Całka potrójna

[Mundżak]

Witam.
Mam problem z całka potrójną po U z funkcji

dxdydz
-------------
(x^2+y^2+z^2)

gdzie U jest ograniczone powierzchniami z = sqrt(1-x^2-y^2) oraz
z = 1/2.

Nie wiem - nie widzę czegoś oczywistego? Próbowałem to robić
przekształcając na współrzędne walcowe. Rachunki może nie sa krótkie ale
coś wychodzi. Nie wiem natomiast, jak to obliczyć używając
przekształcenia na współrzędne sferyczne (a tak mam postawione zadanie).
Sama zamiana to nie problem - wszystko się ładnie skraca. Nie potrafię
jednak sobie dobrać granic całkowania - nie bardzo widzę jak to
zaiterować żeby całkować po obszarze normalnym.

Czy mogę liczyć na jakąś podpowiedź?

[Antek Laczkowski]

Post by Mundżak
Witam.
Mam problem z całka potrójną po U z funkcji
dxdydz
-------------
(x^2+y^2+z^2)
gdzie U jest ograniczone powierzchniami z = sqrt(1-x^2-y^2) oraz
z = 1/2.

. Nie wiem natomiast, jak to obliczyć używając

Post by Mundżak
przekształcenia na współrzędne sferyczne (a tak mam postawione zadanie).
Sama zamiana to nie problem - wszystko się ładnie skraca. Nie potrafię
jednak sobie dobrać granic całkowania - nie bardzo widzę jak to
zaiterować żeby całkować po obszarze normalnym.

Nie wiem, co to "po obszarze normalnym.",
ale jak się przekształci "z = sqrt(1-x^2-y^2)"
to wychodzi 1 = x^2 + y^2 + z^2, czyli kula
o promieniu 1.
Płaszczyzna z=1/2 odcina od niej taką "czapkę",
jaby z Ziemi odciąć biegun północny na 30 równoleżniku.
Ta czapka to obszar całkowania,
no to jeden z kątów zmienia się od....do
Twoja kolej.

Antek

[Mundżak]

Post by Mundżak

Post by Mundżak
Witam.
Mam problem z całka potrójną po U z funkcji
dxdydz
-------------
(x^2+y^2+z^2)
gdzie U jest ograniczone powierzchniami z = sqrt(1-x^2-y^2) oraz
z = 1/2.

. Nie wiem natomiast, jak to obliczyć używając

Post by Mundżak
przekształcenia na współrzędne sferyczne (a tak mam postawione zadanie).
Sama zamiana to nie problem - wszystko się ładnie skraca. Nie potrafię
jednak sobie dobrać granic całkowania - nie bardzo widzę jak to
zaiterować żeby całkować po obszarze normalnym.

Nie wiem, co to "po obszarze normalnym.",
ale jak się przekształci "z = sqrt(1-x^2-y^2)"
to wychodzi 1 = x^2 + y^2 + z^2, czyli kula
o promieniu 1.
Płaszczyzna z=1/2 odcina od niej taką "czapkę",
jaby z Ziemi odciąć biegun północny na 30 równoleżniku.
Ta czapka to obszar całkowania,
no to jeden z kątów zmienia się od....do
Twoja kolej.

Do tego doszedłem, Kąt to nie problem - (pi/6)..(pi/2). Mam jednak
wątpliwości co do zakresu zmienności promienia.

Czy to będzie może po dr całka od 1/2 / sin(theta) do 1 ?

Pozdrawiam,

[Antek Laczkowski]

Post by Mundżak
Do tego doszedłem, Kąt to nie problem - (pi/6)..(pi/2). Mam jednak
wątpliwości co do zakresu zmienności promienia.
Czy to będzie może po dr całka od 1/2 / sin(theta) do 1 ?

Tylko uważaj na kąt theta, skąd go liczysz ?
Od płaszczyzny XY czy od osi Z ?
Bo wyznacznik: d(x,y,z) / d(R, theta, fi)
ma różną postać, raz R^2 * cos(theta)
a raz R^2 * sin(theta).

Sprawdz na czaszy kulistej,
objętośc powinna wyjść
1/3 * pi * h^2 * (3R - h)
gdzie h = wysokość czaszy (NIE odległośc
od płaszczyzny XY).

Antek

[Antek Laczkowski]

Użytkownik "Antek Laczkowski" <***@pocztaSPAMonet.pl> napisał w
wiadomości news:422f15b6$0$3206$***@mamut2.aster.pl...
[ciach]

Post by Antek Laczkowski
Tylko uważaj na kąt theta, skąd go liczysz ?
Od płaszczyzny XY czy od osi Z ?
Bo wyznacznik: d(x,y,z) / d(R, theta, fi)
ma różną postać, raz R^2 * cos(theta)
a raz R^2 * sin(theta).

W zasadzie to jeszcze można inaczej.
Ze wzoru Gaussa:
całka po powierzchni zamkniętej z jakiejś funkcji
= całka po objętości wewnątrz z div(f).

U Ciebie div(f) = 1/r^2, można znaleźć funkcję
f = r_wektor/r^2, odpowiednią do obliczeń.
Po górnej powierzchi "kopuły" całkuje się wspaniale,
bo funkcja (wektorowa) f jest równoległa do
elementów dS a "r" jest stałe.
Trochę gorzej jest z dolną płaszczyzną,
ale zauważ, że wektory dS mają tam tylko składową
z-ową. Całka z tangensa(x) to -ln(cos(x)), przyda się.

Spróbuj, przynajmniej całki są podwójne,
a geometria łatwiejsza do wyobrażenia sobie.


Antek

[Maciek]

Post by Mundżak
Witam.
Mam problem z całka potrójną po U z funkcji
dxdydz
-------------
(x^2+y^2+z^2)
gdzie U jest ograniczone powierzchniami z = sqrt(1-x^2-y^2) oraz
z = 1/2.
Nie wiem - nie widzę czegoś oczywistego? Próbowałem to robić
przekształcając na współrzędne walcowe. Rachunki może nie sa krótkie ale
coś wychodzi. Nie wiem natomiast, jak to obliczyć używając
przekształcenia na współrzędne sferyczne (a tak mam postawione zadanie).

Nnnno, sam dobor wzajemnego polozenia obu ukladow
(oryginalnego, prostokatnego, i docelowego, sferycznego)
daje continuum mozliwosci. :-)
Ale podejzewam, ze zamieniasz tak, aby jeden z katow
ukladu sferycznego zerowal sie na plaszczyznie XY,
a poczatki obu ukladow pokrywaly sie...?

Post by Mundżak
Sama zamiana to nie problem - wszystko się ładnie skraca. Nie potrafię
jednak sobie dobrać granic całkowania - nie bardzo widzę jak to
zaiterować żeby całkować po obszarze normalnym.
Czy mogę liczyć na jakąś podpowiedź?

Musisz najpierw dobrze opisac obszar calkowania
we wspolrzednych prostokatnych. Latwo "dojrzec"
ze jest to odcinek kuli jednostkowej - czyli
bryla obrotowa. Do tego jego os pokrywa sie
z osia Z ukladu wspolrzednych.

Naszkicuj wiec jego przekroj w plaszczyznie XZ,
i wszystko (prawie) stanie sie jasne.


Maciek