Discussion:
Szereg MacLaurina zadanie
(Wiadomość utworzona zbyt dawno temu. Odpowiedź niemożliwa.)
Stachu Chebel
2023-03-10 04:01:09 UTC
Permalink
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Siedemnasta pochodna !! Umiem liczyć pochodne, rozumiem ideę szeregu MacLaurina, ale dobrnąłem do trzeciej. Czwartą i n-tą też dałbym radę, ale to chyba raczej robota dla Mnichów w Tybecie w przerwach podczas medytacji..

Dobrnąłem do : f(0)=0, f(1)[(0)]=0 ,f(2)[0]=-1
f(n)[x] - n-ta pochodna względem x.

================

Musi być jakiś trick, którego nie widzę. Podpowiecie coś ??
J.F
2023-03-10 16:18:22 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Siedemnasta pochodna !! Umiem liczyć pochodne, rozumiem ideę szeregu MacLaurina, ale dobrnąłem do trzeciej. Czwartą i n-tą też dałbym radę, ale to chyba raczej robota dla Mnichów w Tybecie w przerwach podczas medytacji..
Dobrnąłem do : f(0)=0, f(1)[(0)]=0 ,f(2)[0]=-1
f(n)[x] - n-ta pochodna względem x.
================
Musi być jakiś trick, którego nie widzę. Podpowiecie coś ??
Uzyj Wolframa, Luke :-)

Nie zeruje sie po którejś, przynajmniej w 0 ?
A moze choc nieparzyste ...

no właśnie - funkcja parzysta, nieparzyste wyrazy rozwinięca muszą byc
zerowe ... bo parzyste to jakos szybko rosną

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%5E2%2F%283x%5E2-2%29%29+%27%27%27%27%27%27%27%27%2C+x%3D0

A to dopiero 8-ma

J.
Boguś
2023-03-10 22:16:39 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Co to ma być f(17)(0) i po co masz to obliczać.
Szereg MacLaurina nie służy do obliczenia jakiś pochodnych tylko do rozwijania
funkcji w szereg wykorzystując pochodne dokoła punktu (0).
Do rozwijania funkcji w szereg nie potrzeba 17 wyrazów ale wystarczy zwykle kilka
wyrazów. Wszystko zależy jakiej dokładności chcemy i jak daleko od punktu (0)
chcemy przybliżać funkcję przez szereg.

Gdyby z jakiego nieznanego powodu chcesz jednak obliczyć pochodne twojej funkcji
to potrzeba trochę sprytu. Popatrz na taki zapis twojej funkcji

f(x) = 1/3 + 2/3 * 1/(3x^2-2)
--
Boguś
Boguś
2023-03-10 22:39:26 UTC
Permalink
Post by Boguś
Post by Stachu Chebel
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Gdyby z jakiego nieznanego powodu chcesz jednak obliczyć pochodne twojej funkcji
to potrzeba trochę sprytu. Popatrz na taki zapis twojej funkcji
f(x) = 1/3 +  2/3 * 1/(3x^2-2)
a gdyby jednak chciałbyś rozwinąć w szereg Mac.. to popatrz w podręcznik i zobacz
rozwinięcie w szereg funkcji 1/(x^2+a). Nawet 100-tny wyraz możesz obliczyć ;)
--
Boguś
Stachu Chebel
2023-03-11 01:29:45 UTC
Permalink
Post by Boguś
Post by Stachu Chebel
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Co to ma być f(17)(0) i po co masz to obliczać.
Wartość siedemnastej pochodnej pochodnej dla x=0. Po co? Bo tak stanowi treść zadania.
Post by Boguś
Szereg MacLaurina nie służy do obliczenia jakiś pochodnych tylko do rozwijania
funkcji w szereg wykorzystując pochodne dokoła punktu (0).
Wiem do czego służy.
Post by Boguś
Do rozwijania funkcji w szereg nie potrzeba 17 wyrazów ale wystarczy zwykle kilka
wyrazów. Wszystko zależy jakiej dokładności chcemy i jak daleko od punktu (0)
chcemy przybliżać funkcję przez szereg.
Gdyby z jakiego nieznanego powodu chcesz jednak obliczyć pochodne twojej funkcji
to potrzeba trochę sprytu. Popatrz na taki zapis twojej funkcji
f(x) = 1/3 + 2/3 * 1/(3x^2-2)
--
Boguś
Maciej Wozniak
2023-03-11 14:26:33 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
Post by Boguś
Post by Stachu Chebel
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Co to ma być f(17)(0) i po co masz to obliczać.
Wartość siedemnastej pochodnej pochodnej dla x=0. Po co? Bo tak stanowi treść zadania.
Zadanie nie mówi, że masz znaleźć 17 pochodną funkcji
tylko, że masz znaleźć wartość. Nie mam pomysłu,
ale stary jestem i dawno z tym nie miałem do
czynienia.
bartekltg
2023-06-10 21:16:35 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
f(x)=x^2/(3x^2-2). Podać rozwinięcie w szereg MacLaurina i obliczyć f(17)(0).
Siedemnasta pochodna !! Umiem liczyć pochodne, rozumiem ideę szeregu MacLaurina, ale dobrnąłem do trzeciej. Czwartą i n-tą też dałbym radę, ale to chyba raczej robota dla Mnichów w Tybecie w przerwach podczas medytacji..
Dobrnąłem do : f(0)=0, f(1)[(0)]=0 ,f(2)[0]=-1
f(n)[x] - n-ta pochodna względem x.
================
Musi być jakiś trick, którego nie widzę. Podpowiecie coś ??
Odgrzebuje post z poprzedniego kwartału;-)

To, że pytają, jak wygląda 17 pochodna, to podpowiada, że nie masz wyznaczyc
szeregu liczac pochodne na piechotę. Rzadko się tak robi (*).

Jak można to inaczej?
1/(2-3x^2) = 1/2 1/(1-1.5x^2) = 1/2 * ( 1 + 1.5x^2 + (1.5x^2)^2 + (1.5x^2)^3....)


To po prawej w nawiasie to szereg geometryczny o ilorazie 1.5x^2.
Jego suma to, szkolnym wzorkiem, 1/(1-1.5x^2)

No to orginalna funkcja ma szereg
f[x] = x^2 1/2 * ( 1 + 1.5x^2 + (1.5x^2)^2 + (1.5x^2)^3....)
= cośtam
Co istotne, występują tylko wyrazy o parzystej potędze x,
więc 17 pochodna tej funkcji w 0 jest równa 0
(co zresztą widać z parzystości oryginalnej funkcji)

pzdr
bartekltg


*) Student dostał szereg taylora do wyznaczenia. Liczy pierwszą pochodną,
drugą, trzecią... piątą. Przerywa mu egzaminator:
-Proszę usiąśc sobie tu na boku i wrócić, jak pan to skonczy.
Loading...