(.....)
Post by MaciekA poza tym istnieja funkcja z R w R^3 (np. wektor zmienny
w czasie) i jeszcze dziwniejsze. I choc moga miec pochodne,
to nie zawsze mozna przypisac sens okresleniu "szybkosc
zmiany wartosci".
a tego nie rozumiem, wiec jak interepretuje sie pochodna dla takich funkcji,
Wyobraz sobie muche, latajaca w pokoju.
Niech jej wspolrzedne (w ukladzie kartezjanskim,
zwiazanym z krawedziami pokoju) opisuja trzy funkcje
zalezne od czasu: x(t), y(t), z(t).
Mamy wiec funkcje P, przypisujaca chwili t z jakiegos
przedzialu czasu, polozenie muchy:
P : t -> (x, y, z)
czyli funkcje R -> R^3.
Wartosciami tej funkcji nie sa pojedyncze liczby
rzeczywiste, lecz trojki liczb.
Pochodna funkcji P jest trojka liczb - mianowicie:
P'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))
Jesli funksja P opisuje nam zmienne w czasie polozenie
muchy (jako wektor, opisany przez trzy skladowe),
to funkcja P' opisuje jej chwilowa predkosc (tez jako
wektor, opisany przez trzy skladowe).
W szczegolnosci jesli mucha lata na stalej wysokosci:
z(t) = const
to trzecia skladowa predkosci jest zerowa:
z'(t) = 0
czyli predkosc muchy jest stale rownolegla do plaszczyzny XY.
czy nie jest to wsp. kierunkowy stycznej?
Dla funkcji R -> R, powiedzmy sinusa, przypisujacej
wartosciom zmiennej t wartosc zmiennej x:
x = sin(t)
wykresem jest zbior punktow (t, x) w przestrzeni
dwuwymiarowej TX. Czyli krzywa. Taka krzywa mozemy
sobie jakos wyobrazic, np. zobrazowac na kartce
z kartezjanskim ukladem wspolrzednych OTX; mozemy
zdefiniowac styczna do tej krzywej i liczyc jej
nachylenie do osi.
Ale jak chcesz to zrobiz z "funkcja muchy"...?
Dla funkcji R -> R^3 wykresem bylby zbior punktow
(t, x, y, z) - krzywa w przestrzeni czterowymiarowej
z ukladem wspolrzednych OTXYZ. Nie wiem, czy wystarczy
Ci wyobrazni, zeby to "zobaczyc" - ja nie potrafie. :)
Owszem, dla takiej krzywej tez istnieje prosta styczna (w tej
czterowymiarowej przestrzeni). Ale ta styczna w ogolnym
przypadku nie przecina sie z zadna osia ukladu wspolrzednych.
Aby uzyskac odpowiednie katy, trzeba te prosta zrzutowac
rownolegle na plaszczyzny OXT, OYT i OZT, i znalezc katy
pomiedzy odpowiednimi rzutami (prostymi) i osia T.
Ich tangensy to beda odpowiednio pochodne x', y', z'.
Wiem ze dla funkcji wielu
zmiennych o szybkosci zmiany funkcji mowi operator gradientu,
Dla funkcji R^n -> R.
Gradient wskazuje lokalny kierunek najszybszego wzrostu
i przedstawia "stromosc" tego wzrostu.
no wlasnie to czemu ta definicja nie dziala twojej funkcji
dzialajacej z R w R^3?
Alez dziala! Definicja dziala swietnie - NIE dziala tylko
okreslenie "wspolczynnik kierunkowy prostej", bo zdefiniowane
jest dla rownania prostej na plaszczyznie, opisanej
w kartezjanskim ukladzie wspolrzednych.
No i nie koniecznie dziala okreslenie "szybkosc zmiany wartosci
funkcji". Akurat dla przykladu muchy jest to dosc intuicyjne:
kazda skladowa pochodnej P' mowi o szybkosci zmian odpowiedniej
skladowej funkcji P - ale zwiazek ten nie musi byc az tak
oczywisty. Zwlaszcza gdy dziedzina funkcji nie jest podzbior R.
Maciek