Suma zbiorów brzegowych domkniętych

[Katarzyna Zdanowicz]

Witam.
Jest jedno twierdzenie, które mnie męczy od jakiegoś czasu, bo było
używane do iluś dowodów których się ostatnio uczyłam, a samego
twierdzenia dowodu nigdzie nie znalazłam i nie umiem wygenerować.

Twierdzenie jest o tym, że przeliczalna suma zbiorów brzegowych
domkniętych jest zbiorem brzegowym. Chyba... Możliwe, że ma jeszcze w
założeniu, że przestrzeń jest zupełna.
Googiel wyrzucił mi na to tylko tw. Baire'a, że ta suma jest różna od
całej przestrzeni.

I ja teraz nie wiem, czy wykładowca się pomylił, czy ja coś źle
przepisałam... Więc bardzo proszę o informacje, jak to twierdzenie
naprawdę brzmi i czyje jest, ewentualnie o namiary na dowód.

Z góry dzięki.

[bo]

Post by Katarzyna Zdanowicz
Witam.
Jest jedno twierdzenie, które mnie męczy od jakiegoś czasu, bo było
używane do iluś dowodów których się ostatnio uczyłam, a samego
twierdzenia dowodu nigdzie nie znalazłam i nie umiem wygenerować.
Twierdzenie jest o tym, że przeliczalna suma zbiorów brzegowych
domkniętych jest zbiorem brzegowym. Chyba... Możliwe, że ma jeszcze w
założeniu, że przestrzeń jest zupełna.
Googiel wyrzucił mi na to tylko tw. Baire'a, że ta suma jest różna od
całej przestrzeni.

Ach gdzie te czasy....
"twierdzenie Baire'a mowi ze w przestrszeni zupelnej suma przeliczalnej
ilosci zbiorow nigdziegestych jest zbiorem brzegowym"....
o malo nie oblalem topologi, bo mi sie pustka w glowie zrobila,
gdyProferor Moszner mnie o to zapytal.. ale jakims cudem przypomnialem sobie
dowod...

Post by Katarzyna Zdanowicz
I ja teraz nie wiem, czy wykładowca się pomylił, czy ja coś źle
przepisałam... Więc bardzo proszę o informacje, jak to twierdzenie
naprawdę brzmi i czyje jest, ewentualnie o namiary na dowód.

A w pliku
www.im.uj.edu.pl/JoannaOrewczyk/varia.pd
jest zadanie ktore brzmi...
pokazac, ze nigdziegestych nie mozna zamienic na "brzegowych"...

Post by Katarzyna Zdanowicz
Z góry dzięki.

Pozdrowienia

boguslaw

[bo]

[...]

Post by bo
A w pliku
www.im.uj.edu.pl/JoannaOrewczyk/varia.pd
jest zadanie ktore brzmi...
pokazac, ze nigdziegestych nie mozna zamienic na "brzegowych"...

Acha... ale nei ma ze nie mozna zamienic na
"domknietych brzegowych",
wiec trzeba sprawdzic podobnie jak w dowodzie tw Baire'a
czy w kazdej kuli mozna wskazac punkt NIe NALEZACY DO ZBIORU..

pRZY ZBIORACH NIGDZIEGESTYCH JEST TO LATWE,
bo tam mozna wskazac KULE ktorej ZADEN punkt nie
nalezy do zbioru, wiec ustawiamy zbiory w ciag,
i w kazdej kuli wskazujemy kule i poniewaz przestrzen jest zupelna ciago
ow ma niepusteprzeciecie..

Boguslaw

[Katarzyna Zdanowicz]

Dzięki.
Że na brzegowe bez innych założeń nie działa, to akurat jest proste... Q
i R/Q na przykład. :)

Tylko właśnie brzegowe domknięte jest problem, bo ani nie mogę znaleźć
dowodu ani kontrprzykładu.

No i teza podana na wykładzie była wyraźnie mocniejsza, wynik miał być
brzegowy. Aczkolwiek z tego i tak nie korzystaliśmy, o ile pamietam.

[bo]

Post by Katarzyna Zdanowicz
Dzięki.
Że na brzegowe bez innych założeń nie działa, to akurat jest proste... Q
i R/Q na przykład. :)
Tylko właśnie brzegowe domknięte jest problem, bo ani nie mogę znaleźć
dowodu ani kontrprzykładu.
No i teza podana na wykładzie była wyraźnie mocniejsza, wynik miał być
brzegowy. Aczkolwiek z tego i tak nie korzystaliśmy, o ile pamietam.

no bo suma nigdziegestych daje brzegowy.... Boguslaw

nalezy sprawdzic czy sienie pomylilem
brzegowy I domkniety => nigdziegesty

Boguslaw

[bo]

Post by Katarzyna Zdanowicz
Witam.
Jest jedno twierdzenie, które mnie męczy od jakiegoś czasu, bo było
używane do iluś dowodów których się ostatnio uczyłam, a samego
twierdzenia dowodu nigdzie nie znalazłam i nie umiem wygenerować.
Twierdzenie jest o tym, że przeliczalna suma zbiorów brzegowych
domkniętych jest zbiorem brzegowym. Chyba... Możliwe, że ma jeszcze w
założeniu, że przestrzeń jest zupełna.
Googiel wyrzucił mi na to tylko tw. Baire'a, że ta suma jest różna od
całej przestrzeni.
I ja teraz nie wiem, czy wykładowca się pomylił, czy ja coś źle
przepisałam... Więc bardzo proszę o informacje, jak to twierdzenie
naprawdę brzmi i czyje jest, ewentualnie o namiary na dowód.
Z góry dzięki.

Po spokojnym przemysleni usprawy w miejscu sprzyjajacym medytacji,
doszedlem do wniosku, ze brzegowy zbior DOMKNIETY jest nigdziegesty.
(ale na odwrot niekoniecznie)..

Wiec poszukiwany dowod znalazly nasze google...

/*
bo jesli jest domkniety, to jego dopelnienie jest otwarte,
w kazdej kuli o srodku w zbiorze brzegowym,
istnieje punkt ne nalezacy do tego zbioru...
a poniewaz dopelnienie jest otwarte kula ta zawiera KULE,
do ktorej nienalezy ZADEN punkt naszego zbioru...
wic zbior jest nigdziegesty */

No ale moze na starosc mi sie cos pomylilo...

Boguslaw

[Katarzyna Zdanowicz]

Post by bo
Po spokojnym przemysleni usprawy w miejscu sprzyjajacym medytacji,
doszedlem do wniosku, ze brzegowy zbior DOMKNIETY jest nigdziegesty.
(ale na odwrot niekoniecznie)..

O w mordę jeża, faktycznie! Nie wiem czemu nigdziegęsty wyobrażałam
sobie jako takie oddzielne kropki... Aha, pewnie dlatego, że nigdzie
mnie nie uczyli takiego pojęcia jak nigdziegęsty. :)

Post by bo
Wiec poszukiwany dowod znalazly nasze google...

:D
Mój dowodu nie znalazł, tylko twierdzenie... Ale ja chyba mam dowód
nawet na to, że suma przy tych założeniach jest brzegowa, późneij go
napiszę.

[Mateusz Kwasnicki]

Post by Katarzyna Zdanowicz
Twierdzenie jest o tym, że przeliczalna suma zbiorów brzegowych
domkniętych jest zbiorem brzegowym. Chyba... Możliwe, że ma jeszcze w
założeniu, że przestrzeń jest zupełna.
Googiel wyrzucił mi na to tylko tw. Baire'a, że ta suma jest różna od
całej przestrzeni.

Twierdzenie Baire'a o kategoriach (tak brzmi nazwa tego twierdzenia)
mowi, ze kazdy przestrzen zupelna jest drugiej kategorii Baire'a.

Zbior nazwyamy drugiej kategorii Baire'a, gdy nie jest pierwszej
kategorii Baire'a.

Zbior nazywamy pierwszej kategorii Baire'a, gdy jest suma przeliczalnie
wielu zbiorow nigdziegestych.

Zbior nazywamy nigdziegestym, gdy jego domkniecie jest zbiorem
brzegowym.

Zbiory domkniete i brzegowe w oczywisty sposob sa nigdziegeste.

Teze tw. Baire'a latwo wzmocnic do: podzbior o niepustym wnetrzu
przestrzeni zupelnej jest drugiej kategorii Baire'a. Stad oczywiscie
wynika, ze zbiory pierwszej kategorii sa brzegowe.

Twierdzenie Baire'a o kategoriach jest jednym z najwazniejszych
twierdzen topologii metrycznej. Jego zastosowania w roznych dzialach
matematyki trudno zliczyc.

[Katarzyna Zdanowicz]

Dzięki za wyczerpującą odpowiedź.

Post by Mateusz Kwasnicki
Twierdzenie Baire'a o kategoriach jest jednym z najwazniejszych
twierdzen topologii metrycznej.

Czyli chyba powinnam je była lepiej pamiętać...