Jak scałkować sin(x^2)/lnx + anegdotka.

[witalis]

Jak mozna scalkowac
sin(x^2)/ln(x) ?

a teraz anegdotka:

Pewien doktorant w NY jechal metrem i zirytowany jakas calka wykrzyknal "jak
do cholery rozwiazac te calke?". Wspolpasazer zainteresowal sie sprawa i po
chwili podal rozwiazanie.

No ale nie kazdy ma przyjemnosc podróżować z noblistą Feynmannem :)))

z gory dzieki za odpowiedz
Jakub

[Marloc]

obawiam sie ze nia ma to pierwotnej elementarnej tak mi przynajmniej
wychodzi z szeoko pojetego "kombinowania" nawet sinus i logarytm calkowy tu
nie pasuja :(

zawsze mozesz ztablicowac wartosci i nazwac calka swoim imieniem :)) -
Dirac'owi sie to udalo :)

[witalis]

Post by Marloc
nia ma

W takim razie pytanie jeszcze trudniejsze (prostsze?), do ktorej calka byla
mi potrzebna:
***************************
ozn:
{ - calka
{(x,y) - calka oznaczona od x do y

Udowodnij, ze:
lim n->oo {(n, n+100) sin(x^2)/ln(x) dx = 0
***************************

Post by Marloc
zawsze mozesz ztablicowac wartosci i nazwac calka swoim imieniem :)) -

Tak! To by bylo cos! Calka Marloca-Witalisa (licze ze wymyslimy:))

Gdyby ktos mial pomysl, prosze jeszcze dzis o odpowiedz.
Z gory wielkie DZIEKUJE

Jakub

[witalis]

Post by witalis
Gdyby ktos mial pomysl, prosze jeszcze dzis o odpowiedz.

o podopowiedz

[Marloc]

a zrob to zadanko tak:

zgodnie z def. F(x) jest f. pierwotna dla f(x) gdy F'(x) = całka(a, x)
f(t)dt = f(x)

wiec teraz przerzuc dx na lewa strone i z de'Hospitala masz lim (x -> oo)
sin(x^2) / ln (x)

ten limes jest juz latwo policzyc i rowna sie 0.

[witalis]

Marloc wrote:

Wybacz, nie bardzo rozumiem. Czy moglbys napisac co oznacza t, f(x) F(x) dla
tego zadania. czy t to cale wyrazenie w calce? co znaczy przezucic dx na
lewa strone? Gdzie tu jest calka oznaczona?

Z gory dziekuje.

[Marloc]

o ile to jeszcze istotne (wczoraj juz spalem ;)) - chodzilo mi o
przedstawienie calki z f(x) = sin(x^2)/ln(x) w postaci funkcji pierwotnej
F(x) (jest klasy C wiec nie ma problemu), z def masz, ze F'(x) = calka(a, x)
f(t)dt - "t" to pewna zmienna lokalna, nie wazna w zadaniu - ale ta calka
mozesz rozpisac jako d/dx F(x) = f(x) - f(a) teraz ponmoz to przez dx i masz
dF(x) = f(x) dx - f(a) dx. I teraz: F(x) - nie mozesz policzyc, ale
rozniczke dF(x) znasz, z tego co pamietam jesli liczysz jakas granice w
zerze albo nieskonczonosci to z reguly de'Hospitala mozesz liczyc granice
pochodnej i tez wyjdzie dobrze. Dla calki oznaczonej od n do n+100 masz
dF(x) = f(n+100)dx - f(n) - widac tutaj analogie to poprzednie wzoru na
funkcje pierwotna, wiec przy lim n->oo mozesz opuscic calke. Nie jestem na
100% pewny czy tak jest wszystko poprawnie - ale ja by to tak zrobil.

[Marloc]

Post by Marloc
dF(x) = f(n+100)dx - f(n)

sorki tu po winno byc: F(x) = f(n+100)dx/d - f(n)dx/d

[witalis]

Post by Marloc
o ile to jeszcze istotne (wczoraj juz spalem ;)) - chodzilo mi o

Istotne o ile matematyka jest istotna :) wczoraj mialem egzamin, wiec
na nim sie nie przydalo. BTW. na egzaminie ze stresu popsulem calke
x^2*lnx :) napisalem {lnx=1/x lol ja gupi

Post by Marloc
calka mozesz rozpisac jako d/dx F(x) = f(x) - f(a) teraz ponmoz to przez
dx i masz

Takiego manweru to nie znalem. Slabo lapie jeszcze zapis z dxamy. Ale sposob
zprytny, jak mnie nie wyleja bede go stosowal.
Bardzo dziekuje za wyczerpujaca odpowiedz. Mysle ze zrozumialem.
Pozdrawiam
Jakub

[Maciek]

Post by witalis

(.....)

W takim razie pytanie jeszcze trudniejsze (prostsze?),
***************************
{ - calka
{(x,y) - calka oznaczona od x do y
lim n->oo {(n, n+100) sin(x^2)/ln(x) dx = 0
***************************

A co powiesz o wartosciach takich calek:

A(n) = \int_n^{n+100} 1 dx
B(n) = \int_n^{n+100} 1/sqrt(x) dx

i o ich granicy:

lim_{n -> oo} A(n)
lim_{n -> oo} B(n)

...?


Maciek

[witalis]

Post by Maciek

Post by witalis
lim n->oo {(n, n+100) sin(x^2)/ln(x) dx = 0
***************************

A(n) = \int_n^{n+100} 1 dx
B(n) = \int_n^{n+100} 1/sqrt(x) dx

Nie rozumiem texowego zapisu :(
limA = 0
limB = 0
to tak na oko, bo przeciez im dalej tym mniej sie zmiejszaja.
Czy dobrze mysle? Ale tego nie mozna zapisac...

Jakub

[Marek]

Post by witalis
W takim razie pytanie jeszcze trudniejsze (prostsze?), do ktorej calka byla
***************************
{ - calka
{(x,y) - calka oznaczona od x do y
lim n->oo {(n, n+100) sin(x^2)/ln(x) dx = 0
***************************

Hint1: calka na przedziale (x,y) z funkcji f jest niewieksza niz supremum
wartosci tej funkcji * dlugosc przedzialu
Hint2: jesli f(x)<g(x) na przedziale, to ich calki na tym przedziale rowniez
spelniaja \int f(x) < \int g(x)
Hint3: niektorych funkcji supremum na przedziale latwo znalezc, bo sa
monotoniczne


Marek