konstruktywny dowod niewymiernosci sqrt(2)

[Tomek S.]

Witam.
Natknąłem się niedawno na nastepujący fragment (recenzji merytorycznej
jednego z podręczników szkolnych do matematyki):

"Autorzy informują nas: >>Dowód niewymierności sqrt(2) (zawdzięczamy go
starożytnym Grekom) jest dowodem przez sprowadzenie do sprzeczności<<
(s. 20). Czy Autorzy wiedzą, że starożytni Grecy podali ten dowód przez
sprowadzenie do sprzeczności? Fakt ten ma konstruktywny dowód, mnie zaś nie
udało się uzyskać wiarygodnych informacji na temat sposobu dowodzenia w
starożytnej Grecji niewymierności liczby sqrt(2)."

Moje pytanie jest własnie o ten konstruktywny dowód niewymierności
pierwiastka z 2. Jak on wygląda? Chciałbym poznać taki dowód, bo wszystkie
jakie widziałem były dowodami nie wprost.

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Tomek S.
Natknąłem się niedawno na nastepujący fragment (recenzji
"Autorzy informują nas: >>Dowód niewymierności sqrt(2) (zawdzięczamy go
starożytnym Grekom) jest dowodem przez sprowadzenie do sprzeczności<<
(s. 20). Czy Autorzy wiedzą, że starożytni Grecy podali ten dowód przez
sprowadzenie do sprzeczności? Fakt ten ma konstruktywny dowód, mnie zaś nie
udało się uzyskać wiarygodnych informacji na temat sposobu dowodzenia w
starożytnej Grecji niewymierności liczby sqrt(2)."

Pogooglaj, bo nie jestem historykiem, więc bałbym się
odpowiedzieć na pytanie z pamięci. W każdym razie
popularny od dziesiątków lat, a prawdopodobnie od
starożytności, jest nie wprost i dowód wygląda tak:

gdyby sqrt(2) był wymierny, to istniałyby liczby
naturalne a b, takie że:

(#) a^2 = 2*b^2

Rozpatrzmy przykład dla którego a jest minimalne
(w zbiorze liczb a, biorących udział w takich
przykładach, istnieje element minimalny, jak w każdym
niepustym zbiorze liczb naturalnych).

Skoro, jak widać, a jest parzyste, to
napiszmy a = 2*A (gdzie A jest znowu naturalne).
Po podstawieniu do (#), i uproszczeniu,
otrzymujemy:

(##) b^2 = 2*A^2

czyli obok przykładu (a b) dostaliśmy przykład (b A).
Ale b < a, czyli sprzeczność. Nie istnieje więc
para liczb naturalnych (a b), spełniająca (#), czyli
sqrt(2) jes niewymierny.

Pitagorejczycy prawdopodobnie rysowali kwadrat,
przekątną kwadratu, i po krótkiej manipulacji
geometrycznej uzyskiwali ten sam wynik.

Post by Tomek S.
Moje pytanie jest własnie o ten konstruktywny dowód
niewymierności pierwiastka z 2. Jak on wygląda?
Chciałbym poznać taki dowód, bo wszystkie
jakie widziałem były dowodami nie wprost.

Czysty dowód nie wprost Twierdzenia T oznacza dowód
twierdzenia:

(nie T) ==> T

Wtedy T urywamy z tautologii (prawdziwej dla każdego
zdania T, nie tylko dla prawdziwych):

((nie T) ==> T) ==> T

Gdy pierwszy człon implikacji X ==> Y jest prawdziwy,
a na dodatek także X jest prawdą, to również Y.
W danym wypadku podstawiamy X <==> ((nie T) ==> T)
oraz Y <==> T. To wszystko.

W praktyce dowód nie wprost wygląda nieco inaczej:

(nie T) ==> fałsz

Dowód nie wprost wydaje się atrakcyjny dla nowicjuszy,
gdyż do założeń twierdzenia dodaje jeszcze jedno: "nie T".
Twierdzenie na ogół ma postać Z ==> W (założenia ==> wniosek).
Wtedy dowodzi się (metoda "nie wprost"):

(Z & (nie W)) ==> fałsz

Minusem dowodu "nie wprost" jest brak wyników pomocniczych
i brak zrozumienia. Wszystkie pośrednie wyniki są zmarnowane,
gdyż opierają się na fałszywym założeniu. Dlatego po dowodzie
nie wprost warto dokonać analizy dowodu, by uratować co się da.
Najlepiej porcję "nie wprost" przesunąć jak najdalej w kierunku
końca dowodu:

Na ogół dowód nie wprost wygląda tak:

(Z & nie W) ==> A ==> B ==> C ==> D ==> W

Gdy założenie "nie T" przydaje się dopiero
w ostatniej implikacji, a nie jest konieczne
dla poprzednich, to lepiej przepisać dowód
tak:

Z ==> A ==> B ==> C ==> D

oraz:

(D & nie W) ==> W

Jako bonus, oprócz twierdzenia Z ==> W
otrzymaliśmy również twierdzenie Z ==> D.

***

Powyższy, popularny dowód niewymierności
sqrt(2) jest zawracaniem głowy. Należy
z miejsca podawać wynik ogólniejszy,
a sqrt(2) wspominać jako najprostszy
przykład.

Każda liczba wymierna x =/= 0 rozkłada się
jednoznacznie na iloczyn potęg liczb
pierwszych. Innymi słowy, istnieją funkcje
ord_p : Q \ {0} --> Z niezerowych liczb
wymiernych w liczby całkowite, gdzie p \in P
jest dowolną liczbą pierwszą, takie że:

x = Prod(p^ord_p(x) : p \in P)

Iloczyn de facto jest skończony, gdyż tylko
skończona liczba czynników jest różna od 1.

Wynika stąd, że:

x^k = Prod(p^(k*ord_p(x) : p \in P)

czyli, na mocy jednoznaczności rozkładu:

ord_p(x^k) = k * ord_p(x) _A_ p \in P

(Moje odwieczne ascii symbole _A_ oraz _E_
oznaczają "dla każdego" oraz "istnieje").

Wynika stąd oczywiste w tym świetle twierdzenie:

TWIERDZENIE Jeżeli dla liczby wymiernej w istnieje
liczba pierwsza p taka, że ord_p(w) nie jest
podzielne przez liczbę całkowitą k =/= 0, to w^(1/k)
jest liczbą niewymierną.

PRZYKŁAD Niech w := 2. Wtedy ord_2(w) = 1 nie
jest podzielny przez 2. Zatem 2^(1/2) jest
niewymierne.

Mamy oczywiście w powyższym twierdzeniu nawet
równoważność:

TWIERDZENIE' Niech k =/= 0 będzie liczbą całkowitą.
Rownanie x^k - w = 0 ma rozwiązanie wymierne x
dla liczby wymiernej w <==> k|ord_p(w) dla
każdej liczby pierwszej p.

Mam nadzieję, że dalej uczą w szkole o pierwiastkach
wymiernych dowolnych wielomianów o współczynnikach
całkowitych. Otrzymuje się wtedy przy okazji
kryterium na niewymierność pierwiastków
wielomianów z całkowitymi współczynnikami. Jest
ono ogólniejsze od powyższego TW' (ale to już
by była oddzielna notka).

Włodek

[Tomek S.]

Dziekuję za odpowiedź, uwagi o dowodzie nie wprost i rozwinięcie tematu.
Przeczuwałem, że jest jakieś nieporozumienie czysto terminologiczne (to
znaczy moje niezrozumienie co oznacza tutaj 'konstruktywny'). W każdym
bądź razie, jakby nie przesuwać na koniec w ciągu implikacji 'porcji nie
wprost', to jednak trzeba jej użyć w omawianym przypadku.

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Każda liczba wymierna x =/= 0 rozkłada się
jednoznacznie na iloczyn potęg liczb
pierwszych. Innymi słowy, istnieją funkcje
ord_p : Q \ {0} --> Z niezerowych liczb
wymiernych w liczby całkowite, gdzie p \in P
x = Prod(p^ord_p(x) : p \in P)
Iloczyn de facto jest skończony, gdyż tylko
skończona liczba czynników jest różna od 1.
x^k = Prod(p^(k*ord_p(x) : p \in P)
ord_p(x^k) = k * ord_p(x) _A_ p \in P
(Moje odwieczne ascii symbole _A_ oraz _E_
oznaczają "dla każdego" oraz "istnieje").
TWIERDZENIE Jeżeli dla liczby wymiernej w istnieje
liczba pierwsza p taka, że ord_p(w) nie jest
podzielne przez liczbę całkowitą k =/= 0, to w^(1/k)
jest liczbą niewymierną.
PRZYKŁAD Niech w := 2. Wtedy ord_2(w) = 1 nie
jest podzielny przez 2. Zatem 2^(1/2) jest
niewymierne.

Eleganckie lecz mimo wszystko za trudne do przeprowadzenia w szkole na
standardowej lekcji. Można by pewnie w starszych klasach, ale taki dowód
może pojawić się wcześniej, jeszcze przed ujemnymi potęgami, potem nie
zawsze jest czas na takie 'retrospekcje'. Nie jestem też zwolennikiem
podawania od razu rzeczy najogólniej. Moim zdaniem to się nie sprawdza w
początkowym etapie nauczania matematyki, choć nie jestem nauczycielem
(jeszcze :)). Zresztą programy układają mądre głowy, niekoniecznie
nauczyciele, dlatego moje zdanie nie ma tu wiele do rzeczy.
W szkole też nie dowodzi się zwykle jednoznaczności rozkładu. Uczniowie
znają algorytm i na pewno jest to dla nich bardziej naturalne i
przekonywujące niż formalny dowód.

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Mamy oczywiście w powyższym twierdzeniu nawet
TWIERDZENIE' Niech k =/= 0 będzie liczbą całkowitą.
Rownanie x^k - w = 0 ma rozwiązanie wymierne x
dla liczby wymiernej w <==> k|ord_p(w) dla
każdej liczby pierwszej p.
Mam nadzieję, że dalej uczą w szkole o pierwiastkach
wymiernych dowolnych wielomianów o współczynnikach
całkowitych. Otrzymuje się wtedy przy okazji
kryterium na niewymierność pierwiastków
wielomianów z całkowitymi współczynnikami. Jest
ono ogólniejsze od powyższego TW' (ale to już
by była oddzielna notka).

Tak tego uczą. Konstrukcja dla danego x (np. x = ((2^(1/3)+1)^(1/2))
wielomianu o współczynnikach całkowitych takiego, że x jest jego
pierwiastkiem, pozwala rozstrzygnąć, czy x jest wymierne. To można by
pokazać w szkole.

[Wlodzimierz Holsztynski]

W każdym bądź razie, jakby nie przesuwać na koniec
w ciągu implikacji 'porcji nie wprost', to jednak
trzeba jej użyć w omawianym przypadku.

Przecież należy udowodnić, że liczba NIE jest wymierna.
Uniknąć "nie" można tylko pozornie, np. przez powołanie
się na gotowe twierdzenia (w których dowodzie będzie
chować się "nie"). Dowód niewymierności konkretnej liczby
musi pokazać, że pod pewnym względem różni się od
wszystkich wynmiernych. Pokazujemy, że się różni. To jest
konstruktywne. Na koniec mówimy: gdyby nasz liczba była
wymierna, to względem własnmości A zachowałaby się jak
liczby wymierna. Ponieważ tak nie czyni, to jest niewymierna.
Uczymy sie przy takim dowodzie o własnmościach liczb
wymiernych i niewymiernych. Klasyczny dowód "nie wprost"
niczego nas nie uczy (dopiero po dodatkowej analizie, ale
taka analiza jest równoważna odniewprostowywaniu dowodu).

Post by Wlodzimierz Holsztynski
TWIERDZENIE Jeżeli dla liczby wymiernej w istnieje
liczba pierwsza p taka, że ord_p(w) nie jest
podzielne przez liczbę całkowitą k =/= 0, to w^(1/k)
jest liczbą niewymierną.
PRZYKŁAD Niech w := 2. Wtedy ord_2(w) = 1 nie
jest podzielny przez 2. Zatem 2^(1/2) jest
niewymierne.

Eleganckie lecz mimo wszystko za trudne
do przeprowadzenia w szkole na
standardowej lekcji. Można by pewnie w starszych klasach, [...]

Dla dzieci dowód, który podałem jest
bez porównania zrozumialszy niż dowód
nie wprost. Nie ma potrzeby tego dowodu
podawać formalnie. Można wspólnie z dziećmi
przejść przez dowód tak:

Weźmy dowolną liczbę wymierną, na przykład:

2^10 * 13^4 / 11^6

Podnieśmy ją do potęgi 3. Dostajemy:

2^(3*10) * 13^(3*4) / 11^(3*6)

Widzimy, że wszystkie wykładniki są podzielne
przez 3. Tak samo będzie z każdą inną liczbą wymierną:

5^2 / (101^8 * 103^9)

Podnieśmy do potęgi 3:

5^(3*2) / (101^(3*8) * 103^(3*9))

Znowu wykładniki są wielokrotnościami liczby 3.
Tak samo będzie z innymi potęgami, drugą, czwartą, ...

Zatem, gdy wykładniki nie są wielokrotnością 3,
to pierwiastek 3-go stopnia z takiej liczby
nie jest liczbą wymierną. Itd.

***

Jednoznaczność rozkładu liczby wymiernej =/= 0
w iloczyn potęg liczb pierwszych łatwo jest
wprowadzić i wytłumaczyć--jest to naturalne
pojęcie. Należy jeszcze dodać, że jedmoznaczność
wymaga dowodu. Gdy dzieci mocno (na przykładach)
jednoznaczność poczują, to dopiero wtedy należy
dodać, że wszystko jedno jednoznaczność rozkładu
wymaga dowodu. Można następnie w duchu Hilberta
podać kontrprzykłady na jednoznaczność rozkładu,
można z tego zrobić zabawę, niech dzieci same
podadzą więcej przykładów na niejednoznaczność.
Na przykład zbiór {3 4 ...} jest zamknięty względem
mnożenia, ale 64 = 4*4*4 = 8*8 dopuszcza dwa różne
rozkłady na liczby multiplikatywnie atomowe
(czyli nierozkładalne). Przy okazji widzimy, że
w tej semigrupie element może być jednocześnie
kwadratem i sześcianem, ale nie musi być 6-tą
potęgą, podczas gdy w ciele liczb wymiernych
musiałby, zawsze, nie tylko w przypadku 64=2^6.

Pozdrawiam,

Włodek