Funkcja dajaca minimum całki

[WM]

Szukam funkcji y=f(x) dającej minimum pewnej całki V .

V= całka {w granicach od 0 do Xo} (y*((sqrt(2)/2)-y)) dx

Jest to zadanie geometryczne i dlatego, żeby bezwymiarowa objetość V miała
sens konieczne jest spełnienie warunkow:
y*((sqrt(2)/2)-y) >= 0
Xo < 1

Długość linii y=f(x) ma być stała i równa 1, dlatego Xo znajdziemy
ze znanej zależności:
1= całka {w granicach od 0 do Xo} (sqrt(1+(dy/dx)^2)) dx
Można dodatkowo przyjąć:
y=0 dla x=0
1 > y >= 0

Próbowałem zadanie przekształcić do formy funkcjonału wariacyjnego Eulera,
ale niestety bez skutku. Te nieszczęsne Xo mi w tym przeszkadza.

Pozdrawiam WM

[Marek Józefowski]

Post by WM
Szukam funkcji y=f(x) dającej minimum pewnej całki V .
V= całka {w granicach od 0 do Xo} (y*((sqrt(2)/2)-y)) dx
Jest to zadanie geometryczne i dlatego, żeby bezwymiarowa objetość V miała
y*((sqrt(2)/2)-y)>= 0
Xo< 1
Długość linii y=f(x) ma być stała i równa 1, dlatego Xo znajdziemy
1= całka {w granicach od 0 do Xo} (sqrt(1+(dy/dx)^2)) dx
y=0 dla x=0
1> y>= 0
Próbowałem zadanie przekształcić do formy funkcjonału wariacyjnego Eulera,
ale niestety bez skutku. Te nieszczęsne Xo mi w tym przeszkadza.

Potraktuj krzywą jak krzywą parametryczną, parametryzowaną
długością "s" : {y(s), x(s)} dla 0 \< s \< 1.
Sprawdź, że wtedy (x')^2 + (y')^2 = 1
( x' = dx/ds ; y' = dy/ds).
Wtedy zadanie sprowadza się do znalezienia minimum funkcjonału:

V[y(s),y'(s)] = \int_0^1 (y*((sqrt(2)/2)-y))*sqrt(1-(y')^2)ds

i odwikłaniu funkcji y(x).

[WM]

Dziękuję za podpowiedź.
Zacząłem liczyć tą metodą zaplątując się w tasiemcowych wzorach.
Na uzyskanie prostej zależności raczej nie mam szans.

Znalazłem przybliżenie w inny sposób.
Zastąpiłem szukaną krzywą przy pomocy łamanej składającej się
z dziesięciu równych odcinków o długości 0,1.
Nachylenia tych odcinków to były niewiadome, których szukałem.
Zwyczajnie - zastąpiłem mój problem optymalizacją funkcji 10 zmiennych.
Funkcja celu to była całka wyliczona metodą trapezów.
Do obliczeń użyłem solvera z programu Excel otrzymując takie przybliżenie:
http://w939.wrzuta.pl/obraz/4dmUoDM3UWh/war

Przypomina ta krzywa elipsę, aczkolwiek bardzo dobrze ją aproksymuje
wielomian 4-stopnia.

Pozdrawiam WM

[Gik]

Szukam funkcji y=f(x) dającej maximum pewnej całki V .
V= całka {w granicach od 0 do Xo} (y*((sqrt(2)/2)-y)) dx
Długość linii y=f(x) ma być stała i równa 1, dlatego Xo znajdziemy
1= całka {w granicach od 0 do Xo} (sqrt(1+(dy/dx)^2)) dx
y=0 dla x=0

gdyby nie ten ostatni warunek to zadanie jest trywialne. Rozwiązaniem byłoby
y=1/(2sqrt(2)) i R0=1

Znalazłem przybliżenie w inny sposób.
Zastąpiłem szukaną krzywą przy pomocy łamanej składającej się
z dziesięciu równych odcinków o długości 0,1.

Lepiej byłoby użycie 10 punktów i uciąglenie funkcji przy użyciu funkcji interpolującej.
Niestety nie da się to zrobić w Excelu.

Nachylenia tych odcinków to były niewiadome, których szukałem.
Zwyczajnie - zastąpiłem mój problem optymalizacją funkcji 10 zmiennych.
Funkcja celu to była całka wyliczona metodą trapezów.

hm. metoda trapezów z 10 punktów. Nie jest zbyt dokładna.
ale.. gdzie warunek że długość ma być równa 1

http://w939.wrzuta.pl/obraz/4dmUoDM3UWh/war

No 'oko' zaskakujące poprawne rozwiązanie.

Dokładne rozwiązanie z funkcją interpolującą, dobrym całkowaniem i funkcją celu
zdefiniowaną jako

V - 10000 (całka {w granicach od 0 do Xo} (sqrt(1+(dy/dx)^2)) dx)-1)^2
masz tutaj Loading Image...

Masz tam również dokładne współrzędne asymetrycznie rozłożonych współrzędnych.
No oko (bo nie mam współrzędnych twojego rozwiązania) twoje rozwiązanie nie odbiega
znacząco od poprawnego wyniku. Jest to szczęśliwy traf bo maksimum V jest bardzo szerokie

Przypomina ta krzywa elipsę

nie bardzo. Może na oko. Próba dopasowania równanie elipsy do tej krzywej kończy się
niepowodzeniem

[WM]

Post by Gik
hm. metoda trapezów z 10 punktów. Nie jest zbyt dokładna.
ale.. gdzie warunek że długość ma być równa 1

Dziesięć odcinków o długości 0,1 daje w sumie 1 :-)
Niewiadome to były rzuty Dy tych odcinków na oś Y.
Dla pewności narzuciłem w solverze ograniczenie 0 < Dy < 0,1 .
Rzuty na oś X można potem wyznaczyć Pitagorasem:
Dx^2+Dy^2=0,1^2

Post by Gik
No oko (bo nie mam współrzędnych twojego rozwiązania) twoje rozwiązanie nie odbiega
znacząco od poprawnego wyniku.

To są moje wyniki.

X
0
0,024268847
0,086588483
0,169053849
0,261096081
0,357536458
0,455974499
0,555316318
0,65506561
0,754988925
0,854982598

Y
0
0,097010428
0,175216968
0,231780767
0,270873319
0,297316723
0,314922177
0,326376568
0,333453199
0,337368689
0,338493642

Mam jednak wątpliwości, czy nie uzyskalismy minimum lokalnego.

Wróciłem do metody dokładnej, podpowiedzianej przez Ciebie
w pierwszym poscie i udało mi się dokonać redukcji 'tasiemca'.
Dokładna zależność uzyskana z równania Eulera wygląda tak:

dy/dx = sqrt(-1+( C/((y*(y-sqrt(2)/2))^2)))

C - jest stałą całkowania.
Oznacza to, ze istnieje cała rodzina krzywych z parametrem C,
spełniających nasze równanie Eulera.
Dla każdej z nich mozna tak dobrać granice całkowania, żeby
długosć krzywej wynosila 1.
Teraz trzeba wybrać takie C, aby uzyskać globalne maksimum funkcji celu.
Tylko jak to zrobić skoro C tkwi pod całką?

Pozdrawiam WM

[Marek Józefowski]

Post by WM
Dziękuję za podpowiedź.
Zacząłem liczyć tą metodą zaplątując się w tasiemcowych wzorach.
Na uzyskanie prostej zależności raczej nie mam szans.
Znalazłem przybliżenie w inny sposób.
Zastąpiłem szukaną krzywą przy pomocy łamanej składającej się
z dziesięciu równych odcinków o długości 0,1.
Nachylenia tych odcinków to były niewiadome, których szukałem.
Zwyczajnie - zastąpiłem mój problem optymalizacją funkcji 10 zmiennych.
Funkcja celu to była całka wyliczona metodą trapezów.
http://w939.wrzuta.pl/obraz/4dmUoDM3UWh/war
Przypomina ta krzywa elipsę, aczkolwiek bardzo dobrze ją aproksymuje
wielomian 4-stopnia.

Dopiero teraz miałem czas na to zerknąć -
- nie wiem czy Ci to pomoże, ale po powrocie do zmiennych
"x" r. Eulera-Lagrange'a będą miały postać:

(V(y)y')' = - d*/d*y (V(y))

gdzie V= (y*((sqrt(2)/2)-y)); prim tym razem oznacza
pochodną po "x", a symbol d*/d*y oznacza pochodną cząstkową.
Można zrobić z tego układ równań 1-rzędu:

y' = v

v' = - (d*/d*y V(y)){v^2 + 1}/V(y)

Dosyć nieprzyjemny układ nieliniowy. Ale po podstawieniu
z(x) = arctan(v), możemy separować zmienne:

y' = tan(z)

z' = - d*/d*y (V(y))/V

to można zapisać w inny sposób:

y' = d*/d*z U(z,y) = a1

z' = - d*/d*y U(z,y) = a2

gdzie U(z,y) = log(V)-log(cos(z)) = log(V(y)/cos(z))
Jeżeli potraktujemy to jako równanie charakterystyk,
to całka pierwsza: W(z,y) spełnia równanie cząstkowe:

a1(d*W/d*y) + a2(d*W/d*z) = 0

Jeżeli podstawisz za a1 i a2, to jest jasne,
że powyższe równanie jest spełnione przez U.
A więz U(z,y) = const - jest całką pierwszą, ergo całką pierwszą
wyjściowego układu jest:

exp[U(y,v)] = (y*((sqrt(2)/2)-y))/cos(arctan(v)) =
= (y*((sqrt(2)/2)-y))*sqrt(1 + v^2) = const = E

Możesz więc narysować sobie krzywe fazowe na płaszczyźnie (y,v),
a także obniżyć rząd równania:

sqrt{E^2 - y^2*((sqrt(2)/2)-y)^2}
y' = --------------------------------------
y*((sqrt(2)/2)-y)

(...)

[WM]

Post by WM
Dziękuję za podpowiedź.
Zacząłem liczyć tą metodą zaplątując się w tasiemcowych wzorach.
Na uzyskanie prostej zależności raczej nie mam szans.

A jednak nie było aż tak źle.

Zastosowałem typowe podstawienie obniżające stopień pochodnej:

p=dy/ds ; dp/ds = p * dp/dy

       sqrt{E^2 - y^2*((sqrt(2)/2)-y)^2}
y' = --------------------------------------
             y*((sqrt(2)/2)-y)
(...)

Po rozdzieleniu zmiennych, mianownik daje się przedstawić
jako iloczyn pod pierwiastkiem:

(y-b/2-sqrt{(b/2)^2-1})*(y-b/2+sqrt{(b/2)^2-1})*(y-b/2-sqrt{(b/2)^2+1})*
(y-b/2+sqrt{(b/2)^2+1})

Widać gdzie mogą się ewentualnie pojawić nieskończone piki, co pozwoli
tak dobrać stałą całkowania, aby je omijać.

Chyba nie pozostaje nic innego jak wykonywać obliczenia numeryczne
dla różnych wartości stałej całkowania b , obserwując jaki ma ona wpływ
na funkcję celu.

Pozdrawiam WM

[WuKa]

Post by WM
Próbowałem zadanie przekształcić do formy funkcjonału wariacyjnego Eulera,
ale niestety bez skutku. Te nieszczęsne Xo mi w tym przeszkadza.
Pozdrawiam WM

Czyż to nie podpada pod zagadnienie izoperymetryczne i funkcjonał
Eulera-Lagrange'a?

WuKa

[WM]

Post by WuKa
Czyż to nie podpada pod zagadnienie izoperymetryczne i funkcjonał
Eulera-Lagrange'a?

W takim razie powiem skąd się wzięła ta zależność.
Z kartki papieru formatu A4 wykonałem takie figury rozwijalne:

Loading Image...
Loading Image...
Loading Image...

Krawędzie kartki po zagięciu leżą na jednej płaszczyźnie (blat stołu).
Zacząłem badać, dla jakiego kształtu zgięcia uzyskam maksymalną objetość
przykrytą kartką.
Efektem tych rozważań jest to równanie na objetość bryły:

V= \int_0^Xo (y*((sqrt(2)/2)-y)) dx

Szukam funkcji (kształtu linii wygięcia) y=f(x)
dającej maksimum tej całki V , przy uwzględnieniu tego,
że długość kartki nie zmieni się po zwinięciu.

1= \int_0^Xo (sqrt(1+(dy/dx)^2)) dx

Pozdrawiam WM

P.S. W poprzednim poście podałem błednie, że szukam minimum.
Oczywiście szukam maksimum.

[WM]

Post by WM
Szukam funkcji (kształtu linii wygięcia) y=f(x)
dającej maksimum tej całki V , przy uwzględnieniu tego,
że długość kartki nie zmieni się po zwinięciu.
1= \int_0^Xo (sqrt(1+(dy/dx)^2)) dx
Pozdrawiam WM
P.S. W poprzednim poście podałem błednie, źe szukam minimum.
Oczywiście szukam maksimum.

Denko opakowania tekturowego do frytek znanej firmy z dużą literą M,
jest zaginane podobnie do opisywanego tutaj sposobu.
Ciekawe, czy zatrudnili matematyków do obliczenia optymalnej linii gięcia?

WM

[WuKa]

Post by WuKa

Post by WM
Próbowałem zadanie przekształcić do formy funkcjonału wariacyjnego Eulera,
ale niestety bez skutku. Te nieszczęsne Xo mi w tym przeszkadza.
Pozdrawiam WM

Czyż to nie podpada pod zagadnienie izoperymetryczne i funkcjonał
Eulera-Lagrange'a?
WuKa

Tak, sądzę dało się to sprowadzić do zadania izoperymetrycznego. Wyłałem
maila z pdf na priv z rozwiązaniem analitycznym.


WuKa

[WuKa]

U?ytkownik "WuKa" <***@op.pl> napisa? w wiadomo?ci news:hk7jud$1248$***@news2.ipartners.pl...

Rozwiązanie analityczne zagadnienia wariacyjnego z dyskusją parametru
długości drogi całkowania zamieściłem w postaci pliku pdf zamieszczonego tu
(dostępnego przez 7 dni):
http://www.yousendit.com/download/S1VBZHlpd0k0b0JMWEE9PQ

Podane przez WM zadanie poszerza zbiór akademickich zadań stanowiących
klasykę rachunku wariacyjnego i może być ich uzupełnieniem o przykład wzięty
"wprost z życia". Któż bowiem nie wstąpił do lokalu znanej firmy z dużym M w
logo na jakąkolwiek przekąskę? :)

WuKa

[Gik]

Post by WuKa
Rozwiązanie analityczne zagadnienia wariacyjnego z dyskusją parametru
długości drogi całkowania zamieściłem w postaci pliku pdf zamieszczonego
http://www.yousendit.com/download/S1VBZHlpd0k0b0JMWEE9PQ

Opis swojego rozumowania i udostępnienie go innym można tylko pochwalić. Byłoby całkiem
fajnie gdyby jako 'dodatek' do grupy psm byłoby takie miejsce, gdzie można byłoby
umieszczać 'appendix' ( zwłaszcza wzory , które fatalnie wyglądają jako tekst)

Twój tekst zacząłem czytać od końca, metodą - po wynikach poznacie prawdziwość dowodu.
2 wykresy, które tam zamieściłeś zaniepokoiły mnie. Ich kształt jest wyraźnie inny od
wyników numerycznych podanych już wcześniej przez WM i mnie.

Nieco wcześniej na stronie 2 podałeś wzory na zalezność parametryczną x(t) i y(t) ( dobrze
byłoby wzory numerować- łatwiej byłoby je cytować) zależną od parametru 'a' i 'gamma'.
Obliczenie 'a' podałeś niżej w czerwonej ramce ha = a. Po lewej i prawej stronie jest 'a'
co prowadzi do rozwiązania równania kwadratowego. Niżej wzór na gamma. Twój przykład
ta=Pi/2 dał a=0.605 gamma=0.644. Niestety nie jest to prawdą ( albo korzystałeś z innych
wzorów). Wynik prawidłowy to a=0.7056 i gamma=0.7272. Niestety wykres y[t] od x[t) wygląda
jeszcze gorzej. Aha we wzorze na gamma jest błąd : zamiast 'a' w mianowniku powinno być
'a^2' co daje gamma=1.0307 - jeszcze gorzej. Sprawdzam numerycznie długość linii w/g
twoich danych i moich. Żadna nie jest równa 1 a to było założenie.

Cofam się do obliczenia długości krzywej całka(z sqrt(1+y'^2) ... pojawia się tam dx^2
który nie nic wspólnego z pochodną wcześniej podanego wzoru na x(t). Jako wynik
otrzymujesz sqrt[gamma)/sqrt(1+cos(t))dt. Niżej podany wynik tej całki jest błędny i na
domiar złego pojawiło się tam 'a', którego nie ma pod znakiem całki.

Cofam się na początek 2 strony gdzie jest obliczenie x(t). Całkujesz (sqrt(gamma)
cos[t]/sqrt[1+cos(t)) . I znów wynik błędny i do tego to nieszczęsne 'a' nie wiadomo skąd.
Pierwszej strony już nie sprawdzam czy nie ma tam również błędu. Pozostawiam to tobie.

teraz konstruktywnie
Calka z cos(t)/sqrt(1+cos(t)) mozna znaleść tu : http://integrals.wolfram.com/index
wpisując wyrażenie cos(x)/sqrt(1+cos(x))
Wynik jest zabójczo długi, bo Wolfram zakłada domyślnie, że 'x' jest zespolone.
Jeżeli założymy, że 'x' jest typu rzeczywistego i trochę się po gimnastykujemy to
otrzymamy zwarte wyrażenie na wartośc ten całki

2sqrt(2)(sin(t/2)-Arctanh(tan(t/4)))

Analogicznie całka z 1/sqrt(1+cos(t)) = 2sqrt(2)Arctanh(tan(t/4))

Jeżeli nie lubisz Arctanh to można wyrażenie
Arctanh(tan(t/4)) zastąpić wyrażeniem 1/2*ln(-1+2/(1-tan(t/4)))

Sprawdź więc 1 stronę czy i tam nie ma błędu, wykorzystaj całki, które ci podałem i zrób
'lifting' swojego opracowania.
Na końcu jednak sprawdź czy :
1. Otrzymujesz tylko jedna krzywą ( nie może być zależna od jakiegoś parametru)
2. Czy ta krzywa jest taka jak sama jak ta, którą podał ci już WM i ja.

[WuKa]

Post by Gik
Opis swojego rozumowania i udostępnienie go innym można tylko pochwalić.
Byłoby całkiem fajnie gdyby jako 'dodatek' do grupy psm byłoby takie
miejsce, gdzie można byłoby umieszczać 'appendix' ( zwłaszcza wzory ,
które fatalnie wyglądają jako tekst)
Gik

Otóż Kolego, niestety tam jest błąd, który zauważył Kolega WM. Nie wiedzieć
czemu, dysponując funkcją y12(t), znalazłem jej różniczkę dy12 a potem....
przez nieuwagę ponownie scałkowałem. To było niepotrzebne z dwóch powodów,
"zgubiłem" mnożnik 0.5 przed pierwiastkiem i wprowadziłem stałą M, której
nie było przedtem. Dodałem więc jeden stopień swobody niby-rozwiązaniu, co
tworzy nową rzeczywistość.
Mam już inną wersję, ponumerowaną, jest dłuższa i zastanawiam się, czy warto
ją gdziekolwiek zamieszczać. Dlaczego? Bo... prowadzi do bardzo konkretnej,
jednej postaci krzywej (tak niby trzeba) ale z długością 0.881 (sic!), czyli
pozbawioną zupełnie "sterowalności". Prawdopodobnie oznacza to, że warunek
całkowalności pomyślano jako istnienie funkcji pierwotnej wyrażonej
funkcjami elementarnymi zawęża dziedzinę rozwiązania i prowadzi do krzywej
niezdolnej mieć długość np. 1. Powstała więc sytuacja, w której rozwiązanie
nie reaguje na skalę (rozmiar) zwijanej tekturki, co oczywiście jest złym
przypuszczeniem.

WuKa
PS. Chętnie wysłuchałbym komentarza do tej poprawionej wersji i mogę ew.
wysłać prywatnie.

[WM]

...... Powstała więc sytuacja, w której rozwiązanie
nie reaguje na skalę (rozmiar) zwijanej tekturki, co oczywiście jest złym
przypuszczeniem.

Dysponujemy wynikiem przybliżonym, obliczonym numerycznie przez GiK i mnie,
który pozwolił stworzyć model 3D optymalnie wygiętej kartki papieru.
Wiemy, że formaty A (więc A-4 też) mają stosunek boków równy
pierwiastkowi z 2, co czyni bezwymiarowy wynik uniwersalnym dla formatów A.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Format_arkusza#Norma_ISO_216

Dołączam wizualizację (w bezpłatnej przeglądarce)
największej możliwej objętości przykrytej wygiętą kartką.
Po uruchomieniu pliku walce.exe proszę wcisnąć prawo-górną zieloną strzałkę,
a zaczną się pokazywać kolejne rzuty.
Na modelu zaznaczono kwadrat o boku równym y(x).
Uwaga plik załącznika walce.exe ma dużą objętość 4 195 KB

http://www.narval.republika.pl/walce.exe

Pozdrawiam WM

[WuKa]

U?ytkownik "WuKa" <***@op.pl> napisa? w wiadomo?ci news:hkskue$2fbo$***@news2.ipartners.pl...

Poprawioną i ostateczną wersję zamieszczam tu:
http://download.yousendit.com/VGlmaXRHRSsrV3lGa1E9PQ
Niczym nie różni się od wersji Kolegów GiK i WM. Ja używam pomocniczego
parametru t do uzyskania związków na x(t) i y(t) a potem kreślę krzywą
(x(t),y(t)). Kłopot polega na tym, że dyskretyzując równomiernie t nie
"trafiam" w Wasze x i y. Zadałem sobie trud, wyznaczyłem te wartości t, by
uzyskać mniej więcej Wasze y z moją parametryzacją. Proszę porównać wyniki,
nie ma istotnej różnicy, poza dokładnością. Jeśli uzyskaliście funkcję
y=y(x) w postaci analitycznej, to znaczy, że w moim i opisie paramatrycznym
można "zgubić" t, nad czym się po prostu nie zastanawiałem.

A oto wyniki Kol. WM a tu dla porównania moje
y x y(t) x(t) dla t
0 0 0 0 0
0,097010428 0,025789891 0.0970019 0.0262254 0.4932043
0,175216968 0,088756642 0.1751645 0.0891785 0.8411637
0,231780767 0,170872726 0.2317719 0.1700795 1.0787207
0,270873319 0,261560745 0.2708031 0.2618826 1.2382652
0,297316723 0,355134776 0.2973111 0.3558153 1.3453501
0,314922177 0,447754339 0.3149103 0.4475669 1.4160697
0,326376568 0,535111965 0.3263942 0.5350310 1.4621060
0,333453199 0,610269592 0.3334535 0.6091135 1.4903749
0,340000000 0,708627419 0.3400005 0.7105869 1.5165781
0,346030000 0,855687038 0.3460328 0.8581770 1.5407129

a tu są formuły excelowe na x(t) i y(t) (zakładając, że w kolumnie A od
komórki 2 rozwija się t w dół od 0 do pi/2)
x(t)= PIERWIASTEK(2)/4*(1-PIERWIASTEK(1-SIN(A2)))
y(t)=
PIERWIASTEK(2)/8*(((1-SIN(A2)+COS(A2))/PIERWIASTEK(1-SIN(A2))/PIERWIASTEK(1+COS(A2)))*ATANH((1+SIN(A2)+COS(A2))/(2*PIERWIASTEK(1+COS(A2))))-2*COS(A2)/PIERWIASTEK(1-SIN(A2))+2-PIERWIASTEK(2)*ATANH(PIERWIASTEK(2)/2))

WuKa

[WM]

Post by WuKa
http://download.yousendit.com/VGlmaXRHRSsrV3lGa1E9PQ

(...)

Dziękuję za ciekawe wyniki otrzymane inną metodą niż moje.

Jeszcze trzeba w sposób porządny wyznaczyć stałą całkowania E.
Przyjąłem ją równą 1/8 własciwie z kryteriów estetycznych,
bo ładniej wygladała niż np: 1/7,9 lub 1/8,1416 ;-)

To, że wyniki z równania doładnego różnią sie nieco (w koncu przedziału),
od obliczeń numerycznych może byc skutkiem błedów metody numerycznej,
ale aby to ustalić trzeba wyliczyć, a nie zgadywać jakie jest E.

Pozdrawiam WM

[WuKa]

Post by WM

Post by WuKa
http://download.yousendit.com/VGlmaXRHRSsrV3lGa1E9PQ

(...)
Dziękuję za ciekawe wyniki otrzymane inną metodą niż moje.
Jeszcze trzeba w sposób porządny wyznaczyć stałą całkowania E.
Przyjąłem ją równą 1/8 własciwie z kryteriów estetycznych,
bo ładniej wygladała niż np: 1/7,9 lub 1/8,1416 ;-)
To, że wyniki z równania doładnego różnią sie nieco (w koncu przedziału),
od obliczeń numerycznych może byc skutkiem błedów metody numerycznej,
ale aby to ustalić trzeba wyliczyć, a nie zgadywać jakie jest E.
Pozdrawiam WM
--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

Ja nie mam problemów z wyznaczeniem stałych, one wynikają z opisu
rozwiązania, uzyskuję je analitycznie. Natomiast ciekawą sprawą jest
ustalanie długości drogi L, która może być dowolnie duża, ale trudno jej
precyzyjnie przyporządkować parametr t z warunku s(t)=L. Tam dramatycznie
nadziewamy się na asymptotę i wielkim zmianom L odpowiedają znikome zmiany t
a wszystko to musi się "zmieścić" przed pi/2.
Zdumiewa też fakt, że inne propozycje parametryzacji, np. przez tgt nie
doprowadziły wcześniej do rozwiązania, które przecież nie powinno zależeć od
paramatryzacji. Byc może popełniałem jakieś błędy w zwyczajnych
przekształceniach.

Pozdrawiam
WK

WuKa

[WM]

Post by WuKa

Post by WuKa
http://download.yousendit.com/VGlmaXRHRSsrV3lGa1E9PQ

(...)

Ja nie mam problemów z wyznaczeniem stałych, one wynikają z opisu
rozwiązania, uzyskuję je analitycznie.

W równaniu 7 zakłada Pan arbitralnie C=-1/8 , bo wzór jest ładny.
Gdyby Pan przyjął np. C=(-1/8,5) to powstałaby całka eliptyczna,
która ma dla przyjętego parametru t rozwiązania rzeczywiste,
nie zespolone (mimo, że P nie równa się Q).

-------------------------------------
Mam już pomysł jak wyznaczyć C .

Wyszedłem ze wczesniejszego wzoru dy/ds=F(y,C) , czyli:
S=całka [1/F(y,C])dy

Zrózniczkowałem po C i przyrównałem do zera:

dS/dC = całka {d[F(y,C)]/dC} dy =0

Trochę skomplikowana całka wychodzi, ale chyba da się policzyć.
Trochę trudu mnie czeka.

WM

[WM]

Post by WuKa
Ja nie mam problemów z wyznaczeniem stałych, one wynikają z opisu
rozwiązania, uzyskuję je analitycznie.

Witam Pana.

Odniosę się do tego pliku:
http://download.yousendit.com/VGlmaXRHRSsrV3lGa1E9PQ
Dla P innego niż Q mamy całki eliptyczne, dające wyniki rzeczywiste,
nie zespolone.

Moim zdaniem stalą C trzeba wyznaczyć inaczej.

Z równania 4 może Pan otrzymać równanie na dy/ds i scałkować
otrzymujac wzór na S .

Wygodniej podstawić C1=1/C rozdzielić zmienne i scałkować:

S=-S1+ Całka {1/sqrt[1-(C1)*(y*(-y+sqrt(2)/2))^2]} dy

Teraz po zróżniczkowaniu po C1 przyrównujemy do zera:

dS/dC1 = 0 czyli:

całka {-(-1/2)*(y*(-y+sqrt(2)/2))^2/[1-(C1)*(y*(-y+sqrt(2)/2))^2]^(3/2}dy =0

Stąd wyznaczamy stałą C1 .

Pozdrawiam WM

[WM]

.......

Post by Gik
teraz konstruktywnie
Calka z  cos(t)/sqrt(1+cos(t)) mozna znaleść

......

Podstawienie trygonometryczne do niczego dobrego nie prowadzi.
Znalazłem rozwiązanie analityczne w inny sposób,
wychodząc z tego równania:

sqrt{E^2 - y^2*((sqrt(2)/2)-y)^2}
y' = --------------------------------------
y*((sqrt(2)/2)-y)


Z rozwiązania numerycznego oszacowałem stałą całkowania E=1/8 .
Potem podstawiłem nową zmienną z=y*sqrt(8)
Otrzymaną całkę wyliczył niezawodny Wolframalpha:
http://tiny.pl/hmsmv
Po podstawieniu z=0 i x=0 otrzymujemy drugą stałą całkowania:
C=(1/PIERWIASTEK(8))*(1-PIERWIASTEK(1/2)*LN(2*(1+PIERWIASTEK(2))))

Oto całe równanie krzywej x=f(y) w koszmarnym zapisie Excelowskim:

x =
=(1/PIERWIASTEK(8))*((1-PIERWIASTEK(1/2)*LN(2*(1+PIERWIASTEK(2))))-PIERWIASTEK
(1-(y*PIERWIASTEK(8))^2+2*(y*PIERWIASTEK(8)))+(PIERWIASTEK(1/2)*LN(2*
(PIERWIASTEK(1-(y*PIERWIASTEK(8))^2+2*(y*PIERWIASTEK(8)))+PIERWIASTEK(2))/(1-
(y*PIERWIASTEK(8))))))

A oto wyniki wycięte z Excela:
y
0
0,097010428
0,175216968
0,231780767
0,270873319
0,297316723
0,314922177
0,326376568
0,333453199
0,34
0,34603

x
0
0,025789891
0,088756642
0,170872726
0,261560745
0,355134776
0,447754339
0,535111965
0,610269592
0,708627419
0,855687038

Widać, że nasze wyniki numeryczne są nieco zaniżone w końcu przedziału.
http://w708.wrzuta.pl/obraz/0aoh7Fulu5b/porownanie

Pozdrawiam WM