Przenoszenie dowolnych wielościanów na sferę

[WM]

Mam sześciościan zbudowany z czworoboków nieforemnych o znanych
długościach krawędzi aᵢ.
Chcę go przenieść na sferę tak, by jego wszystkie wierzchołki leżały na
niej, a długości krawędzi aᵢ odpowiadały miarom łukowym bᵢ ich
odpowiedników na sferze, (czyli aᵢ/bᵢ=k , gdzie k- stała dla danego
wielościanu).

Czy zawsze da się taką operację wykonać?

Jest osiem wierzchołków, a więc 16 niewiadomych współrzędnych.
Krawędzi jest 12, czyli tyle mamy równań na długości boków.

Brakuje czterech równań, więc mogę narzucić długości czterech
przekątnych (np. dwu podstaw: górnej i dolnej).

Wygląda, że da się przenieść na kulę, tylko jak to zrobić technicznie?
Jaki dobrać układ współrzędnych, by najłatwiej dało się opisać długości
łuków?

[J.F.]

Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup

Post by WM
Mam sześciościan zbudowany z czworoboków nieforemnych o znanych
długościach krawędzi aᵢ.
Chcę go przenieść na sferę tak, by jego wszystkie wierzchołki leżały
na niej, a długości krawędzi aᵢ odpowiadały miarom łukowym bᵢ ich
odpowiedników na sferze, (czyli aᵢ/bᵢ=k , gdzie k- stała dla danego
wielościanu).
Czy zawsze da się taką operację wykonać?

No, mam pewne watpliwosci czy jest to zawsze realizowalne - jak
wezmiesz jakis mocno zdeformowany, np jeden wierzcholek bardzo
"wyciagniety".

Post by WM
Jest osiem wierzchołków, a więc 16 niewiadomych współrzędnych.
Krawędzi jest 12, czyli tyle mamy równań na długości boków.
Brakuje czterech równań, więc mogę narzucić długości czterech
przekątnych (np. dwu podstaw: górnej i dolnej).

Przekatne na oko nic Ci nie dadza.

Ale majac swobode 4 rownan ... wydaje sie, ze duzo mozna dopasowac.
Moze nawet jest pewna swoboda doboru skali/promienia.

Mozna narzucic stale polozenie jednego wierzcholka, i jeden z katow na
drugi - zawsze to mniej zmiennych.

Ba - jak chcesz skale k miec ustalona, to nawet dwa wierzcholki mozna
ustalic.
I zostaje nam 12 zmiennych i 11 rownan.

Post by WM
Wygląda, że da się przenieść na kulę, tylko jak to zrobić technicznie?
Jaki dobrać układ współrzędnych, by najłatwiej dało się opisać
długości łuków?

Hm, zastanowilbym sie nad ukladem prostokatnym.
Katy wylicza sie latwo z iloczynu wektorowego, tylko ze zmiennych
przybywa.

Wiec moze siegnac do podrecznika geometrii sferycznej :-)

A musi byc symboliczne rozwiazanie?
Bo moze jakis program iteracyjny.
Moze nawet excelowy Solver da rade :-)

J.

[WM]

Użytkownik "WM"  napisał w wiadomości grup

Post by WM
Mam sześciościan zbudowany z czworoboków nieforemnych o znanych
długościach krawędzi aᵢ.
Chcę go przenieść na sferę tak, by jego wszystkie wierzchołki leżały
na niej, a długości krawędzi aᵢ odpowiadały miarom łukowym bᵢ ich
odpowiedników na sferze, (czyli aᵢ/bᵢ=k , gdzie  k- stała dla danego
wielościanu).
Czy zawsze da się taką operację wykonać?

No, mam pewne watpliwosci czy jest to zawsze realizowalne - jak wezmiesz
jakis mocno zdeformowany, np jeden wierzcholek bardzo "wyciagniety".

Post by WM
Jest osiem wierzchołków, a więc 16 niewiadomych współrzędnych.
Krawędzi jest 12, czyli tyle mamy równań na długości boków.
Brakuje czterech równań, więc mogę narzucić długości czterech
przekątnych (np. dwu podstaw: górnej i dolnej).

Przekatne na oko nic Ci nie dadza.
Ale majac swobode 4 rownan ... wydaje sie, ze duzo mozna dopasowac.
Moze nawet jest pewna swoboda doboru skali/promienia.
Mozna narzucic stale polozenie jednego wierzcholka, i jeden z katow na
drugi - zawsze to mniej zmiennych.
Ba - jak chcesz skale k miec ustalona, to nawet dwa wierzcholki mozna
ustalic.
I zostaje nam 12 zmiennych i 11 rownan.

Post by WM
Wygląda, że da się przenieść na kulę, tylko jak to zrobić technicznie?
Jaki dobrać układ współrzędnych, by najłatwiej dało się opisać
długości łuków?

Hm, zastanowilbym sie nad ukladem prostokatnym.
Katy wylicza sie latwo z iloczynu wektorowego, tylko ze zmiennych przybywa.
Wiec moze siegnac do podrecznika geometrii sferycznej :-)
A musi byc symboliczne rozwiazanie?
Bo moze jakis program iteracyjny.
Moze nawet excelowy Solver da rade :-)

Teoretycznie można użyć współrzędnych geograficznych i wzorów na ortodromę.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortodroma

Równania nieliniowe, więc mogą mieć ograniczone obszary istniejących
rozwiązań.
Może więc masz rację z tym odpuszczeniem równań dla przekątnych.
Tylko co zrobić z niejednoznacznością rozwiązań?
Jak nad tym zapanować?


WM

[J.F.]

Ten wpis może być nieodpowiedni. Kliknij, aby go wyświetlić.

[WM]

W dniu 2021-03-30 o 17:56, J.F. pisze:

...

Post by J.F.

Post by WM
Równania nieliniowe, więc mogą mieć ograniczone obszary istniejących
rozwiązań.

Moze nie byloby tak zle, bo moze sie da jakos zgrabnie mozna cos tam
wyeliminowac.

Post by WM
Może więc masz rację z tym odpuszczeniem równań dla przekątnych.

Przekatne bylby fajne, gdybys mogl wyliczyc ich dlugosc/kat na kuli.
A nie bardzo widze jak.

Jak dodać boki czworoboku i zrobić z nich koło wielkie, to przekątne
będą policzalne.
Tylko czy ich proporcję można zachować przy powiększaniu sfery?

Post by J.F.

Post by WM
Tylko co zrobić z niejednoznacznością rozwiązań?
Jak nad tym zapanować?

Zostawic?
Pytanie jakie chcesz rozwiazanie - analityczne, czy numeryczne.
Tylko tak sie zastanawiam ... czy ta wieloznacznosc tam jest ?
No jest - wezmy szescian foremny. Przeniesmy na kule ... tu mozemy
przekrecic "górna sciane" wzgledem dolnej, skracajac lub wydluzajac
krawedzie "boczne".
Szescian w 3D tez tak mozesz skrecic, tylko ze wtedy sciany przestana
byc plaskie.
A na kuli sa "plaskie" z definicji.

Chcę siatkę najpierw obliczyć dla kuli.
Potem spróbuję ją jakoś zdeformować wzdłuż osi w elipsoidę.

Docelowo ma to być elipsoida obrotowa.
Teraz siatkę nakładam mozolnie metodą prób i błędów.
https://www.fotosik.pl/zdjecie/c82fb419013a56fd



WM

[J.F.]

Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:6063630a$0$508$***@news.neostrada.pl...
W dniu 2021-03-30 o 17:56, J.F. pisze:
...

Post by WM

Post by J.F.

Post by WM
Tylko co zrobić z niejednoznacznością rozwiązań?
Jak nad tym zapanować?

Zostawic?
Pytanie jakie chcesz rozwiazanie - analityczne, czy numeryczne.
Tylko tak sie zastanawiam ... czy ta wieloznacznosc tam jest ?
No jest - wezmy szescian foremny. Przeniesmy na kule ... tu mozemy
przekrecic "górna sciane" wzgledem dolnej, skracajac lub wydluzajac
krawedzie "boczne".
Szescian w 3D tez tak mozesz skrecic, tylko ze wtedy sciany
przestana byc plaskie.
A na kuli sa "plaskie" z definicji.

Chcę siatkę najpierw obliczyć dla kuli.
Potem spróbuję ją jakoś zdeformować wzdłuż osi w elipsoidę.
Docelowo ma to być elipsoida obrotowa.
Teraz siatkę nakładam mozolnie metodą prób i błędów.
https://www.fotosik.pl/zdjecie/c82fb419013a56fd

Eee, takie jaja :-)

To chyba najlepiej praktycznie, bo co tu chcesz liczyc ?

J.

[WM]

Użytkownik "WM"  napisał w wiadomości grup
...

Post by WM

Post by J.F.

Post by WM
Tylko co zrobić z niejednoznacznością rozwiązań?
Jak nad tym zapanować?

Zostawic?
Pytanie jakie chcesz rozwiazanie - analityczne, czy numeryczne.
Tylko tak sie zastanawiam ... czy ta wieloznacznosc tam jest ?
No jest - wezmy szescian foremny. Przeniesmy na kule ... tu mozemy
przekrecic "górna sciane" wzgledem dolnej, skracajac lub wydluzajac
krawedzie "boczne".
Szescian w 3D tez tak mozesz skrecic, tylko ze wtedy sciany przestana
byc plaskie.
A na kuli sa "plaskie" z definicji.

Chcę siatkę najpierw obliczyć dla kuli.
Potem spróbuję ją jakoś zdeformować wzdłuż osi w elipsoidę.
Docelowo ma to być elipsoida obrotowa.
Teraz siatkę nakładam mozolnie metodą prób i błędów.
https://www.fotosik.pl/zdjecie/c82fb419013a56fd

Eee, takie jaja :-)
To chyba najlepiej praktycznie, bo co tu chcesz liczyc ?

Dokładnie jest tak, że generuję rozmaite rozwinięcia brył wielościennych.
Mam już opanowany algorytm tworzenia z tych rozwinięć wielościanów.
Z układu równań liczę współrzędne wierzchołków i wrzucam do freecada.
Kiedyś nawet dyskutowaliśmy na ten temat.

Teraz próbuję to samo, ale ze sferą, lub elipsoidą obrotową.
Ręcznie to bardzo żmudna robota. Chcę sobie ją ułatwić.
Sobie i innym, którzy mnie pytają dlaczego im nie wychodzi to co mnie
się udało.



WM