Definicja pary uporządkowanej

[Damian Sobota]

Witam!



Kazimierz Kuratowski zdefiniował parę uporządkowaną w następujący sposób:

<a,b> := {{a},{a,b}}.

Zastanawiam się, dlaczego przyjął taką a nie inną definicję. W ten sposób
niekażda para jest zbiorem dwuelementowym: jeśli a=b, to mamy zbiór 1-elementowy:

<a,b> = <a,a> = {{a},{a,a}} = {{a},{a}}={{a}}.


Dlaczego zatem nie przyjęto definicji prostszej:

<a,b> := {a,{b}}?

Wtedy, jeżeli a=b, to dalej mamy zbiór 2-elementowy o wyróżnionym explicite
poprzedniku i następniku:

<a,b> = <a,a> = {a,{a}}.


Dla przypadku a=b definicja Kuratowskiego nie jest już tak naturalna (jest
wręcz enigmatyczna).



AFAIK, zwyczajowo przyjmuje się następującą rekurencyjną definicję krotek
n-elementowych (n-tek, ciągów n-elementowych):

<a1,a2,a3> := <a1,<a2,a3>>
<a1,a2,a3,...,an> := <a1,<a2,a3,...,an>>


Niech n=3. Przyjmując definicję K. Kuratowskiego otrzymujemy taką oto
nieczytelną definicję 3-ki (nie mówiąc już o n-tkach, gdy n>3):

<a,b,c> = {{a},{a,{{b},{b,c}}}}.

Jeżeli zaś a=b=c, to mamy sytuację jeszcze gorszą (mnogość nawiasów!):

<a,b,c> = <a,a,a> = {{a},{a,{{a},{a,a}}}} = {{a},{a,{{a},{a}}}} =
{{a},{a,{{a}}}}.


W przypadku definicji: <a,b> := {a,{b}}, zapis jest zgrabniejszy:

<a,b,c> = {a,{b,{c}}}.

Jeżeli a=b=c, to mamy:

<a,b,c> = <a,a,a> = {a,{a,{a}}}

i cały czas wszystko jest czytelne.


Definicja K. Kuratowskiego nie pozwala na definicję ciągów 1-elementówych (<a>
:= ?). Definicja prostsza zaś umożliwia to w sposób naturalny:

<a> := {a}.

(Ciąg 1-elementowy można zatem utożsamiać z singletonem). I dalej, zbiór pusty
to będzie ciąg 0-elementowy:

< > := {}.


Definicja ciągu 0-elementowego przydaje się do zdefiniowania pojęcia słowa
pustego. Słowa bowiem możemy definiować jako ciągi n-elementowe (wtedy słowo
puste jest ciągiem pustym, a zatem zbiorem pustym).


Powtórzę zatem pytanie: dlaczego K. Kuratowski zdefiniował parę uporządkowana
w taki a nie inny sposób?

(BTW, w jakiej pracy Kuratowski poraz pierwszy podał ową definicję?)


Pozdrawiam,
Damian Sobota.

[Michal Przybylek]

Post by Damian Sobota
<a,b> := {{a},{a,b}}.

Zadajesz niewlasciwe pytanie. Teoria mnogosci nie daje nam jezyka, do
definiowania pojec w czystej formie - do definiowania tylko i wylacznie tego
co chcemy zdefiniowac. Musimy przyjac zawsze jakis dodatkowy balast
konkretnej realizacji danego pojecia.

Wiec na pytanie "dlaczego tak", odpowiedz jest "bo jakos musial". Obecnie
inna powszechnie stosowana definicja pary to:

<a, b> := {a, {a, b}}

Tak samo dobra jak poprzednia i z matematycznego punktu widzenia rownowazna.

Pierwsza definicja ma te dobra wlasnosc, ze elementami pary sa zbiory.
Druga, ze elementy pary sa zawsze dwa.

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}}?

Ta definicja, choc ciekawa, nie zgadza sie z intuicja pary uporzadkowanej:

<{a}, b> = {{a}, {b}} = <{b}, a>


mp

[Damian Sobota]

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}}?

<{a}, b> = {{a}, {b}} = <{b}, a>

No tak! Dzieki. ;)


DS.

[Tomasz Dryjanski]

Post by Damian Sobota

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}}?

Ta definicja, choc ciekawa, nie zgadza sie z intuicja pary
<{a}, b> = {{a}, {b}} = <{b}, a>

No tak! Dzieki. ;)

Hm... Mimo wszystko przy takiej definicji
<a, b> ~= <b, a>
więc czemu się nie zgadza?

T. D.

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Tomasz Dryjanski

Post by Damian Sobota

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}}?

Ta definicja, choc ciekawa, nie zgadza sie z intuicja pary
<{a}, b> = {{a}, {b}} = <{b}, a>

No tak! Dzieki. ;)

Hm... Mimo wszystko przy takiej definicji
<a, b> ~= <b, a>
więc czemu się nie zgadza?
T. D.

Dlatego, że dla a =/= b dostałeś:

< * a> = <# b>

Gdy dwie pary są równe, to ich
poprzedniki powinny być równe,
i także ich następniki. Ale tu nie są.

Włodek

[Michal Przybylek]

Post by Tomasz Dryjanski

Post by Damian Sobota

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}}?

Ta definicja, choc ciekawa, nie zgadza sie z intuicja pary
<{a}, b> = {{a}, {b}} = <{b}, a>

No tak! Dzieki. ;)

Hm... Mimo wszystko przy takiej definicji
<a, b> ~= <b, a>
więc czemu się nie zgadza?

Bo to nie jest "para" tylko "stan splątany". Brakuje Ci porządnych
projekcji - wkładasz królika i kaczkę, a kiedy chcesz wyciągnąć, może się
okazać, że kaczka jest tłusta, a królik zżarty (przykład wyżej).


mp

[Włodzimierz Holsztyński chroni]

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
Kazimierz Kuratowski zdefiniował parę
<a,b> := {{a},{a,b}}.

Zadajesz niewlasciwe pytanie.

Nieprawda.

Post by Michal Przybylek
Wiec na pytanie "dlaczego tak", odpowiedz jest
"bo jakos musial".

Nieprawda. Kazimierz Kuratowski swoją definicję
jasno uzasadnił: jego konstrukcja ma własność:

(a b) = (A B) <==> a=A & b=B

Ponadto wyróżnia się elegancją. Przede wszystkim
samo wpadnięcie na pomysł zdefiniowania pary jest
wart docenienia. Można było przecież, o czym
Profesor Kuratowski pisał, rozszerzyć teorię
mnogości o pojęcie pierwotne pary uporządkowanej,
bez podawania jakiejkolwiek definicji.

Post by Michal Przybylek
<a, b> := {a, {a, b}}
Tak samo dobra jak poprzednia i z matematycznego
punktu widzenia rownowazna.

Niezupełnie. Gdy zakładamy aksjomat ufundowania,
to owszem, jest to dobra defincja. I owszem,
w obecnych czasach, ale nie kiedy Profesor
Kuratowski podał swoją definicję, aksjomat
ufundowania jest powszechnie przyjmowany.
Ogólnie, gdy aksjomatu ufundowania nie przyjąć,
to powyższa definicja jest niedobra. Bowiem
przy założeniu istnienia takiego a, że

{a} =/= a = {a {a}}

otrzymujemy:

<a a> = {a {a a}} = a

oraz

<{a} a> = { {a} {{a} a} } = {{a} a} = a

Zatem <{a} a> = <a a> mimo, że {a} =/= a.
definicja jest niedobra. Natomiast para Kuratowskiego
pięknie działa także bez aksjomatu ufundowania.

Post by Michal Przybylek
Pierwsza definicja ma te dobra wlasnosc,
ze elementami pary sa zbiory.

Co więcej, jeden z nich jest 1-elementowy, a drugi
1- lub 2-elementowy.

Post by Michal Przybylek
Druga, ze elementy pary sa zawsze dwa.

Nie widzę dlaczego miałby to być plus.
Poza tym tak nie musi być, gdy nie założymy
aksjomatu ufundowania.

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}}?

Ta definicja, choc ciekawa, nie zgadza sie
<{a}, b> = {{a}, {b}} = <{b}, a>
mp

Na dodatek, co już jest mniej ważne, taka "para"
też może być 1-elementowa :-)

*********************************

Dodam teraz od siebie pewną obserwację, która
siedziała we mnie od samego początku moich
czasów studenckich (czyli od daaaawna).

Wyobraźcie sobie inny świat materialny, dynamiczny,
w którym elementów (porcji materii) nie da się
utrzymać w ustalonym porządku, z lewej do prawej,
i z góry w dół, gdyż są w stałym ruchu, mieszają
się. Pismo w naszym sensie byłoby niemożliwe, i
nie byłoby jak zapisać pary uporządkowanej (a b).
Jednak w takim świecie, powiedzmy, mielibyśmy
do dyspozycji worki. Wtedy konstrukcja Kuratowskiego
umożliwiłaby wprowadzenie par uporządkowanych,
a co za tym idzie, porządku liniowego i pisma
w naszym sensie.

Każdy tekst wymagałby ogromnej liczby worków
(worków w workach w workach ... w workach w worku).
Teraz możecie docenić jak nam się udało. Dostał
nam się komfortowy świat. Ale też doceńcie
konstrukcję Kuratowskiego, która dała podobne
możliwości tym biednym zaświatom :-)

Pozdrawiam,

Włodek

PS. Z pomocą par Kuratowskiego (a b) można
zdefiniować parę uporządkowaną <a b> tak by
zawsze była dwuelementowa:

<a b> := { ({} a) ({{}} b) }

gdzie {} oznacza zbiór pusty. Innymi słowy:

<a b> := {(0 a) (1 b)}

czyli taka para uporzadkowana jest ciągiem
długości 2.

[Michal Przybylek]

Post by Włodzimierz Holsztyński chroni

Post by Michal Przybylek

Post by Damian Sobota
Kazimierz Kuratowski zdefiniował parę
<a,b> := {{a},{a,b}}.

Zadajesz niewlasciwe pytanie.

Nieprawda.

Zeby zdefiniowac pare musimy aktualnie przyjac _jakas_ teorie mnogosci. I
tej _konkretnej_ teorii mnogosci jest wszystko jedno jaka konkretna
reprezentacje pary wybierzesz.

Oczywiscie na metapoziomie pewne konstrukcje moga byc, w jakims sensie,
bardziej uniwersalne, odporne na perturbacje w aksjomatach. Ale to sa
rozwazania pieterko wyzej niz mamy teorie. Zgadza sie, definicja
Kuratowskiego wydaje sie byc definicja "lepsza" (korzysta tylko z zawierania
i to na czyms o czym mamy pewnosc, ze jest zbiorem o konkretnym ksztalcie),
ale tak naprawde, tutaj nie istnieja nawet narzedzia aby rozstrzygac o
takich "lepszosciach".

Zreszta, dla mnie w ogole, definiowanie w ten sposob pary jest czyms bardzo
nienaturalnym. Sprobuj intuicyjnie powiedziec czego oczekiwal bys od pojecia
pary elementow. Ja nie potrafie tego inaczej wyslowic niz w kategoriach
"zbiorow par" (czyli mowiac co to jest iloczyn kartezjanski, a pare
definiujac jako element iloczynu kartezjanskiego ; problem w tym, ze abym
mogl mowic o tych rzeczach, w teorii mnogosci musze juz wczesniej mniec
zdefiniowana pare).


mp

[Wlodzimierz Holsztynski]

[...], dla mnie w ogole, definiowanie
w ten sposob pary jest czyms bardzo
nienaturalnym. Sprobuj intuicyjnie powiedziec
czego oczekiwal bys od pojecia pary elementow.
Ja nie potrafie tego inaczej wyslowic niz
w kategoriach "zbiorow par" (czyli mowiac
co to jest iloczyn kartezjanski, a pare
definiujac jako element iloczynu kartezjanskiego;
problem w tym, ze abym mogl mowic o tych rzeczach,
w teorii mnogosci musze juz wczesniej mniec
zdefiniowana pare).

Ależ Michale, przeczytaj post na który
odpowiedziałeś.

Pozdrawiam,

Włodek

mp

[Michal Przybylek]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Ależ Michale, przeczytaj post na który
odpowiedziałeś.

Czytalem. Ale nie jestem pewien czy rozumiem:

"
Kazimierz Kuratowski swoją definicję
jasno uzasadnił: jego konstrukcja ma własność:

(a b) = (A B) <==> a=A & b=B
"

Nie wiem dokladnie jak mam odczytywac ten napis.

Zmienie troszeczke nazwy:

p(q(a, b)) = p(q(A, B)) <==> q(a, b) = q(A, B)

gdzie p jest nasza para, a q jest para z metateorii (z rownowaznosci q(a, b)
= q(A, B) i a=A & b=B w metateorii korzystalismy zapisujac cytowana
rownosc).

Mam obawy, ze powyzsze jest po prostu definiowaniem pojecia pary, przez
pojecie pary z metateorii. Czyli tak naprawde czegokolwiek nie robi
(chcielismy wiedziec co to jest para, a powiedzielismy, ze para to jest
takie cos podobne do tego co jest para poziom wyzej).

Czy sie myle ?


mp

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Ależ Michale, przeczytaj post na który
odpowiedziałeś.

Czytalem. [...]
Mam obawy, ze powyzsze jest po prostu definiowaniem
pojecia pary, przez pojecie pary z metateorii. Czyli tak
naprawde czegokolwiek nie robi (chcielismy wiedziec co
to jest para, a powiedzielismy, ze para to jest
takie cos podobne do tego co jest para poziom wyzej).
Czy sie myle ?

Michale, przeczytaj post, o którym napisałeś, że
go przeczytałeś. Przeczytaj go.

Teorii mnogości uczyli za moich czasów
na 3' roku. Ale dorwałem monografię Kuratowskiego
i Mostowskiego na pierwszym. I miałem podobne
wątpliwości.

Pozdrawiam,

Włodek

[Michal Przybylek]

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by Michal Przybylek
Mam obawy, ze powyzsze jest po prostu definiowaniem
pojecia pary, przez pojecie pary z metateorii. Czyli tak
naprawde czegokolwiek nie robi (chcielismy wiedziec co
to jest para, a powiedzielismy, ze para to jest
takie cos podobne do tego co jest para poziom wyzej).
Czy sie myle ?

Michale, przeczytaj post, o którym napisałeś, że
go przeczytałeś. Przeczytaj go.

Nie Wlodku, tym razem Ty przeczytaj dokladniej.

Ja nie mowie o samej konstrukcji pary w teorii mnogosci. To jest jasne. Nie
potrzebujesz miec jakiejkolwiek "pary" wyzej, aby moc poslugiwac sie w
teorii mnogosci pojeciem pary. Tutaj jest wszystko w porzadku.

Pozniej jednak masz uzasadnic te konstrukcje. Powiedziec dlaczego
zdefiniowales pare w taki, a nie inny sposob. Jakich _wlasnosci_ oczekujesz
od pojecia pary. Co sprawia, ze zarowno "moja" definicja pary jak i pary
Kuratowskiego jest dobra, a definicja pary uporzadkowanej jako <a, b> := {a,
b}, juz nie.

I tutaj jest problem, zaczynasz mowic o "wlasnosciach":

"
Kazimierz Kuratowski swoją definicję
jasno uzasadnił: jego konstrukcja ma własność:

(a b) = (A B) <==> a=A & b=B
"

Podajesz jakis ciag znakow, ktory co prawda potrafie sparsowac, ale nie
jestem (nie wiem czy jestem) w stanie nadac mu znaczenia semantycznego. Co
oznaczaja te dwa nawiasy po lewej i te literki, ktore pomiedzy nimi siedza ?

Oczywiscie (-, -) nie moze byc funkcja wewnetrzna teorii mnogosci. Mozemy
traktowac to jako funkcje zewnetrzna Set x Set -> Set (badz rownosc na
termach z metateorii, co w zasadzie tutaj na jedno wychodzi). No to teraz
zmieniam nazwy - funkcje zewnetrzna (-, -) nazywam p.

My zwyczajowo piszemy p(a, b), ale przecierz to jest tylko skrót notacyjny
dla p((a, b)), gdzie teraz wewnetrzne nawiasy sa para _zewnetrzna_. Oznaczam
te pare przez q. Mam:

p(q(a, b)) = p(q(A, B)) <==> a=A & b=B

Jezeli w metateorii mamy standardowa pare (jezeli nie, to w ogole nie wiem
jak interpretowac koniunkcje ; tak naprawde to wlasnie od tego nastepnego
powinnismy wystartowac, a dopiero rozbicie na koniunkcje bylo by efektem
jakichs tam praw):

p(q(a, b)) = p(q(A, B)) <==> q(a, b) = q(A, B)

Czyli p ma byc roznowartosciowa na zewnetrznym zbiorze wartosci q.

Teraz pokaz mi _dokladnie_ palcem co mowi to uzasadnienie definiowania pary
w ten sposob. Ja nie twierdze, ze tu jest cos koniecznie zle. Ja po prostu
tego uzasadnienia nie rozumiem (np. p = id jest dobra definicja pary).


mp

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Michal Przybylek

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by Michal Przybylek
Mam obawy, ze powyzsze jest po prostu definiowaniem
pojecia pary, przez pojecie pary z metateorii. Czyli tak
naprawde czegokolwiek nie robi (chcielismy wiedziec co
to jest para, a powiedzielismy, ze para to jest
takie cos podobne do tego co jest para poziom wyzej).
Czy sie myle ?

Michale, przeczytaj post, o którym napisałeś, że
go przeczytałeś. Przeczytaj go.

Nie Wlodku, tym razem Ty przeczytaj dokladniej.

Jaką mam gwarancję, że teraz przeczytasz? :-)

W swojej notce zauważyłem, że do
definicji Kuratowskiego nie jest konieczne
fizyczne pojęcie pary, czy pojęcie pary
w meta-matematyce, które to pojęcie w metamatematyce
jest fizyczne (korzysta z materialnego zapisu od
lewej do prawej, i z naszej umiejętności rozróżnienia
lewa-prawa). Zauważyłem, że fizycznie potrzebujemy
znacznie mniej: nawet w zabałaganionym świecie,
byle były worki i worki w workach--a to jest ZNACZNIE
MNIEJ niż uporządkowanie, to dzięki definicji
Kuratowskiego możemy wprowadzić porządek, zaczynając
od par uporządkowanych. Definicja Kuratowskiego
wniosła istotny postęp.

Muszę przyznać, że Twojego najnowszego postu, na
który właśnie odpowiadam, nie rozumiem, choć
wydaje mi się, że starasz się wytłumaczyć mi co
innego niż przedtem.

Jeszcze o świecie z workami. Zachodziłaby w nim
własność ufundowania na poziomie metamatematycznym
czyli fizycznym, chyba tak, bo fizycznie raczej
nie ma nieskończonego zstępowania worków. Wciąż
w matematyce jest to kwestia zdecydowania się na
taki właśnie aksjomat.

Wracając do różnych możliwości definiowania pary,
to zakładając aksjomat ufundowania, rzeczywiście
można podać krótszą formułę definiującą. Jednak
mam uczucie, że zalety pary Kuratowskiego są waż-
niejsze, gdyż operuje czysto na "workach", nie
otwiera ich i nie miesza worków z elementami. Więc
jego definicja jest relatywnie czysto finitystyczna
(skończona), podczas gdy inne nie są. Niby to
subtelność, ale czuję że istotna--pewne rozważania
Kuratowski redukuje do skończonych, podczas gdy
(niektóre, nie mówię, że wszystkie) inne konstrukcje
powodowałyby potrzebę dodatkowych omówień.

Pozdrawiam,

Włodek

[Michal Przybylek]

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by Michal Przybylek
Nie Wlodku, tym razem Ty przeczytaj dokladniej.

Jaką mam gwarancję, że teraz przeczytasz? :-)

Gwarancji nie masz. Tylko moje slowo :-)

Post by Wlodzimierz Holsztynski
W swojej notce zauważyłem, że do
definicji Kuratowskiego nie jest konieczne
fizyczne pojęcie pary, czy pojęcie pary
w meta-matematyce, które to pojęcie w metamatematyce
jest fizyczne (korzysta z materialnego zapisu od
lewej do prawej, i z naszej umiejętności rozróżnienia
lewa-prawa). Zauważyłem, że fizycznie potrzebujemy
znacznie mniej: nawet w zabałaganionym świecie,
byle były worki i worki w workach--a to jest ZNACZNIE
MNIEJ niż uporządkowanie, to dzięki definicji
Kuratowskiego możemy wprowadzić porządek, zaczynając
od par uporządkowanych. Definicja Kuratowskiego
wniosła istotny postęp.

Ja to doskonale rozumiem.

Moze jeszcze inaczej, przechodzac do Twojego nieuporzadkowanego swiata.
Zgadzam sie, ze gdybys zyl w nieuporzadkowanym swiecie to porzadek moglbys
sobie odzyskac, wprowadzajac pare <a, b> = {{a}, {a, b}}. To co mnie
niepokoi, to jest to, czym _wtedy_ byloby dla Ciebie uporzadkowanie, z
punktu widzenia _tamtego_ swiata, a nie z punktu widzenia swiata
uporzadkowanego. Mozliwe, ze wtedy upieral bys sie, ze pare _uporzadkowana_
definiuje sie np. tak <a, b> = {a, b}, zas definicja w sensie Kuratowskiego
nie byla by dla Ciebie jakakolwiek para, tylko zupelnie nieistotnym
smieciem.

O tym caly czas mowie. Podajesz mi jakies uzasadnienie wprowadzenia takiej a
nie innej pary, ale przy tym uzasadnieniu bazujesz w _bardzo mocnym_ sensie
na posiadaniu zdefiniowanego pojecia pary.

Przepisze jeszcze raz moja ostatnia rownowaznosc:

p(q(a, b)) = p(q(A, B)) <==> q(a, b) = q(A, B)

Teraz zalozmy, ze para z metapoziomu q jest zdefiniowana tak:

q(a, b) := {a, b}

Otrzymujemy:

p({a, b}) = p({A, B}) <==> {a, b} = {A, B}

Wiec dobra definicja naszej pary staje sie np.:

p(a, b) = {a, b}

Gdzie p(a, b) jest teraz skrotem notacyjnym dla p({a, b}).

W rzeczywistosci przy mojej rownowaznosci p jest _zawsze_ jakas kalka q (bo
wziecie za p "duzej" identycznosci jest dobre).


Mozesz sie jeszcze upierac, ze tak naprawde Ty podales rownowaznosc:

p(q(a, b)) = p(q(A, B)) <==> a=A & b=B

a nie moja. Ale ja mam wrazenie, ze w takim przypadku po prostu nie mozna
sobie dowolnie zmieniac znaczenia q pozostawiajac stare znaczenie & (mam
wrazenie, ze te rzeczy sa mocno zalezne).

Choc nawet wtedy biorac za pare z metapoziomu:

q(a, b) = {a, b}

nie jest dobrze, dostajemy:

p({a, b}) = p({A, B}) <==> a=A & b=B

i pary p _w ogole_ nie da sie zdefiniowac.


mp

[Marek]

Dnia Wed, 16 Aug 2006 09:47:43 CST, JO "Michal Przybylek"
<***@neostrada.pl> napisal:

Przepraszam, ze sie wcinam, ale mam kilka uwag, byc moze
porzadkujacych:

Po pierwsze, pojecie "definicja pary" jest chyba nieco mylace,
poniewaz, przynajmniej w ZFC, nie istnieje (z oczywistych wzgledow:
bylaby za duza) "funkcja parujaca" ktory mialby byc rzekomo
zdefniowana przez zapis
<x, y> := {{x, y}, {y}}.
Nie wiem czy to nie przypadkiem dlatego probujesz wyjsc "poziom wyzej"
i dyskutowac o obiekcie "para" jako istniejacym w metateorii. Ten
zapis to tylko skrot, tak jak np. "x \subseteq y" dla " \forall(z \in
x)( z \in y)". Co wiecej, korzysta sie tu jedynie z aksjomatu pary
nieuporzadkowanej (dla kazdych x, y jest takie z ze dla kazdego a w z,
a jest x lub a jest y), czyli niczego specjalnie silnego.

Po drugie, napis
<a b> = <A B> <==> a=A & b=B (*)
faktycznie niczego wielkiego w tej przyjetej teorii mnogosci nie
znaczy, bo jesli sie ten nasz skrot <_, _> rozpisze i zalozy
ekstensjonalnosc, to zamienia sie w relatywnie latwe do udowodnienia
twierdzenie.

No i po trzecie, to jesli chcemy rozprawiac o "parze" jako faktycznie
istniejacym obiekcie, to rzeczywiscie wypada wyjsc 'poziom wyzej', w
sugerowana teorie kategorii i powiedziec, ze para to funktor o
sygnaturze Set x Set --> Set, spelniajacy (*), z tym ze tak jak
sugerowales, (*) pewnie nie jest wlasnoscia uniwersalna i tych
funktorow bedzie sporo.

Mnie uczono tez kiedys, ze definicja Kuratowskiego jest fajna, bo raz
zrobiona para relatywnie latwo daje sie rozkodowac:

a = \bigcap \bigcap <a, b>
b = \bigcap ((\bigcup <a, b>) \setminus ((\bigcup <a, b>) \setminus
(\bigcap <a, b>)))

Jesli ktos sprawdzi powysze, to bede wdzieczny. Jest pozno i za druga
linijke nie biore odpowiedzialnosci ;-)

Marek (pierwszy Szkot IV RP)

[Michal Przybylek]

Post by Marek
Po pierwsze, pojecie "definicja pary" jest chyba nieco mylace,
bylaby za duza) "funkcja parujaca" ktory mialby byc rzekomo
zdefniowana przez zapis
<x, y> := {{x, y}, {y}}.
Nie wiem czy to nie przypadkiem dlatego probujesz wyjsc "poziom wyzej"
i dyskutowac o obiekcie "para" jako istniejacym w metateorii.

Nie, tu jest OK. Te definicje traktuje na poziomie czysto syntaktycznym,
jako skrot notacyjny, tak jak zreszta piszesz.

Post by Marek
Po drugie, napis
<a b> = <A B> <==> a=A & b=B (*)
faktycznie niczego wielkiego w tej przyjetej teorii mnogosci nie
znaczy, bo jesli sie ten nasz skrot <_, _> rozpisze i zalozy
ekstensjonalnosc, to zamienia sie w relatywnie latwe do udowodnienia
twierdzenie.

Nie. Tutaj my tylko podajemy ograniczenia na <-, ->, aby to "cos" moglo byc
para. Chodzi wlasnie o to, ze chcemy powiedziec czego oczekujemy od pojecia
pary uporzadkowanej, aby bylo tym o co chcemy.

To jest tez ten punkt, ktorego ja sie czepiam i ktorego nie rozumiem. Czym
jest to "<a b>" ? Jak mam to interpretowac ?


mp

[Marek]

Dnia Fri, 18 Aug 2006 06:00:07 CST, JO "Michal Przybylek"

Post by Michal Przybylek

Post by Marek
Po pierwsze, pojecie "definicja pary" jest chyba nieco mylace,
bylaby za duza) "funkcja parujaca" ktory mialby byc rzekomo
zdefniowana przez zapis
<x, y> := {{x, y}, {y}}.

No, oczywiscie <x, y> := {{x, y}, {x}}, przepraszam.

Post by Michal Przybylek
Nie, tu jest OK. Te definicje traktuje na poziomie czysto syntaktycznym,
jako skrot notacyjny, tak jak zreszta piszesz.

(...)

Post by Michal Przybylek

Post by Marek
Po drugie, napis
<a b> = <A B> <==> a=A & b=B (*)
faktycznie niczego wielkiego w tej przyjetej teorii mnogosci nie
znaczy, bo jesli sie ten nasz skrot <_, _> rozpisze i zalozy
ekstensjonalnosc, to zamienia sie w relatywnie latwe do udowodnienia
twierdzenie.

Nie. Tutaj my tylko podajemy ograniczenia na <-, ->, aby to "cos" moglo byc
para. Chodzi wlasnie o to, ze chcemy powiedziec czego oczekujemy od pojecia
pary uporzadkowanej, aby bylo tym o co chcemy.
To jest tez ten punkt, ktorego ja sie czepiam i ktorego nie rozumiem. Czym
jest to "<a b>" ? Jak mam to interpretowac ?

No przeciez sam sobie odpowiedziales wyzej: <_ _> to skrot notacyjny.
Na zasadzie partia-Lenin: widzisz:

<a b> = <A B> <==> a=A & b=B

a myslisz

{{a}, {a, b}} = {{A}, {A, B}} <==> a=A & b=B

to ostatnie zas jest wyrazeniem w jezyku teorii mnogosci, i jeszcze
raz podkreslam, *twierdzeniem* przy zalozeniu ekstensjonalnosci.

Nieporozumienie bierze sie chyba stad, ze faktycznie to twierdzenie
jest motywacja do takiej definicji pary i fajnie byloby uzyc go
zamiast definicji, ale to bedzie wymagac wlasnie wyjscia 'pietro
wyzej' -- moim zdaniem zupelnie niepotrzebnie, skoro mamy wszystko tu,
na parterze.

Marek

[Michal Przybylek]

Post by Marek
No przeciez sam sobie odpowiedziales wyzej: <_ _> to skrot notacyjny.
<a b> = <A B> <==> a=A & b=B
a myslisz
{{a}, {a, b}} = {{A}, {A, B}} <==> a=A & b=B
to ostatnie zas jest wyrazeniem w jezyku teorii mnogosci, i jeszcze
raz podkreslam, *twierdzeniem* przy zalozeniu ekstensjonalnosci.

Kurcze, wlasnie nie o to chodzi. Jezeli juz wiem co to jest para, to nie
potrzebuje miec jakichkolwiek warunkow na bycie para. A nawet moge sobie
owych warunkow wygenerowac ile dusza zapragnie.

To tak jakbys definiowal zegar - "to cos takiego okraglego, w kolorze
czerwonym , o srednicy 20cm, z dwoma walkami poruszajacymi sie...". Pozniej
by Ci ktos pokazal czarny zegar i zapytal - "a wiec to cos nie jest zgodnie
z Twoja definicja zegarem ?". A Ty bys odpral "Hm... w zasadzie to tez jest,
ale w _definicji_ przecierz na cos trzeba bylo sie zdecydowac, jak wolisz to
mozemy zdefiniowac zegar jako cos czarnego i prostokatnego...".

No wiec nie. Zegar to cos co odmierza czas. Ja chce abys mi powiedzial co to
znaczy "odmierzac czas".

Ten powyzszy warunek, jak rozumiem, ma wlasnie byc na poziomie definicji
"odmierza czas", a nie na poziomie twierdzenia "to okragle czerwone o
srednicy... odmierza czas".


mp

[Marek]

Dnia Fri, 18 Aug 2006 12:28:26 CST, JO "Michal Przybylek"

Post by Michal Przybylek
Kurcze, wlasnie nie o to chodzi. Jezeli juz wiem co to jest para, to nie
potrzebuje miec jakichkolwiek warunkow na bycie para. A nawet moge sobie
owych warunkow wygenerowac ile dusza zapragnie.

No to teraz chyba rozumiem: boli Cie to, ze najbardziej naturalna
wlasnosc pary, (cos co czyni pare para :-) nie jest uzyta jako
definicja pojecia "para", a w zamian dostajesz, na dobra sprawe bez
uzasadnienia, techniczna konstrukcje, ktora "przypadkiem" ma te
wlasnosc. Na domiar zlego nalezy sie spodziewac ze sa tez inne twory
majace te wlasnosci i nie ma a priori zadnego powodu, dla ktorego ta
pierwsza konstrukcja jest lepsza od innych. Zrozumialem wreszcie?

Odpowiadam w kategoriach Twojej analogii: tak, zegar to cos, co
odmierza czas. Caly dowcip polega na tym, ze nam nie chodzi o to, czym
jest zegar (to proste: cos, co odmierza czas) ale zeby miec jakis
zegar pod reka, zeby moc sie orientowac ktora jest godzina. Dlatego
bierzemy sobie jeden, a madrze jest wziac taki, ktory ma prosty uklad
i prawdziwe wskazowki, jest wodoszczelny itp. Jak juz taki mamy, to
nazywamy go zegarem Kuratowskiego albo krotko zegarem i juz. Dla
zupelnosci dowodzimy ze faktycznie odmierza czas, zeby miec pewnosc ze
bedzie dzialal.

Marek

do pp. Moderatorow: bardzo prosze to puscic, wywod jest zupelnie
nieformalny ale prawdopodobnie konczy dyskusje.

[Michal Przybylek]

Post by Marek

Post by Michal Przybylek
Kurcze, wlasnie nie o to chodzi. Jezeli juz wiem co to jest para, to nie
potrzebuje miec jakichkolwiek warunkow na bycie para. A nawet moge sobie
owych warunkow wygenerowac ile dusza zapragnie.

No to teraz chyba rozumiem: boli Cie to, ze najbardziej naturalna
wlasnosc pary, (cos co czyni pare para :-) nie jest uzyta jako
definicja pojecia "para", a w zamian dostajesz, na dobra sprawe bez
uzasadnienia, techniczna konstrukcje, ktora "przypadkiem" ma te
wlasnosc. Na domiar zlego nalezy sie spodziewac ze sa tez inne twory
majace te wlasnosci i nie ma a priori zadnego powodu, dla ktorego ta
pierwsza konstrukcja jest lepsza od innych. Zrozumialem wreszcie?

W zasadzie tak. Jednak mnie boli cos innego.

Ja nie wiem jak w ogole interpretowac ten warunek, ktory byl podany, jezeli
_nie mam jeszcze_ pojecia pary. I mam wrazenie, ze ten wrunek Ty, czy Wlodek
interpretujecie w taki a nie inny sposob bo _macie juz_ wyrobiona
_wczesniej_ definicje pary (tej poziom wyzej). Zas sam warunek zamiast mowic
cokolwiek o pojeciu pary (tej nizej), tylko _niejawnie_ referuje do tego
wyrobionego wczesniej wyobrazenia o parze (tej wyzej). Tutaj lezy problem.

Tzn. problemem nie jest to, ze musimy miec pare pieterko wyzej do
wyslowienia warunku (bo tego typu rzeczy nie da sie uniknac). Problem jest
dopiero, jezeli definicja nizej stanowi dokladna _kalke_ tego samego pojecia
wyzej.

Jeszcze raz powtarzam - ja nie wiem czy tak naprawde jest. Ja po prostu tego
warunku do konca nie rozumiem. Jezeli tak nie jest jak mowie, to niech mi
ktos paluchem pokaze co dokladnie glosi owy warunek.


mp

[Marek]

Dnia Fri, 18 Aug 2006 16:23:08 CST, JO "Michal Przybylek"

Post by Michal Przybylek
W zasadzie tak. Jednak mnie boli cos innego.
Ja nie wiem jak w ogole interpretowac ten warunek, ktory byl podany, jezeli
_nie mam jeszcze_ pojecia pary. I mam wrazenie, ze ten wrunek Ty, czy Wlodek
interpretujecie w taki a nie inny sposob bo _macie juz_ wyrobiona
_wczesniej_ definicje pary (tej poziom wyzej). Zas sam warunek zamiast mowic
cokolwiek o pojeciu pary (tej nizej), tylko _niejawnie_ referuje do tego
wyrobionego wczesniej wyobrazenia o parze (tej wyzej). Tutaj lezy problem.

Ha, niestety jest jeszcze gorzej. Motywacja do zdefiniowania pary jest
calkowicie intuicyjna, nie jest poziom czy dwa wyzej. Nastepnie para
zostaje zdefiniowana, co pozwala sformalizowac ten intuicyjny warunek.
Czyli po kolei: intuicyjna motywacja -- definicja -- formalizacja
motywacji a nie: motywacja -- formalizacja motywacji -- definicja.
Czyli symbol pary w tym formalnym warunku odnosi sie do definicji
syntaktycznej a nie do pary rzekomo istniejacej juz w metapoziomie.

Marek

[Michal Przybylek]

Post by Marek
No i po trzecie, to jesli chcemy rozprawiac o "parze" jako faktycznie
istniejacym obiekcie, to rzeczywiscie wypada wyjsc 'poziom wyzej', w
sugerowana teorie kategorii

A kto to sugerowal ?

W tym kontekscie nawet teoria kategorii mi przez mysl nie przeszla (no...
zastanawialem sie przez chwile jak kategoryjna definicja produktu ma sie do
tego w odniesieiu do czego uprawiamy dana kategorie).

Post by Marek
i powiedziec, ze para to funktor o
sygnaturze Set x Set --> Set, spelniajacy (*), z tym ze tak jak
sugerowales, (*) pewnie nie jest wlasnoscia uniwersalna i tych
funktorow bedzie sporo.

Nie widze na razie w czym mogla by tu pomoc teoria kategorii.

Rozumiem, ze chcesz w jakis sposob opowiedziec o tym za pomoca teorii
Lawvera. Ale na razie nawet nie wiadomo co tutaj miala by oznaczac (*).


mp

[Marek]

Dnia Fri, 18 Aug 2006 09:01:17 CST, JO "Michal Przybylek"

Post by Michal Przybylek
A kto to sugerowal ?

No coz, moze mam bezwarunkowe skojarzenia z napisami typu
Set x Set -> Set :-)

Post by Michal Przybylek
Nie widze na razie w czym mogla by tu pomoc teoria kategorii.
Rozumiem, ze chcesz w jakis sposob opowiedziec o tym za pomoca teorii
Lawvera. Ale na razie nawet nie wiadomo co tutaj miala by oznaczac (*).

Teoria kategorii mogla by pomoc o tyle, ze daloby sie wydefiniowac
obiekt "funkcja parujaca", a myslalem wczesniej, ze dyskusja rozbija
sie o niemozliwosc zdefiniowania go w klasycznej teorii mnogosci.
A o teorii Lawvera nic nie wiem.

Marek

[Michal Przybylek]

Post by Marek
Teoria kategorii mogla by pomoc o tyle, ze daloby sie wydefiniowac
obiekt "funkcja parujaca", a myslalem wczesniej, ze dyskusja rozbija
sie o niemozliwosc zdefiniowania go w klasycznej teorii mnogosci.

Nie, teoria kategorii nie ma czegokolwiek tu do rzeczy. Tak czy inaczej
musisz zalozyc istnienie "dostatecznie bogatego uniwersum".

Pozatym wydaje mi sie, ze kategoryjnie pojecie pary, w takim sensie w jakim
Ty bys chcial miec, nie ma sensu.

Post by Marek
A o teorii Lawvera nic nie wiem.

To jest jedno z kategoryjnych podejsc do opisu algebr.


mp

[Marek]

Dnia Fri, 18 Aug 2006 13:50:35 CST, JO "Michal Przybylek"

Post by Michal Przybylek
Nie, teoria kategorii nie ma czegokolwiek tu do rzeczy.

Zaloze sie, ze masz racje i bardzo mnie to cieszy.

Post by Michal Przybylek
Pozatym wydaje mi sie, ze kategoryjnie pojecie pary, w takim sensie w jakim
Ty bys chcial miec, nie ma sensu.

Poprawka: zdecydowanie nie chce kategoryjnego podejscia do tematu,
probowalem tylko (nieudolnie) zgadywac co miales na mysli.

dziekuje i EOT

Marek

[Marek]

Dnia Mon, 14 Aug 2006 04:28:36 CST, JO "Włodzimierz Holsztyński

Post by Włodzimierz Holsztyński chroni
Niezupełnie. Gdy zakładamy aksjomat ufundowania,
to owszem, jest to dobra defincja. I owszem,
w obecnych czasach, ale nie kiedy Profesor
Kuratowski podał swoj± definicję, aksjomat
ufundowania jest powszechnie przyjmowany.

Spiesze doniesc, ze rowniez obecnie zainteresowanie teoriami mnogosci
bez aksjomatu ufundowania nie jest zerowe. Larry Moss i Jon Barwise
napisali na ich temat glosna monografie "Vicious Circles".
Nieufundowana teoria mnogosci ma zastosowania w informatyce,
zastosowania ktorych nigdy do konca nie rozumialem a teraz nawet nie
pamietam :-) Dwa slowa na ten temat sa tutaj (tam gdzie jest mowa o
bisymulacji):
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory
Ponadto moge polecic rozdzial o AFA (Anti-Foundation Axioms) w ksiazce
Keitha Devlina "The Joy of Sets".


Marek

[Michal Przybylek]

Post by Marek
Nieufundowana teoria mnogosci ma zastosowania w informatyce,
zastosowania ktorych nigdy do konca nie rozumialem a teraz nawet nie
pamietam :-) Dwa slowa na ten temat sa tutaj (tam gdzie jest mowa o
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory

Tu zapewne chodzi o jakies powiazanie teorii mnogosci z podejsciem
koalgebraicznym do opisu semantyki. Ale ja sie na tym nie znam (tzn. wiem
jak wyglada opis koalgebraiczny i jak to ladnie siedzi w kategoryjnych
uchatkach, ale nie wiem jak do tego wszystkiego ma sie konstruktywna teoria
mnogosci z jakimis wariantami aksjomatu nieufundowania). To sa rzeczy raczej
trudne. Jakis czas temu znalazlem calkiem fajna ksiazke, w ktorej
prawdopodobnie mozna znalezc odpowiedz ntt. (zaczelem czytac, ale z braku
czasu odlozylem dalsze czytanie na przyszle lato :-)):

http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2006-0522-200026/index.htm


mp

[Marcin Kysiak]

Post by Włodzimierz Holsztyński chroni
Ogólnie, gdy aksjomatu ufundowania nie przyjąć,
to powyższa definicja jest niedobra. Bowiem
przy założeniu istnienia takiego a, że
{a} =/= a = {a {a}}
<a a> = {a {a a}} = a

No ale jeżeli przypadkiem a={a} to <a,a> (w sensie Kuratowskiego) też
jest równe a.

BTW, czy potrafisz wskazać bezpośrednio źródło, w którym napisane jest,
że bez aksjomatu ufundowania może się zdarzyć
{a} =/= a = {a {a}}?

Pozdrawiam
Marcin

[Marcin Kysiak]

Post by Marcin Kysiak

Post by Włodzimierz Holsztyński chroni
Ogólnie, gdy aksjomatu ufundowania nie przyjąć,
to powyższa definicja jest niedobra. Bowiem
przy założeniu istnienia takiego a, że
{a} =/= a = {a {a}}
<a a> = {a {a a}} = a

No ale jeżeli przypadkiem a={a} to <a,a> (w sensie Kuratowskiego) też
jest równe a.

Przepraszam, nie doczytałem Włodka do końca :-) Dalej było

Post by Marcin Kysiak
oraz
<{a} a> = { {a} {{a} a} } = {{a} a} = a
Zatem <{a} a> = <a a> mimo, że {a} =/= a.

i dopiero to świadczy na korzyść Kuratowskiego w przeciwieństwie do
alternatywnej definicji.

Pzdr,
M.

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Damian Sobota
Kazimierz Kuratowski zdefiniował parę
<a,b> := {{a},{a,b}}.
Zastanawiam się, dlaczego przyjął taką a nie inną definicję.
jeśli a=b, to mamy zbiór 1-elementowy.

Jest mało ważnym, żeby samochód pod
maską wyglądał tak, jak Ty sobie przypadkowo
wyobrażasz. Ważne, żeby dobrze jechał.
Ważna jest też prostota konstrukcji. Oba te
wymagania Kuratowski spełnił.

Szczególnie cennym jest to, że jego zbiory
są co najwyżej 2-elementowe (przy czym
jeden z nich jest zawsze 1-elementowy).

Pokazuje Ci to prostotę jego definicji.

Post by Damian Sobota
<a,b> := {a,{b}} ?

Bo jako para uporządkowana ta definicja jest
błędna (a raczej bezwartościowa).

Post by Damian Sobota
Wtedy, jeżeli a=b, to dalej mamy zbiór
2-elementowy [...]

Ale dla a = {b} otrzymujesz zbior 1-elemntowy.
(To akurat głupstwo :-)

Post by Damian Sobota
AFAIK, zwyczajowo przyjmuje się następującą
rekurencyjną definicję krotek n-elementowych
<a1,a2,a3> := <a1,<a2,a3>>
<a1,a2,a3,...,an> := <a1,<a2,a3,...,an>>

Tak, to są "strings" (sznurki). Po polsku nie mówi
się "sznurki" w tym kontekście(?), a szkoda--należy.
Mówi się na przykład "słowa",

Natomiast ciągi są czymś innym, są funkcjami
zdefiniowanymi w skończonym lub nieskończonym
początkowym odcinku liczb naturalnych (lub
całkowitych, nieujemnych).

Post by Damian Sobota
Definicja K. Kuratowskiego nie pozwala
na definicję ciągów 1-elementówych (<a>
<a> := {a}.

Trudno oceniać to w oderwaniu od
pojęcia ciągów skończonych. W kontekście
ogólnym wolę definicję singletonu <a> jako
pary Kuratowskiego ({} a), czyli {{} {{} a}}

Post by Damian Sobota
(Ciąg 1-elementowy można zatem utożsamiać
z singletonem). I dalej, zbiór pusty
< > := {}.

Tak JEST w każdym sensownym systemie.
(Czasem dochodzi koszt stały konstrukcji).

Post by Damian Sobota
Definicja ciągu 0-elementowego przydaje się
do zdefiniowania pojęcia słowa pustego.
Słowa bowiem możemy definiować jako ciągi
n-elementowe (wtedy słowo puste jest ciągiem
pustym, a zatem zbiorem pustym).

Tak to się standardowo czyni. Poczytaj choć trochę.

Post by Damian Sobota
Powtórzę zatem pytanie: dlaczego K. Kuratowski

:> zdefiniował parę uporządkowana

Post by Damian Sobota
w taki a nie inny sposób?

Bo jest prosta i spełnia warunek:

(a b) = (c d) <==> a=c & b=d

Post by Damian Sobota
(BTW, w jakiej pracy Kuratowski

poraz pierwszy podał ową definicję?)

Zajrzyj do monografii Kuratowskiego i Mostowskiego
z teorii mnogości (osobiście wolę wcześniejsze
wydanie, które miało ciekawe przykłady; dla
fachowców lepsze chyba jest wydanie późniejsze,
mimo że część materiału została usunięta, bo
przewędrowała do innej monografii).

Pozdrawiam,

Włodek