Post by piorPost by PFGJeśli oznaczone i w kontekscie transformaty Fouriera, to bardzo często
kolejności różniczkowania i całkowania zamienić się nie da, czym
inzynierowie i fizycy na ogół się nie przejmują, co najwyżej
wprowadzając odpowiednią regularyzację :-)
Albo też pochodną rozumie się w sensie dystrybucyjnym.
no wlasnie. dlaczego sie nie przejmuja i na czym ma polegac "odpowiednia
regularyzacja" ?
d/dk \int_P{-oo}^{oo} f(x)exp(ikx)dx
czyli pochodna transformaty funkcji f(x).
[A co to jest \int_P ?]
Jeśli f spada dostatecznie szybko dla x \to \pm \inf, to pochodną i całkę
iterować można. Jeśli nie, to być może nie.
A czemu inżynierowie i fizycy się nie przejmują? Bo inżynieria i fizyka,
w odróżnieniu od matematyki, zajmują się obiektami realnymi, nie idealnymi.
W przyrodzie nie występuje na przykład idealny sygnał sinusoidalny
o nieskończonym nośniku. Fizyk lub inżynier nie odróżni idealnego sygnału
sinusoidalnego od sygnału, który różni się bardzo mało od idealnego
w przedziale [-T,T] a poza tym przedziałem spada gładko do zera, jeśli
tylko T jest dostatecznie duże (powiedzmy, T~10^6 lat albo T~wiek
Wszechświata). No to obkładamy nasz sygnał odpowiednim oknem,
co uzbieżnia całkę, iterujemy różniczkowanie i całkowanie, po czym
przechodzimy z rozmiarem okna do nieskończoności. To jest matematycznie
_niepoprawne_, ale fizycznie i inżyniersko uzasadnione z wyżej
wymienionych powodów. Podobnie, w przyrodzie nie występują idealne
funkcje skokowe, każdy fizycznie realizowalny filtr ma swój czas narastania.
Więc zastępujemy skok funkcją gładką odpowiednio szybko narastającą,
iterujemy, po czym przechodzimy z czasem narastania do zera. Przy pewnej
wprawie robi się to "podświadomie" i można łatwo uniknąć matematycznych
pułapek. Tak jest akurat w teorii sygnałów (i w kwantowej teorii pola),
ale w paru innych dziedzinach "regularyzacje" i inne matematyczne oszustwa
prowadzą do wyników fizycznie (i inżyniersko) niepoprawnych.
Post by piorczy chodzi o to
aby potraktowac sama transformate jako dystrybucje?
To jest podejście alternatywne. W powyższym przykładzie, funkcja
sinus nie ma zwykłej transformaty, ale jeśli dopuścimy dystrybucje,
to jako transformatę sinusa dostaniemy piękną deltę Diraca.
--
Paweł Góra
A physical entity does not do what it does because it is what it is,
but is what it is because it does what it does.