On Tue, 16 Dec 2003 ***@poczta.onet.pl wrote:
> > Moje pytanie brzmi: co udowodnił Sierpiński?
>
> Wygrzebałem coś, ale niewiele rozumiem. Podejrzewam jednak, że to może być to.
> Jest tam mowa o efektywnym wyborze jakiejś rodziny. Może ktoś przetłumaczy?
Spróbuję.
> Sierpi\'nski, W.
> Sur quelques problèmes concernant les suites infinies d'ensembles infinis de
> nombres naturels. (French)
> J. Indian Math. Soc. (N.S.) 24 1960 551--555 (1961).
>
> $N$ étant l'ensemble des nombres naturels, soient $PN$ la famille des sous-
> ensembles de $N$ et $F\subset PN$; $kF\geq\boldsymbol\aleph_0$; si les éléments
> de $F$ ont deux à deux au plus un point commun existe-t-il un $M\subset N$ tel
> que $1=k(M\cap X)$ pour tout $X\in F$? Pas nécessairement, même si
> $kF=\boldsymbol\aleph_0$ et si l'on demande que $m\in N$ et $1\leq k(M\cap X)<m
> (X\in F)$. Si $kF=\boldsymbol\aleph_0$ [respectivement, $kF>\boldsymbol\aleph_0
> $], il existe [il n'existe pas nécessairement] un $M\subset N$ tel que $0<k
> (M\cap X)<\boldsymbol\aleph_0$ pour chaque $X\in F$. On ne sait pas [on sait]
> définir effectivement une famille non dénombrable pareille $F$ et un $M\subset
> N$ tels qu'il n'y ait aucun $m\in N$ vérifiant $0<k(M\cap X)<m$
> [respectivement, $k(M\cap X)=1$] pour chaque $X\in F$. ($kX$ veut dire:
> puissance de $X$.)
>
> Reviewed by D. Kurepa
Sierpiński, W.
O kilku problemach dotyczących ciągów podzbiorów nieskończonych N.
Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych, PN rodziną jego podzbiorów, zaś
F nieskończonym podzbiorem PN. Jeśli każde dwa elementy F mają punkt
wspólny (* co najmniej jeden? dokładnie jeden?), to czy istnieje M będące
podzbiorem N, że |M\cap X|=1 dla każdego X\in F? Niekoniecznie, nawet
jeśli założymy przeliczalność F i nawet, gdy ograniczymy żądania do tego,
by istniała liczba naturalna m, dla której zachodzi 1 <= |M \cap X| < m
dla X\in F. Jeśli |F|=\aleph_0 [odpowiednio, |F|>\aleph_0], istnieje [nie
istnieje] M\subset N taki, że 0<|M\cap X|<\aleph_0 dla każdego X\in F. Nie
potrafimy [potrafimy] zdefiniować efektywnie nieprzeliczalnej rodziny typu
F (** podobnej do F? - cokolwiek by to miało znaczyć) i M\subset N takich,
by nie istniała liczba m\in N, dla której zachodzi 0<|M\cap X|<m|
[odpowiednio, |M\cap X|=1] dla każdego X\in F ($kX$ oznacza moc zbioru
$X$.).
Czy to ma sens?
Nie wiem, co myśleć o *. Jeśli dopuścić wiele punktów przecięcia elementów
zbioru F, to za F wystarczy wziąć F={{i\in N : i>n} : n\in N}, co jest
podejrzanie trywialne.
Praca zdaje się być bardzo blisko związana z pewnikiem wyboru, ale z
topologią już nie. Może być tak, że skonstruowany przez Sierpińskiego ciąg
F będzie bardzo "nieporządny".
Pozdrawiam
Krzysztof Dulęba