rownomierne rozmieszczenie punktow na pow. kuli

[m***@gmail.com]

Witam,

W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

Bardzo prosze o chociaz nakierowanie mnie na temat. Gdzie moge szukac
informacji. Dawno nie zajmowalem sie matematyka i wyszedlem z
wprawy :)

Z gory dzieki
Marek

[Ensitherum]

Post by m***@gmail.com
W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

wszystkie mogą być w jednakowej odległości tylko dla 2, 3 lub 4 punktów.
dla większej ilości można rozważać np najbliższe punkty oraz dodatkowo
nałożyć warunek równych kątów między odcinkami utworzonymi przez
rozpatrywany punkt oraz jego najbliższych sąsiadów.

Post by m***@gmail.com
Bardzo prosze o chociaz nakierowanie mnie na temat. Gdzie moge szukac
informacji. Dawno nie zajmowalem sie matematyka i wyszedlem z
wprawy :)

poszukaj w wikipedii pod hasłem : wielościan foremny i wielościan
półforemny.

[Ensitherum]

ps. niektóre wielościany Johnsona wydają się być opisywalne na kuli a
równocześnie ich krawędzie mają tę samą długość, choć do intuicyjnie
rozumianego regularnego rozmieszczenia wierzchołków już im daleko:)

http://en.wikipedia.org/wiki/Johnson_solid

[maziek]

Post by Ensitherum
wszystkie mogą być w jednakowej odległości tylko dla 2, 3 lub 4 punktów.
dla większej ilości można rozważać np najbliższe punkty oraz dodatkowo
nałożyć warunek ...

Zależnie od zdefiniowania tej "jednakowej odleglości" w grę mogłyby wchodzić
również wielościany półforemne jak np. "piłka futbolowa" czyli
dwudziestościan ścięty itp.

--
ukłony, maziek

[Antek Laczkowski]

Post by Ensitherum
wszystkie mogą być w jednakowej odległości tylko dla 2, 3 lub 4 punktów.
dla większej ilości można rozważać np najbliższe punkty oraz dodatkowo
nałożyć warunek równych kątów między odcinkami utworzonymi przez
rozpatrywany punkt oraz jego najbliższych sąsiadów.

Jak rozmieścisz 4 punkty? W 3D? Nawiązuję do mojego twierdzenia,
może moderator puści to razem, chodzi mi o to, że tylko 3 punkty
możliwe są w 3D. Ale teraz się zastanowiłem: Czy to przypadkiem
nie zależy od metryki? Ty już piszesz o tym trochę,
może da się uogólnić?

Antek

[WM]

Post by Antek Laczkowski
Jak rozmieścisz 4 punkty? W 3D?

Czworościan foremny i opisana na nim wspólśrodkowa sfera nie pasuje?

Umieszczenie Więcej jak czterech punktów, zapewne wymaga
umieszczenia sprytnie dziur w sferze wymuszajacych omijanie.

WM

[Jakub Wróblewski]

Witam,

Post by Antek Laczkowski
Jak rozmieścisz 4 punkty? W 3D? Nawiązuję do mojego twierdzenia,
może moderator puści to razem, chodzi mi o to, że tylko 3 punkty
możliwe są w 3D. Ale teraz się zastanowiłem: Czy to przypadkiem
nie zależy od metryki?

Oczywiście zależy. W metryce dyskretnej wszystkie punkty przestrzeni są
jednakowo odległe.

Pozdrawiam,
Jakub Wróblewski

[Antek Laczkowski]

Post by m***@gmail.com
Witam,

Post by Antek Laczkowski
Jak rozmieścisz 4 punkty? W 3D? Nawiązuję do mojego twierdzenia,
może moderator puści to razem, chodzi mi o to, że tylko 3 punkty
możliwe są w 3D. Ale teraz się zastanowiłem: Czy to przypadkiem
nie zależy od metryki?

Oczywiście zależy. W metryce dyskretnej wszystkie punkty przestrzeni są
jednakowo odległe.

No tak. Ale to "zboczona" metryka :) Miałem na myśli metryki,
w których odległość przybiera wartości rzeczywiste, nie tylko dwie, {0,1}.

Wycofuję się z też twierdzenia, że ilość punktów nie może przekroczyć
wymiaru przestrzeni. Wspomniany przez WM czworościan, albo zwykły trójkąt
równoboczny wpisany w okrąg kładzie twierdzenie dla metryki pitagorejskiej.
A w metryce "miejskiej", tzn. odległość = |dx| + |dy| już na płaszczyżnie
można znaleźć 4 punkty (wierzchołki kwadratu, będącego okręgiem w tej
metryce).

Jak to pozory mogą zmylić!

Pozdrowienia - Antek

[Maciej Woźniak]

Post by Ensitherum

Post by m***@gmail.com
W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

wszystkie mogą być w jednakowej odległości tylko dla 2, 3 lub 4 punktów.
dla większej ilości można rozważać np najbliższe punkty oraz dodatkowo
nałożyć warunek równych kątów między odcinkami utworzonymi przez
rozpatrywany punkt oraz jego najbliższych sąsiadów.

A wtedy można wszystkie punkty umieścić na jednym
kole wielkim.

[Marcin Gryszkalis]

Post by m***@gmail.com
W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

Tak sobie myślę...
Dla 8 jest to względnie łatwe, po prostu określasz kostkę (sześcian) wpisaną
w kulę.
Analogicznie dla 4 (czworościan foremny), 6 (ośmiościan foremny), 12
(dwudziestościan) i "symetrycznie" 20 (dwunastościan)
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielościan_foremny

Natomiast nie mam pojęcia co z 10 punktami :) cytując za wiki
"W geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć
wielościanów foremnych."


pozdrawiam

[H.D.]

Post by m***@gmail.com
Bardzo prosze o chociaz nakierowanie mnie na temat. Gdzie moge szukac
informacji. Dawno nie zajmowalem sie matematyka i wyszedlem z
wprawy :)

Nie podales czy to ma byc rozwazanie teoretyczne czy rozwiazanie praktyczne.

Najprostszym rozwiazaniem jest:
1. zapisanie tych punktow w przyjetym systemie współrzednych.
2. Wyliczenie odleglosci miedzy nimi.
3. Okreslenie funkcji celu ( bledu)
4. "uruchomienie" programu optymalizacji funkcji celu.

Kazdy z tych punktow jest praktycznie osobnym zagadnieniem,
do ktorego potrzebna jest pewna wiedza znajdujaca sie w roznych
podrecznikach.
Pytanie:
Ktory z tych punktow wiesz jak realizowac a do ktorego potrzebujesz
podpowiedzi?

Pozdrawiam
H.D.

[Antek Laczkowski]

Post by m***@gmail.com
Witam,
W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

8 wydaje się łatwe: wpisz 8-scian foremny w kulę i przedłużenia
od środka kuli do środków boków powinny wyznaczyć szukane punkty.
Ale nie, bo nie *wszystkie* punkty są jednakowo odległe.
Umiem rozmieścić 2 lub 3 punkty.

Stawiam takie twierdzenie:
"Ilość punktów, jak w temacie, nie przekracza wymiaru przestrzeni"
Np. dla okręgu są to 2 punkty.

Nad dowodem, lub zaprzeczeniem, muszę pomyśleć.

Pozdrowienia - Antek

[Pedro]

On Tue, 29 Apr 2008 07:43:32 CST, "Antek Laczkowski"

Post by Antek Laczkowski

Post by m***@gmail.com
Witam,
W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

8 wydaje się łatwe: wpisz 8-scian foremny w kulę i przedłużenia
od środka kuli do środków boków powinny wyznaczyć szukane punkty.

Nie prościej wpisać w tę kulę po prostu sześcian i wybrać wierzchołki
tego sześcianu?

Post by Antek Laczkowski
Ale nie, bo nie *wszystkie* punkty są jednakowo odległe.

Etam. Myślę, że tę "równą odległość" należy potraktować jako skrót
myślowy. Chodzi raczej o takie rozmieszczenie tych punktów, by ich
"otoczenie" (nie podejmuję się zdefiniowania owego otoczenie) na tej
kuli zajmowało taką samą powierzchnię.

Post by Antek Laczkowski
Umiem rozmieścić 2 lub 3 punkty.
"Ilość punktów, jak w temacie, nie przekracza wymiaru przestrzeni"
Np. dla okręgu są to 2 punkty.
Nad dowodem, lub zaprzeczeniem, muszę pomyśleć.

Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg wystarczy?

[Maciej Marek]

Post by Pedro
Etam. Myślę, że tę "równą odległość" należy potraktować jako skrót
myślowy.

Też mi się tak wydaje.

Proponuję następującą formalizację zadania: wyznaczyć położenie
N punktów na sferze jednostkowej tak, by energia tego zbioru punktów
była jak najmniejsza. Energię E zbioru punktów {p_k: k=1,N} na sferze
definiujemy jako (pseudo TeX):

E = 1/2 \sum_{i,j,i=/=j} 1/r_ij,

gdzie r_ij jest odległością punktów p_i i p_j. Innymi słowy,
bierzemy wszystkie pary punktów i sumujemy odwrotności ich
odległości (euklidesowe, bądź mierzone "po sferze").

Mam nadzieję, że matematycy nie obrażą się na tak
"fizyczne" sformułowanie. ;-) Swoją drogą zadanie
ma określoną fizyczną interpretację, bo jest równoważne
pytaniu o równowagowy rozkład N elektronów na powierzchni
przewodzącej kuli.


Pozdrawiam
Maciej Marek

[Ensitherum]

albo zamiast bawić się w optymalizację jakiejś funkcji pójść na żywioł i
po prostu odpalić dynamiczny model N magnesów oddziałujących na siebie z
siłą proporcjonalną np do kwadratu odległości, oczywiście w metryce po
sferze. jakiś stan stabilności zostanie wreszcie osiągnięty.

[Ensitherum]

ps: oczywiście chodziło mi o odwrotność kwadratu odległości:)

[Antek Laczkowski]

Post by Maciej Marek
Proponuję następującą formalizację zadania: wyznaczyć położenie
N punktów na sferze jednostkowej tak, by energia tego zbioru punktów
była jak najmniejsza. Energię E zbioru punktów {p_k: k=1,N} na sferze
E = 1/2 \sum_{i,j,i=/=j} 1/r_ij,
gdzie r_ij jest odległością punktów p_i i p_j. Innymi słowy,
bierzemy wszystkie pary punktów i sumujemy odwrotności ich
odległości (euklidesowe, bądź mierzone "po sferze").

I zrobić symulację, jak proponuje Ensitherum.

Widzę tutaj 2 trudności, związane ze sobą:
1) w okolicy minimum przestrzeń położeń stanie się bardzo "płaska".
Niby można ją przybliżyć paraboloidą, ale dla np. 5 punktów masz
prawie płaską, 10-wymiarową, przestrzeń. Jak unikniesz sytuacji,
gdy punkty będą się "ślizgać" po powierzchni, zachowując odległości?
No dobrze, jeden z nich można umocować np. w [1,0,0]. Ale i tak
pozostałe N-1 chce się obracać.
2) jaką wielkość uśredniać? Bo nie położenie, z wyżej podanego powodu?
Może odległość? (dla 5 punktów pewnie powstałaby 2-garbna krzywa)?
Dla większej ilośći punktów szybko wpada się w "pułapkę N-wymiarów",
gdzie nie wiadomo, czy jest się w globalnym, czy lokalnym minium.
Jeszcze gorzej, nie ma jednego minimum, tylko pokręcona linia w (2N-2)
wymiarach, która odpowiada obrotowi N-1 punktów.

Czarno to widzę :)

Antek

[Marcin Gryszkalis]

Post by Pedro

Post by Antek Laczkowski
Ale nie, bo nie *wszystkie* punkty są jednakowo odległe.

Etam. Myślę, że tę "równą odległość" należy potraktować jako skrót
myślowy.

Gdyby traktować zadanie literalnie "wszystkie jednakowo odległe",
to działałoby rozwiązanie "zdegenerowane" działające dla dowolnej dodatniej
ilości punktów, gdzie wszystkie punkty mają takie same współrzędne
(odległość=0)...

pozdrawiam

[maziek]

Post by Antek Laczkowski
"Ilość punktów, jak w temacie, nie przekracza wymiaru przestrzeni"
Np. dla okręgu są to 2 punkty.

IMO dka 3d kuli wierzchołki czworościanu foremnego wpisanego spełnią
najostrzej postawione warunki jednakowej odległości.

[Ensitherum]

Post by Antek Laczkowski
Umiem rozmieścić 2 lub 3 punkty.

w czworościanie foremnym (na którym oczywiście można opisać kulę) każdy
z 4. wierzchołków jest jednakowo oddalony od trzech pozostałych.

[Kasia D.]

Post by m***@gmail.com
W jaki sposob wyznaczyc polozenie np. 8 punktow na powierzchni kuli
taki aby byly w jednakowej odleglosci od siebie? Podobnie dla 10
punktow etc ...

Jesli dobrze rozumiem pytanie, to tu:
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/spheres.html
jest niezla kolekcja linkow na ten i pokrewne tematy.