Metoda przekątniowa

W dniu 2013-07-29 00:01, ***@op.pl pisze:

Zabierasz się za dowód od tyłu.

Zakładamy, że między N i R (czy tam odcinkiem [0,1]) jest
bijekcja. W tabelkę wpisujemy tę bijekcję. Dalej tak samo,
bijekcja okazałą się zła (nie zawiera wszystkich elementów R),
sprzeczność.

Jak wolisz myśleć o tym 'mechanicznie', w ten sposób możemy
postąpić z każdą propozycją bijekcji i ją odrzucić => nie ma bijkecji.

pzdr
bartekltg

x***@op.pl

2013-07-28 23:27:07 UTC

Post by bartekltg
Zakładamy, że między N i R (czy tam odcinkiem [0,1]) jest
bijekcja. W tabelkę wpisujemy tę bijekcję. Dalej tak samo,
bijekcja okazałą się zła (nie zawiera wszystkich elementów R),
sprzeczność.

Ok. Spodziewałem się podobnej odpowiedzi. Tak się dzieje kiedy ciągi z cyfr traktuje się jak teksty, a nie jak zapisy liczb.

Matematyka zaś mówi, że 0,1000...=0,0111...
Więc:
Modyfikuję tabelę T z ciągami binarnymi tak, że nie zawiera ona żadnych ciągów kończących się więcej niż jedną cyfrą 1. To łatwe, mogę podać algorytm.
W tabeli S znajdzie się więc ciąg 0,1000... ale ciągu 0,0111... już nie będzie. Zakładam, że w S są zapisy wszystkich liczb z R[0, 1], więc bijekcja jest.

Teraz metodą przekątniową pokażesz tylko, że w tablicy S nie ma ciągu 0,0111..., ale jego nie było tam od samego początku. Więc bijekcja pozostała nienaruszona.

waldek

bartekltg

2013-07-28 23:50:36 UTC

W dniu poniedziałek, 29 lipca 2013 00:31:52 UTC+2 użytkownik

Zakładamy, że między N i R (czy tam odcinkiem [0,1]) jest bijekcja.
W tabelkę wpisujemy tę bijekcję. Dalej tak samo, bijekcja okazałą
się zła (nie zawiera wszystkich elementów R), sprzeczność.

To drobna niedogodność, ale rzeczywiście, przejmowanie się tym
psuje zgrabność dowodu. Wersja przejmująca się szczegółami
technicznymi będzie w każdej książce o tej tematyce.

z ciągami binarnymi tak, że nie zawiera ona żadnych ciągów kończących
się więcej niż jedną cyfrą 1.

Chłopie, zostawiłeś przeliczalną ilość ciągów, to co się
dziwisz, że jest to równoliczne z N.

To łatwe, mogę podać algorytm. W tabeli
S znajdzie się więc ciąg 0,1000... ale ciągu 0,0111... już nie
będzie.
Zakładam, że w S są zapisy wszystkich liczb z R[0, 1], więc
bijekcja jest.

Eee...

Teraz metodą przekątniową pokażesz tylko, że w tablicy S nie ma ciągu
0,0111..., ale jego nie było tam od samego początku. Więc bijekcja
pozostała nienaruszona.

Każdą liczbę da się zapisać w sposób jednoznaczny jako
ułamek dziesiętny nieskończony. Jeśli od któregoś miejsca
mamy same zera, zamieniamy na serię dziewiątek (jedynyk,
czternastek, zależnie od systemu). Jeden problem z głowy.

Drugi: "no i wygenerowaliśmy 0.00000000000000 jako kontrprzykład,
a takiego elementu nie było w R". To odpuść sobie zapis binarny
i użyj dziesiętnego. Liczbę na przekątnej zastępujesz inną,
byle nie zerem. Wszytko działa tak samo, problem znika.

W dwójkowym naprawić możesz tak samo biorąc drugi zestaw,
np "nadprzekątną".

Albo lepiej, najpierw zbudować porządną bijekcję między R a
ciągami nieskończonymi (tak się chyba najczęściej robi).

Nie trzeba nawet jej budować. Potrafisz pokazać, że R>=ciągi
i R<=ciągi. Więc bijekcja między nieskończonymi ciągami
a l.rzeczywistymi (czy odcinkiem [0,1]) istnieje.
Liczb rzeczywistych tyle samo co ciągów, a ciągów więcej niż
liczb naturalnych. Koniec.

pzdr
bartekltg

x***@op.pl

2013-07-29 00:43:15 UTC

W dniu 2013-07-29 01:50, bartekltg pisze:> W dniu 2013-07-29 01:27,

Matematyka zaś mówi, że 0,1000...=0,0111... Więc: Modyfikuję tabelę T

To drobna niedogodność, ale rzeczywiście, przejmowanie się tym
psuje zgrabność dowodu. Wersja przejmująca się szczegółami
technicznymi będzie w każdej książce o tej tematyce.

Zapewne masz na myśli wyciągnięcie z S i R[0, 1] wszystkich elementów nie będądych w bijekcji i ustanowienie jej "na boku"? Dostrzegam w takim postępowaniu błędy. Ale to temat na cały artykuł...

z ciągami binarnymi tak, że nie zawiera ona żadnych ciągów kończących
się więcej niż jedną cyfrą 1.

Chłopie, zostawiłeś przeliczalną ilość ciągów, to co się
dziwisz, że jest to równoliczne z N.

??? Czegoś nie rozumiesz? Przecież chodzi właśnie o to by było równoliczne z N. Inaczej nie będzie bijekcji N -> T -> S -> R[0, 1]

To łatwe, mogę podać algorytm. W tabeli
S znajdzie się więc ciąg 0,1000... ale ciągu 0,0111... już nie
będzie.
Zakładam, że w S są zapisy wszystkich liczb z R[0, 1], więc
bijekcja jest.

Eee...

Tylko tyle? Pokaż błąd w tym rozumowaniu.

Teraz metodą przekątniową pokażesz tylko, że w tablicy S nie ma ciągu
0,0111..., ale jego nie było tam od samego początku. Więc bijekcja
pozostała nienaruszona.

Każdą liczbę da się zapisać w sposób jednoznaczny jako
ułamek dziesiętny nieskończony.

Cantor posługiwał się ciągami binarnymi, bo tak łatwiej. Mniej cyfr, a niczego to w dowodzie nie zmienia. Chodzi tylko o bijekcję, a nie o system liczbowy.

Post by bartekltg
Drugi: "no i wygenerowaliśmy 0.00000000000000 jako kontrprzykład,
a takiego elementu nie było w R". To odpuść sobie zapis binarny
i użyj dziesiętnego. Liczbę na przekątnej zastępujesz inną,
byle nie zerem. Wszytko działa tak samo, problem znika.

Uciekasz od problemu. W metodzie przekątniowej wystarczy pokazać *jeden* przypadek, który zachowuje bijekcję, a nie milony, które ją łamią. Cantor zakładał, że dla *dowolnej* tablicy z ilością ciągów równoliczną z N znajdzie ciąg do niej nienależący. Ja takich tablic, w których nie da się tego zrobić, mogę wygenerować dowolną ilość. Ta, którą pokazałem, to tylko przykład.

Post by bartekltg
W dwójkowym naprawić możesz tak samo biorąc drugi zestaw,
np "nadprzekątną".
Albo lepiej, najpierw zbudować porządną bijekcję między R a
ciągami nieskończonymi (tak się chyba najczęściej robi).

Nie wiem, co znaczy "porządną". Czego brakuje bijekcji, którą zaproponowałem, aby była porządna?

Post by bartekltg
Nie trzeba nawet jej budować. Potrafisz pokazać, że R>=ciągi
i R<=ciągi. Więc bijekcja między nieskończonymi ciągami
a l.rzeczywistymi (czy odcinkiem [0,1]) istnieje.
Liczb rzeczywistych tyle samo co ciągów, a ciągów więcej niż
liczb naturalnych. Koniec.

Ale to inny dowód.

Chciałem dowiedzieć się gdzie tkwi błąd w tym zmodyfikowanym rozumowaniu, a ty albo piszesz "Eee", albo skaczesz na inne tematy. To nie jest dyskusja merytoryczna. Jeśli nie widzisz błędu to napisz, nikt cię nie wyśmieje (chyba).

waldek

bartekltg

2013-07-29 01:14:36 UTC

Post by x***@op.pl
W dniu 2013-07-29 01:50, bartekltg pisze:> W dniu 2013-07-29 01:27,

Matematyka zaś mówi, że 0,1000...=0,0111... Więc: Modyfikuję tabelę T

To drobna niedogodność, ale rzeczywiście, przejmowanie się tym
psuje zgrabność dowodu. Wersja przejmująca się szczegółami
technicznymi będzie w każdej książce o tej tematyce.

Zapewne masz na myśli wyciągnięcie z S i R[0, 1] wszystkich elementów
nie będądych w bijekcji i ustanowienie jej "na boku"? Dostrzegam w
takim postępowaniu błędy. Ale to temat na cały artykuł...

z ciągami binarnymi tak, że nie zawiera ona żadnych ciągów
kończących się więcej niż jedną cyfrą 1.

Chłopie, zostawiłeś przeliczalną ilość ciągów, to co się dziwisz,
że jest to równoliczne z N.

??? Czegoś nie rozumiesz? Przecież chodzi właśnie o to by było
równoliczne z N. Inaczej nie będzie bijekcji N -> T -> S -> R[0, 1]

"Mam liczby rzeczywiste. Chcę pokazać, że są równoliczne z naturalnymi.
Z liczb rzeczywistych biorę tylko te, które są wymierne. Pokazuję, że
wymiernych jest tyle, co naturalnych"

Teraz widzisz problem? Udowodniłeś, że podzbiór interesujących
Cię elementów jest równoliczny z N. Tylko tyle.

To łatwe, mogę podać algorytm. W tabeli S znajdzie się więc ciąg
0,1000... ale ciągu 0,0111... już nie będzie.
Zakładam, że w S są zapisy wszystkich liczb z R[0, 1], więc
bijekcja jest.

Eee...

Tylko tyle? Pokaż błąd w tym rozumowaniu.

Przecież był oczywisty. k chcesz proadzenia za rączkę, weź
książkę i czytaj.

Teraz metodą przekątniową pokażesz tylko, że w tablicy S nie ma
ciągu 0,0111..., ale jego nie było tam od samego początku. Więc
bijekcja pozostała nienaruszona.

Każdą liczbę da się zapisać w sposób jednoznaczny jako ułamek
dziesiętny nieskończony.

Cantor posługiwał się ciągami binarnymi, bo tak łatwiej.

Jak jesteś pewien, podaj źródło.

Post by x***@op.pl
Mniej cyfr,
a niczego to w dowodzie nie zmienia.

Przeczytaj ostatnie posty raz jeszcze. Użycie innej bazy
z miejsca niweluje Twój problem z dowodem.

Post by x***@op.pl
Chodzi tylko o bijekcję, a nie o
system liczbowy.

I dlatego używamy takiego, w którym nie musimy kombinować:)

Post by bartekltg
Drugi: "no i wygenerowaliśmy 0.00000000000000 jako kontrprzykład, a
takiego elementu nie było w R". To odpuść sobie zapis binarny i
użyj dziesiętnego. Liczbę na przekątnej zastępujesz inną, byle nie
zerem. Wszytko działa tak samo, problem znika.

Uciekasz od problemu. W metodzie przekątniowej wystarczy pokazać
*jeden* przypadek, który zachowuje bijekcję, a nie milony, które ją
łamią.Cantor zakładał, że dla *dowolnej* tablicy z ilością ciągów
równoliczną z N znajdzie ciąg do niej nienależący. Ja takich tablic,
w których nie da się tego zrobić, mogę wygenerować dowolną ilość. Ta,
którą pokazałem, to tylko przykład.

Spróbuj to zrobić z poprawnym dowodem.

BTW, nie pokazałeś, że bijekcja jest ok. Pokazałeś jedynie, że
konstruując Twoim sposobem tabelkę i diagonalną liczbę nie jest
ona kontrprzykładem. To nie oznacza, że bijekcja działa!

Jeśli auto ma dziurę w silniku, to jest popsute. Ale jeśli
sprawdzimy, że dziury nie ma, to jeszcze nie oznacza, że jest sprawne.

Post by bartekltg
W dwójkowym naprawić możesz tak samo biorąc drugi zestaw, np
"nadprzekątną".
Albo lepiej, najpierw zbudować porządną bijekcję między R a ciągami
nieskończonymi (tak się chyba najczęściej robi).

Nie wiem, co znaczy "porządną". Czego brakuje bijekcji, którą
zaproponowałem, aby była porządna?

Zaproponowałeś jakąś bijekcje miedzy [0,1] a ciągami?
No to gdzie problem, dowód przekątniowy działa bez problemu.

Post by bartekltg
Nie trzeba nawet jej budować. Potrafisz pokazać, że R>=ciągi i
R<=ciągi. Więc bijekcja między nieskończonymi ciągami a
l.rzeczywistymi (czy odcinkiem [0,1]) istnieje. Liczb rzeczywistych
tyle samo co ciągów, a ciągów więcej niż liczb naturalnych.
Koniec.

Ale to inny dowód.

Ojejku, w matematyce da się coś zrobić na dwa sposoby:)

Nie, to dokładnie ten sam dowód. Tylko pierdoły utrudniające
zrozumienie zostały przeniesione do osobnego, wstępnego kroku.

Post by x***@op.pl
Chciałem dowiedzieć się gdzie tkwi błąd w tym zmodyfikowanym
rozumowaniu, a ty albo piszesz "Eee", albo skaczesz na inne tematy.

@Eeee: a jak mam komentować tego rodzaju błędy logiczne? Wyśmiać?
Niegrzecznie;> Więc sugeruję, byś się danemu fragmentowi przyjrzał.

Post by x***@op.pl
To nie jest dyskusja merytoryczna. Jeśli nie widzisz błędu to napisz,
nikt cię nie wyśmieje (chyba).

Dostałeś odpowiedź od dwóch osób, oraz dodatkowe informacje.
Jeśli nie rozumiesz w pierwszym czytaniu, nie ma co się martwić,
trzeba czytać raz, drugi. Załapać sposób rozumowania przedpiśmienny.
I nagle okaże się, że jest tam odpowiedź na Twój problem.

pzdr
bartekltg

x***@op.pl

2013-07-29 10:37:48 UTC

W dniu 2013-07-29 03:14, bartekltg pisze:> W dniu 2013-07-29 02:43,

Post by bartekltg
"Mam liczby rzeczywiste. Chcę pokazać, że są równoliczne z naturalnymi.

Dlaczego chcesz to pokazać? Nie rozumiem.

Post by bartekltg
Z liczb rzeczywistych biorę tylko te, które są wymierne. Pokazuję, że
wymiernych jest tyle, co naturalnych"
Teraz widzisz problem? Udowodniłeś, że podzbiór interesujących
Cię elementów jest równoliczny z N. Tylko tyle.

itd...

Skąd to wziąłeś?
Oczywiście niechcący po drodze można wyłapać taki dowód, ale:
Nie załapałeś istoty całości mojego dowodu. Więc jeszcze raz po kolei:

-------

1. NIE próbuję udowodnić *równoliczności* N i R. Nawet przez myśl mi to nie przeszło. (Zapamiętać)

2. Dowodzę, TYLKO I WYŁĄCZNIE że:
METODA PRZEKĄTNIOWA NIE JEST POPRAWNYM DOWODEM NIERÓWNOLICZNOŚCI N i R.
Ani grama więcej. (Zapamiętać)
2.a. Mogą istnieć inne dowody nierównoliczności, niezależne od metody przekątniowej i to załatwia sprawę.
2.b. Może nie być innych niezależnych dowodów - wtedy dalej nic nie wiadomo.

--------

Co do innych twoich "argumentów":

- Zbiór binarny - Anglojęzyczna Wikipedia:

"Cantor's original proof considers an infinite sequence S of the form (s1, s2, s3, ...) where each element si is an infinite sequence of 1s or 0s. This sequence si is countable: to each natural number n we associate one and only one element of the sequence. We might write such a sequence as a numbered list"
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Pierwsze zdania z rozdziału 1. "An uncountable set"

- Fragment oryginalnej pracy Cantora pod redakcją Zermelo:
"Gesammelete Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts"
Cytat:
"
EI = ( m, m, m, m,... ),
EII = ( w, w, w, w, ... ),
EIII = ( m, w, m, w, ... )."
http://www.geocities.jp/mickindex/cantor/cnt_uFM_gm.html

--------

Co do bijekcji:

Tak rozumiem twoje rozumowanie:
- Mam skonstruować odwzorowanie między N i R,
- następnie udowodnić, że to jest bijekcja,
- a następnie zastosować metodę przekątniową, aby udowodnić, że to nie jest bijekcja.

To rozumowanie może wykazać tylko, że albo jeden z dwóch dowodów jest błędny, albo że matematyka jest nielogiczna.
Ja wybieram pierwszą opcję.

Tak ja rozumiem dowód Cantora:
- Mam skonstruować nieskończony przeliczalny zbiór, o którym ZAKŁADAM, że jest w bijekcji z R.
- a następnie zastosować metodę przekątniową, aby udowodnić, że ZAŁOŻENIE jest błędne.

Widzisz różnicę?

--------

I u Cantora, i we wszystkich innych opracowaniach są tylko dwa warunki, co do konstruowanego zbioru:
1. nieskończoność
2. przeliczalność
Dodanie innych warunków niszczy metodę przekątniową, gdyż ogranicza ją do pewnych wyselekcjonowanych podzbiorów N nie dopuszczając pozostałych.
W szczególności życzenia, aby były to ciągi w jakimś konkretnym systemie liczbowym są nieuprawnione. Cantor to rozumiał i nawet nie używał cyfr tylko "elementy męskie" (m) i "elementy żeńskie" (w).

--------

Co zrobiłem:

- Skonstruowałem nieskończony, przeliczalny zbiór S
- O zbiorze tym wiadomo, że nie zawiera pewnego elementu E (to nie założenie, to wiedza)
- ZAŁOŻYŁEM, że zbór S jest równoliczny z R.
- Zastosowałem, metodę przekątniową, która:
- potwierdziła, że zbiór S nie zawiera E (czyli nie ma błędu w konstrukcji zbioru)
- NIE znalazła żadnego elementu X należącego do R, który nie jest w bijekcji z jakimś elementem Y należącym do S
- więc: NIE wykazała, że zbiór S nie jest w bijekcji z R

Tylko tyle, i aż tyle. Jaśniej nie potrafię.

--------

Oderwij się na chwilę od zakodowanych w głowie informacji, uwolnij myśli i przeanalizuj to samodzielnie, nie szukając kontrprzykładu na kontrprzykład, bo do tego sprowadzają się twoje próby zmiany systemów i sposobu dowodzenia.
Każdy twój kontrprzykład paradoksalnie należy do nieskończonego zbioru przykładów, w których metoda przekątniowa działa, a ten zbiór mnie nie interesuje.

waldek

Maciej Woźniak

2013-07-29 17:45:47 UTC

Użytkownik napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:c56b3143-20da-4c10-8b15-***@googlegroups.com...

|1. NIE próbuję udowodnić *równoliczności* N i R. Nawet przez myśl mi to nie
przeszło. (Zapamiętać)

Słusznie, bo ta kwestia jest nierozstrzygalna. Owszem, w metodzie
przekątniowej
jest błąd. Małe dodatkowe założenie. Sprawa bardzo zawiła.

w***@gmail.com

2013-07-29 19:01:57 UTC

Owszem, w metodzie przekątniowej
jest błąd. Małe dodatkowe założenie. Sprawa bardzo zawiła.

Nie małe założenie, tylko fundamentalny błąd metody.

Czy z tym poniżej zgadzasz się?
(cytuję siebie)
---
I u Cantora, i we wszystkich innych opracowaniach są tylko dwa warunki, co do konstruowanego zbioru:
1. nieskończoność
2. przeliczalność
Dodanie innych warunków niszczy metodę przekątniową, gdyż ogranicza ją do pewnych wyselekcjonowanych podzbiorów N nie dopuszczając pozostałych.
---

Jeśli się nie zgadzasz, to nie mamy o czym dyskutować.

Co zrobili matematycy? Testowali metodę na zbiorach zawierających WSZYSTKIE ciągi. Nie znalazłem ani jednego omówienia, przykładu sprawdzającego, dyskusji, co się stanie, kiedy zrobimy to na podzbiorach właściwych takiego zbioru ciągów, i to nie byle jakich, ale dobrze przygotowanych, jak mój.

To oznacza, że do stosowania - nieświadomie lub przez przeoczenie - został przyjęty TRZECI warunek:
3. Zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym.

- Jeśli dołożymy ten warunek do pozostałych dwóch (tak jest teraz), to pomijamy całą klasę zbiorów nieskończonych i przeliczalnych, co jest bez sensu.
- Jeśli zrezygnujemy z tego dodatkowego warunku, to metoda będzie działała prawidłowo, ale niczego nie udowodni, co wykazałem moim kontrprzykładem, używając podzbioru właściwego.

Tak, czy inaczej - kicha.

waldek

Maciej Woźniak

2013-07-30 17:20:22 UTC

Użytkownik napisał w wiadomości grup

Owszem, w metodzie przekątniowej
jest błąd. Małe dodatkowe założenie. Sprawa bardzo zawiła.

|Nie małe założenie, tylko fundamentalny błąd metody.
---
|I u Cantora, i we wszystkich innych opracowaniach są tylko dwa warunki, co
do konstruowanego zbioru:
|1. nieskończoność
|2. przeliczalność
|Dodanie innych warunków niszczy metodę przekątniową, gdyż ogranicza ją do
pewnych wyselekcjonowanych podzbiorów N nie dopuszczając pozostałych.
---

Nie rozumiem, więc nie mam się jak zgadzać. O ile wiem, w dowodzie
przekątniowym
nie konstruuje się żadnego zbioru, więc trudno mi określić nałożone nań
przez
Cantora warunki.

x***@op.pl

2013-07-30 21:44:06 UTC

W dniu 2013-07-29 01:50, bartekltg pisze:

Ok. Zaskoczyłem.
Problem wynikał z podświadomego i uporczywego, w jednym momencie, utożsamiania ciągów z liczbami. Złapałem się na to, jak leszcz.

To odpuść sobie zapis binarny i użyj dziesiętnego.

W dziesiętnym też można wygenerować podobne ciągi. System nie ma znaczenia.
Ale to i tak nic nie zmienia.

Odrzuciłem niektóre ciągi i metoda prawidłowo to pokazała. Liczby, których te ciągi były zapisem wprowadziły mnie w ślepą uliczkę. Zapewne dlatego Cantor posługiwał się literami - wyższy poziom uogólnienia. Nie psuł sobie myślenia...

waldek

kali

2013-07-28 23:54:47 UTC

Użytkownik <***@op.pl> napisał w wiadomości news:e40393b0-c612-4c7c-abca-***@googlegroups.com...
...

Metoda przekątniowa dowodzi braku konkretnego ciągu w S, ale nie braku reprezentacji każdej liczby z R[0, 1] >w S w postaci innego ciągu.
Metoda przekątniowa nie dowodzi braku bijekcji między S i R[0, 1].
Metoda przekątniowa niczego nie dowodzi.

no zaraz ? przeczytaj co napisałeś w pierwszym
zacytowanym zdaniu ? :)))))

trzy zdania i już sam sobie zaprzeczasz
hm.... ???? :)))))))))))

OK - to żart wiem o co Ci chodzi.

Czego nie rozumiem?

kto to wie :)))))))

W temacie
Orginalna argumentacja była chyba w systemie 10.
Więc w systemie binarnym weźmy np. 3 cyfry binarne

Czyli rozwinięcie dzielimy np. na fragmenty po 3 bity.
Czyli 1 ciag bity 0,1,2
drugi ciąg bity 3,4,5,

n-ty ciąg bity : ( n-1)*3, .. +1,... +2

Operując takimi "cyframi" - czyli trzybitowymi
odcinkami rozwinięcia - wymagamy
by między utowrzonym przekątniowo rozwięciem
a dowolnym zapisem rozwinięcia liczb w ciągu -
była róznica dla kolejnej trójki

czyli traktujemy rozwiniecie jako zapis 8-kowy
Teraz 000 nie musi być zamienione na 111
może byc zamienione np. na 001 lub 011 lub 101
wystarczy by jeden bit w 3 bitów sie różnił

Czy już wystarczy ?

pozdr.

x***@op.pl

2013-07-29 11:03:45 UTC

Post by kali
OK - to żart wiem o co Ci chodzi.

Może rzeczywiście to było niezręczne sformułowanie.

Post by kali
W temacie
Orginalna argumentacja była chyba w systemie 10.
Więc w systemie binarnym weźmy np. 3 cyfry binarne

itd..

Budujesz kontrprzykład. One nie są interesujące, bo w nich metoda przekątniowa działa. Napisałem o tym bardziej szczegółowo w jednej z odpowiedzi dla Bartka.
Znajdź błąd w moim dowodzie.

waldek

kali

2013-07-29 11:57:34 UTC