bliski jedności, jednakże *musi*
być od niej większy.
Post by Adam Dzedzej
To mamy już przykład jak konstruować funkcje ciągłe,
różniczkowalne dokładnie w n zadanych z góry punktach.
Wystarczy pomnożyć funkcję g jak wyżej
przez wielomian o zerach w tych punktach.
Zadanie 1.
Podać przykład funkcji różniczkowalnej dokładnie w punktach
całkowitych/naturalnych.
Pomnóż przez funkcję okresowo malejącą do zera. :-)
Oczywiście nie w dowolny sposób malejącą
(por. x^2 wcześniej)...




Maciek
Adam Dzedzej
2005-06-22 16:00:54 UTC
Permalink
Post by Maciek
Post by Adam Dzedzej
Ale dlaczego x^2?
W obu przypadkach prościej jest wziąć x^1.
Może prościej. Ale otrzymana funkcja nie będzie różniczkowalna
w zerze. Aby była różniczkowalna możesz wziąć x^j, gdzie j>1.
Wykładnik j może być dowolnie bliski jedności, jednakże *musi*
być od niej większy.
Niby dlaczego?
Funkcja g jest z założenia ciągła, więc
f'(0)=\lim_{h\to 0} (h*g(h)-0*g(0))/h = g(0)
Post by Maciek
Pomnóż przez funkcję okresowo malejącą do zera. :-)
Oczywiście nie w dowolny sposób malejącą
(por. x^2 wcześniej)...
To nie jest dość precyzyjna odpowiedź. Ja znam rozwiązanie
(nie jest bardzo trudne)

pozdrawiam
Adam
Maciek
2005-06-22 17:00:06 UTC
Permalink
Post by Adam Dzedzej
Post by Maciek
Post by Adam Dzedzej
Ale dlaczego x^2?
W obu przypadkach prościej jest wziąć x^1.
Może prościej. Ale otrzymana funkcja nie będzie różniczkowalna
w zerze. (....)
Funkcja g jest z założenia ciągła, więc
f'(0)=\lim_{h\to 0} (h*g(h)-0*g(0))/h = g(0)
Fakt. Przepraszam za pomyłkę.
Potęga wyższa od 1 niezbędna jest gdy g() nieciągła.

Wielokrotnie pojawiały się tu zadania podobnego rodzaju,
i często podawano rozwiązania wykorzystujące funkcję
Dirichleta oraz mnożnik x^2 - tak jak w odpowiedzi, której
autorowi wątku udzielił Marcin.
Stąd pewnie Andrzejowe x^2 (niekonieczne, niemniej poprawne)
i stąd mój pochopny (i zupełnie błędny) sprzeciw wobec x^1.
Post by Adam Dzedzej
Post by Maciek
Pomnóż przez funkcję okresowo malejącą do zera. (....)
To nie jest dość precyzyjna odpowiedź.
Na precyzyjną za wcześnie. Może ktoś jeszcze
jej nie zna, i chce sam sobie ją znaleźć...?
Post by Adam Dzedzej
Ja znam rozwiązanie
Ja też.
Z zastrzeżeniem, że nie umiem podać wzoru funkcji ciągłej,
nigdzie nie różniczkowalnej. Jesli jednak godzimy się, że
taka istnieje, to - jak Andrzej - nadam jej nazwę, i dalej
już z górki. Albo - jak Marcin - wezmę funkcję Dirichleta.
Post by Adam Dzedzej
(nie jest bardzo trudne)
Owszem. Wystarczy wyciągnąć wniosek z przykładu Andrzeja
i zastosować go do konstrukcji odpowiedniej funkcji-mnożnika.




Maciek
Mariusz Gromada
2005-06-22 20:20:05 UTC
Permalink
Post by Maciek
Post by Adam Dzedzej
Ja znam rozwiązanie
Ja też.
Z zastrzeżeniem, że nie umiem podać wzoru funkcji ciągłej,
nigdzie nie różniczkowalnej. Jesli jednak godzimy się, że
taka istnieje, to [...]
Udowodnił to chyba Weierstrass. Podejrzewam, że ciągłych
nieróżniczkowalnych w każdym punkcie jest więcej niż tych
różniczkowalnych - co również chyba udowodniono (Banach?).

Pozdrawiam,
Mariusz
Marcin Kysiak
2005-06-22 23:24:41 UTC
Permalink
Post by Mariusz Gromada
Udowodnił to chyba Weierstrass. Podejrzewam, że ciągłych
nieróżniczkowalnych w każdym punkcie jest więcej niż tych
różniczkowalnych - co również chyba udowodniono (Banach?).
Pytanie w jakim sensie więcej. Brutalnie, na moc zbioru to jest ich tyle
samo. Natomiast (AFAIR) zbiór nigdzienieróżniczkowalnych jest rezidualny
w C(R).

Pozdrawiam
Marcin
Andrzej Komisarski
2005-06-22 17:30:27 UTC
Permalink
Post by Adam Dzedzej
Post by Andrzej Komisarski
Post by Torin
Mam takie dosc ciekawe zadanie.
Jak stworzyc funkcje f:R -> R rozniczkowalna w tylko jednym punkcie? (moze
byc nieciagla)
f(x)= 0 dla x wymiernych
x^2 dla x niewymiernych
Z ciągłą trochę gorzej, ale też się da.
Niech g będzie dowolną funkcją ciągłą, nieróżniczkowalną w żadnym punkcie.
Określamy f(x)=g(x)x^2
Ale dlaczego x^2?
W obu przypadkach prościej jest wziąć x^1.
W drugim - tak. W pierwszym - nie.
Post by Adam Dzedzej
Zadanie 3.
Scharakteryzować zbiory różniczkowalności funkcji ciągłych. A może jest jakiś
dobry odsyłacz?
Zbiór jest zbiorem punktów różniczkowalności dla pewnej funkcji ciągłej
wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić jako przecięcie zbioru typu
F-sigma i zbioru typu F-sigma-delta pełnej miary Lebesgue'a.

Z. Zahorski, Punktmengen, in welchen eine stetige Funktion nicht
differenzierbar ist, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S. 9 (51)(1941),
487--510.
--
Andrzej Komisarski
Adam Dzedzej
2005-06-23 10:30:15 UTC
Permalink
Post by Andrzej Komisarski
Post by Adam Dzedzej
Ale dlaczego x^2?
W obu przypadkach prościej jest wziąć x^1.
W drugim - tak. W pierwszym - nie.
No tak.
Tym razem ja przepraszam, że się pospieszyłem. :)
Post by Andrzej Komisarski
Post by Adam Dzedzej
Zadanie 3.
Scharakteryzować zbiory różniczkowalności funkcji ciągłych. A może jest jakiś
dobry odsyłacz?
Zbiór jest zbiorem punktów różniczkowalności dla pewnej funkcji ciągłej
wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić jako przecięcie zbioru typu
F-sigma i zbioru typu F-sigma-delta pełnej miary Lebesgue'a.
Z. Zahorski, Punktmengen, in welchen eine stetige Funktion nicht
differenzierbar ist, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N. S. 9 (51)(1941),
487--510.
Ok. Dziękuję. :)

Adam
--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/
Loading...