Wyznacznik macierzy prostokatnej

[SDD]

Inspirujac sie postem FOX'a29 zaczalem zastanawiac sie nad nastepujacym
zagadnieniem:
Czy nie daloby sie zdefiniowac jakos wyznacznika macierzy prostokatnej -
moze jako liczby zespolonej? Skoro 2 macierze dajmy na to A (3x4) oraz B
(4x3) daja w wyniku pomnozenia macierz C (3x3), ktora posiada wyznacznik,
zas tw. Caychy'ego mowi, ze det(A*B) = detA*detB, to byc moze da sie
wprowadzic rozszerzajaca definicje wyznacznika, w ktorej A oraz B tez beda
go posiadac?
Sceptykom przypomne, ze koncept liczb urojonych i zespolonych narodzil sie
wlasnie przy okazji analizowania wzorow Viety: ze niby taki np. trojmian x^2
+ x + 1 nie posiada pierwiastkow, zas ich iloczyn wychodzi 1 a suma -1
myslano, myslano az wymyslono...

Co szanowni grupowicze na to?
Licze szczegolnie na ks. Robaka :)

Pozdrawiam
SDD

[w***@poczta.onet.pl]

Post by SDD
Inspirujac sie postem FOX'a29 zaczalem zastanawiac sie nad nastepujacym
Czy nie daloby sie zdefiniowac jakos wyznacznika macierzy prostokatnej -
moze jako liczby zespolonej? Skoro 2 macierze dajmy na to A (3x4) oraz B
(4x3) daja w wyniku pomnozenia macierz C (3x3), ktora posiada wyznacznik,
zas tw. Caychy'ego mowi, ze det(A*B) = detA*detB, to byc moze da sie
wprowadzic rozszerzajaca definicje wyznacznika, w ktorej A oraz B tez beda
go posiadac?
Sceptykom przypomne, ze koncept liczb urojonych i zespolonych narodzil sie
wlasnie przy okazji analizowania wzorow Viety: ze niby taki np. trojmian x^2
+ x + 1 nie posiada pierwiastkow, zas ich iloczyn wychodzi 1 a suma -1
myslano, myslano az wymyslono...

Może być problem, ponieważ interretacja geometryczna wyznacznika jest taka, że
jest to miara figury (np. na płaszczeźnie pole równoległoboku, a w trzech
wymiarach objętość równoległościanu). A wiadomo np, że objętość równoległoboku
(w trzech wymiarach) jest równa ZERO.

Pozdrawiam Zbyszek

ps. ...ale oczywiście dalej będę kombinował.

[SDD]

Post by w***@poczta.onet.pl

Post by w***@poczta.onet.pl
Może być problem, ponieważ interretacja geometryczna wyznacznika jest taka, że

jest to miara figury (np. na płaszczeźnie pole równoległoboku, a w trzech
wymiarach objętość równoległościanu). A wiadomo np, że objętość równoległoboku
(w trzech wymiarach) jest równa ZERO.

Hmmm, moze to ZERO to tylko czesc rzeczywista..., albo cos tam sie sumuje do
zera...

Pozdrawiam
SDD

[SDD]

U?ytkownik <***@poczta.onet.pl> napisa? w wiadomo?ci news:***@newsgate.onet.pl...

Poza tym wez pod uwage, ze ten rownoleglbok w przestrzeni jest obrazem
geometrycznym nie tyle wyznacznika 3x2 (czy 2x3) ale wyznacznika 3x3 z
wierszem (kolumna) zerowa. A taki wiadomo, ze jest ZERO.

Pozdrawiam
SDD

[SDD]

U?ytkownik "SDD" <***@to.wszechwiedza.pl> napisa? w wiadomo?ci news:cv9rnk$o77$***@news.onet.pl...

Jestem zbyt leniwy i nie chce mi sie bawic :) - ale jesli ktos jest
zainteresowany - to podrzuce jeszcze jeden pomysl:
- moznaby pomyslec o rozszerzeniu algorytmu obliczania wyznacznika za pomoca
rozwiniecia Laplace'a w taki sposob, zeby np. zamiast czynnika (-1) do
stosownej potegi podnosic "i" to stosownej potegi... dla macierzy
kwadratowych wykladniki te bylyby zawsze parzyste (polowa podzielnych przez
4, polowa nie), zas dla prostokatnych byloby inaczej :)

PS. oczywiscie, gdy sformuluje ktos stosowny wzor i teorie przy nazwie
wzorow i twierdzen rezerwuje sobie jedno z czlonow mojego nazwiska :)

Pozdrawiam
SDD

[e***@op.pl]

Post by SDD
Czy nie daloby sie zdefiniowac jakos wyznacznika macierzy prostokatnej -
moze jako liczby zespolonej?

Niestety problem sięga dalej niż się wydaje. W matematyce wyższej definicja
wyznacznika nie jest tym co zwykło się przyjmować za niego.
Mianowicie definiuje się go jako pewien skalar z ciała F, zbioru n tych samych
przestrzeni wektorowych (V,F,+,*), tzw. formy n-liniowej i określa się go
następująco:

Jeżeli dla ustalonej bazy {v1,...,vn} przestrzeni V i ustalonej formy
alternującej A, odwzorowującej powyższą formę n-liniową w przestrzeń wektorową
(F,F,+,*), istnieje taki skalar det(g) z ciała F że dla ustalonego endomorfizmu
g zachodzi związek:

A(g(v1),...,g(vn))=det(g)*A(v1,...,vn)

to wówczas skalar det(g) nazywa się wyznacznikiem endomorfizmu g.
I dalej przez wyznacznik macierzy kwadratowej M określa się wyznacznik
endomorgizmu g odpowiadający tej macierzy.
Reasumując wyznacznik det(g) musi należeć do ciała F (czyli w Twoim wypadku
jeżeli rozpatruje się go w tzw. ciele liczb rzeczywistych to nie może być on
liczbą zespoloną. Nawiasem mówiąc oczywiście wyznacznik jako liczba zespolona
również istnieje wystarczy za ciało F "podstawić" ciało liczb zespolonych).
Proponowane przez Ciebie rozwiązanie musiałoby wiązać się z kompletną zmianą
definicji wyznacznika (nie zaś jej rozszerzeniem) i z tego powodu nie może to
mieć miejsca. Co najwyżej można próbować definiować jakieś nowe pojęcia,
dowodzić twierdzenia więc tworzyć zupełnie nową "matematyczną materię" jednak to
już nie będzie "redefiniowanie" tego co się rozumie przez wyznacznik, ale no
cóż, próbuj :)

pzdr