Hipoteza?

[waldek]

Spotkałem się z hipotezą:
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.

Książki i sieć nie znają takiego problemu (albo za krótko szukałem), a
próby samodzielnego udowodnienia lub obalenia hipotezy skończyły się na
znalezieniu tylko kilku podstawowych wyników, np. że jeżeli taka liczba
istnieje, to musi się kończyć cyfrą 6.

Potrzebuję jakichkolwiek informacji na ten temat. Nawet takich, że
udowodniono, że dowodu nie ma... :)

waldek

[Borneq]

Post by waldek
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.
Książki i sieć nie znają takiego problemu (albo za krótko szukałem), a
próby samodzielnego udowodnienia lub obalenia hipotezy skończyły się na
znalezieniu tylko kilku podstawowych wyników, np. że jeżeli taka liczba
istnieje, to musi się kończyć cyfrą 6.
Potrzebuję jakichkolwiek informacji na ten temat. Nawet takich, że
udowodniono, że dowodu nie ma... :)
waldek

Aby poszukiwać komputerow, można zauważyć że ta liczba jest kwadratem,
więc poszukiwać trzeba tylko liczby któ©e dadzą ten kwadrat. Skoro
kwadrat kończy się na 6, to pouszkiwana liczba na 6 lub 4.
wieć:
for i=0, i<Nd_uza, i++
liczba1a= i*10+4;
liczba2a= i*10+6;

potem liczba_b=liczba_a*liczba_a;
liczymy iloczyn cyfr liczba_b i patrzymy czy jest równy liczba_a

[bartekltg]

Post by waldek
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.
Książki i sieć nie znają takiego problemu (albo za krótko szukałem), a
próby samodzielnego udowodnienia lub obalenia hipotezy skończyły się na
znalezieniu tylko kilku podstawowych wyników, np. że jeżeli taka liczba
istnieje, to musi się kończyć cyfrą 6.
Potrzebuję jakichkolwiek informacji na ten temat. Nawet takich, że
udowodniono, że dowodu nie ma... :)

Dobre.
Myślę, i nie mam pojęcia ;-)

Do 338900000000 rozwiązania nie ma.


Skąd masz pierwszą liczbę 6? Na razie widzę tylko, że musi być parzysta
(bo potęgi kwadratów mod 1000 zawsze zawierają cyfrę parzystą).


pzdr
bartekltg

[J.F.]

Post by bartekltg

Post by waldek
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.
Książki i sieć nie znają takiego problemu (albo za krótko szukałem), a
próby samodzielnego udowodnienia lub obalenia hipotezy skończyły się na
znalezieniu tylko kilku podstawowych wyników, np. że jeżeli taka liczba
istnieje, to musi się kończyć cyfrą 6.
Potrzebuję jakichkolwiek informacji na ten temat. Nawet takich, że
udowodniono, że dowodu nie ma... :)

Dobre.
Myślę, i nie mam pojęcia ;-)

Jest na youtube paru matematykow - podrzucic im temat :-)

Post by bartekltg
Do 338900000000 rozwiązania nie ma.

A jakby w druga strone - sprobowac zsyntezowac taka liczbe?
Tylko jak ... jakby tu dodawac po cyferce ..

Post by bartekltg
Skąd masz pierwszą liczbę 6? Na razie widzę tylko, że musi być parzysta
(bo potęgi kwadratów mod 1000 zawsze zawierają cyfrę parzystą).

To moze da sie udowodnic, ze powyzej pewnej liczby zawieraja co
najmniej jedno zero ?

J.

[bartekltg]

Post by J.F.

Post by bartekltg
Skąd masz pierwszą liczbę 6? Na razie widzę tylko, że musi być parzysta
(bo potęgi kwadratów mod 1000 zawsze zawierają cyfrę parzystą).

To moze da sie udowodnic, ze powyzej pewnej liczby zawieraja co
najmniej jedno zero ?

Sprawdzałem nawet mocniej, czy nie pojawi się cyfra podzielna na 5
(skoro mamy na pewno 2, to w iloczynie dadzą 10, co zmieni mam jedną cyfrę
w 0 i po zawodach). Na ostatnich 9 cyfrach kwadratów liczb naturalnych
zdarza się nie pojawić żadnej 2 i 5.

pzdr
bartekltg

[Wlod]

Post by bartekltg
Sprawdzałem nawet mocniej, czy nie pojawi się cyfra podzielna na 5
pzdr
bartekltg

Gdy parę tygodni temu zobaczyłem Waldka hipotezę, to z miejsca zobaczyłem, że cyfra 5 nie może wystąpić w rozwiązaniu (w równości N = iloczyn kwadratów cyfr dziesiętnych N).

-- Włodek

[Wlod]

Post by Wlod
zobaczyłem, że cyfra 5 nie może wystąpić w rozwiązaniu (w równości N = iloczyn kwadratów cyfr dziesiętnych N).
-- Włodek

Dodam, że N nie może kończyć się na 1. Oznacza to, że:

**** ewentualne rozwiązanie N musi się kończyć na cyfrę 6 ***

-- Włodek

[waldek]

Post by bartekltg
Skąd masz pierwszą liczbę 6? Na razie widzę tylko, że musi być parzysta
(bo potęgi kwadratów mod 1000 zawsze zawierają cyfrę parzystą).

Mam trochę więcej, ale i tak za mało. Zakładając, że liczba K istnieje,
możemy wydedukować jej podstawowe właściwości:

1. Żadna z cyfr nie jest równa 0, gdyż gdyby tak było, wtedy K, jako
iloczyn cyfr też byłaby równa 0.
2. Każda liczba naturalna większa od 9 będąca kwadratem zawiera co
najmniej jedną cyfrę parzystą na pozycji 0 lub 1, więc K jest parzyste.
3. K nie zawiera cyfry 5, gdyż zawierając cyfrę parzystą (p.2) musiała
by się kończyć cyfrą 0, a to jest niemożliwe (p. 1).
4. Kwadrat liczby parzystej nie kończącej się zerem ma ostatnią cyfrę
równą 4 lub 6, więc K też.
5. Kwadraty liczb kończących się na 4 lub 6 mają ostatnią cyfrę równą 6,
więc K też.
6. Kwadrat liczby kończącej się na 6 ma przedostatnią cyfrę nieparzystą,
więc K też, lecz za wyjątkiem 5 (p. 3): Stąd przedostatnia cyfra K to:
1, 3, 7, lub 9.
7. Liczba K jest iloczynem kwadratów cyfr bez 0 i 5, gdzie kwadrat
każdej cyfry pojawia się w tym iloczynie odpowiednio a-h razy, stąd:

K
=
(1^2)^{a} (2^2)^{b} (3^2)^{c} (4^2)^{d} (6^2)^{e} (7^2)^{f} (8^2)^{g}
(9^2)^{h}
=
2^{2 b} 3^{2 c} 4^{2 d} 6^{2 e} 7^{2 f} 8^{2 g} 9^{2 h}

czyli:
K=2^{2 b + 4 d + 2 e + 6 g} 3^{2 c + 2 e + 4 h} 7^{2 f}

lub po prostu:
K=2^{p2} 3^{p3} 7^{p7}

Tyle już wiem, ale też odkryłem coś więcej. Hipoteza zamienia się w
twierdzenie w systemach liczbowych o podstawach 3 i 4, a dowody są
trywialne. Mam jakąś cichą nadzieję, że może uda mi się w tych prostych
przypadkach wyczuć o co tam chodzi i "ekstrapolować" metodę na system
dziesiętny.

waldek

[bartekltg]

Post by waldek

Post by bartekltg
Skąd masz pierwszą liczbę 6? Na razie widzę tylko, że musi być parzysta
(bo potęgi kwadratów mod 1000 zawsze zawierają cyfrę parzystą).

Mam trochę więcej, ale i tak za mało. Zakładając, że liczba K istnieje,
1. Żadna z cyfr nie jest równa 0, gdyż gdyby tak było, wtedy K, jako
iloczyn cyfr też byłaby równa 0.
2. Każda liczba naturalna większa od 9 będąca kwadratem zawiera co
najmniej jedną cyfrę parzystą na pozycji 0 lub 1, więc K jest parzyste.
3. K nie zawiera cyfry 5, gdyż zawierając cyfrę parzystą (p.2) musiała
by się kończyć cyfrą 0, a to jest niemożliwe (p. 1).
4. Kwadrat liczby parzystej nie kończącej się zerem ma ostatnią cyfrę
równą 4 lub 6, więc K też.

Ok, to wiemy.

Post by waldek
5. Kwadraty liczb kończących się na 4 lub 6 mają ostatnią cyfrę równą 6,
więc K też.

A to niby skąd?

Z poprzednich punktów K może mieć 4 na końcu.
Ale to nie znaczy, że iloczyn cyfr K ma 4 na końcu, więc
podniesienie do kwadratu nam nic nie daje.

Np cyfry 8 3 1 3 4 w iloczynie dają 228, po skwadratowaniu
82944, końcówka jest 4, nie 6.

Post by waldek
6. Kwadrat liczby kończącej się na 6 ma przedostatnią cyfrę nieparzystą,

To samo. Nie kwadratujemy liczby kończacej się na 6, ale
iloczyn jej cyfr, który może być inną parzysta liczbą.

Post by waldek
1, 3, 7, lub 9.
7. Liczba K jest iloczynem kwadratów cyfr bez 0 i 5, gdzie kwadrat
K
=
(1^2)^{a} (2^2)^{b} (3^2)^{c} (4^2)^{d} (6^2)^{e} (7^2)^{f} (8^2)^{g}
(9^2)^{h}
=
2^{2 b} 3^{2 c} 4^{2 d} 6^{2 e} 7^{2 f} 8^{2 g} 9^{2 h}
K=2^{2 b + 4 d + 2 e + 6 g} 3^{2 c + 2 e + 4 h} 7^{2 f}
K=2^{p2} 3^{p3} 7^{p7}

Tak, to włąśnie reprezentacja, które pozwoliła sprzadzić do tak, duzęgo zakresu
bo liczb tego typu <10^100 nie ejst tak dużo:)

Post by waldek
Tyle już wiem, ale też odkryłem coś więcej. Hipoteza zamienia się w
twierdzenie w systemach liczbowych o podstawach 3 i 4, a dowody są
trywialne.

Ciekawe.
Ale widzę, że snów ich nie podajesz;p

Post by waldek
Mam jakąś cichą nadzieję, że może uda mi się w tych prostych
przypadkach wyczuć o co tam chodzi i "ekstrapolować" metodę na system
dziesiętny.

pzdr
bartekltg

[waldek]

Post by bartekltg

Post by waldek

Post by bartekltg
Skąd masz pierwszą liczbę 6? Na razie widzę tylko, że musi być parzysta
(bo potęgi kwadratów mod 1000 zawsze zawierają cyfrę parzystą).

Mam trochę więcej, ale i tak za mało. Zakładając, że liczba K istnieje,
1. Żadna z cyfr nie jest równa 0, gdyż gdyby tak było, wtedy K, jako
iloczyn cyfr też byłaby równa 0.
2. Każda liczba naturalna większa od 9 będąca kwadratem zawiera co
najmniej jedną cyfrę parzystą na pozycji 0 lub 1, więc K jest parzyste.
3. K nie zawiera cyfry 5, gdyż zawierając cyfrę parzystą (p.2) musiała
by się kończyć cyfrą 0, a to jest niemożliwe (p. 1).
4. Kwadrat liczby parzystej nie kończącej się zerem ma ostatnią cyfrę
równą 4 lub 6, więc K też.

Ok, to wiemy.

Post by waldek
5. Kwadraty liczb kończących się na 4 lub 6 mają ostatnią cyfrę równą 6,
więc K też.

A to niby skąd?
Z poprzednich punktów K może mieć 4 na końcu.
Ale to nie znaczy, że iloczyn cyfr K ma 4 na końcu, więc
podniesienie do kwadratu nam nic nie daje.
Np cyfry 8 3 1 3 4 w iloczynie dają 228, po skwadratowaniu
82944, końcówka jest 4, nie 6.

Oczywiście.

Post by bartekltg

Post by waldek
6. Kwadrat liczby kończącej się na 6 ma przedostatnią cyfrę nieparzystą,

To samo. Nie kwadratujemy liczby kończacej się na 6, ale
iloczyn jej cyfr, który może być inną parzysta liczbą.

Post by waldek
1, 3, 7, lub 9.
7. Liczba K jest iloczynem kwadratów cyfr bez 0 i 5, gdzie kwadrat
K
=
(1^2)^{a} (2^2)^{b} (3^2)^{c} (4^2)^{d} (6^2)^{e} (7^2)^{f} (8^2)^{g}
(9^2)^{h}
=
2^{2 b} 3^{2 c} 4^{2 d} 6^{2 e} 7^{2 f} 8^{2 g} 9^{2 h}
K=2^{2 b + 4 d + 2 e + 6 g} 3^{2 c + 2 e + 4 h} 7^{2 f}
K=2^{p2} 3^{p3} 7^{p7}

Tak, to włąśnie reprezentacja, które pozwoliła sprzadzić do tak, duzęgo zakresu
bo liczb tego typu <10^100 nie ejst tak dużo:)

Post by waldek
Tyle już wiem, ale też odkryłem coś więcej. Hipoteza zamienia się w
twierdzenie w systemach liczbowych o podstawach 3 i 4, a dowody są
trywialne.

Ciekawe.
Ale widzę, że snów ich nie podajesz;p

Właśnie "sny" podaję :(
Jakiś czas temu przestałem zajmować się tym zadaniem w systemie
dziesiętnym, kombinując, że w trójkowym, z trzema cyframi, powinno być
prostsze. Rzeczywiście wyszedł mi z tego długi, ale łatwy dowód, który
sprawdził znajomy matematyk i klepnął, choć skomentował, że to
podejrzane. Ponieważ problem go wkręcił, podrzucił go swojemu koledze.
Ten, po kilku dniach też uznał dowód za poprawny. Jednak niedawno
powiadomił o "drobnej nieścisłości", która potem przy próbach usunięcia
urosła do "poważnej luki", a teraz ostecznie do nieusuwalnego błędu...

Ta hipoteza wygląda na kolejną złośliwą zmowę sił natury. Mimo, że przy
twoim wyniku aż do 10^100 wydaje się prawdziwa, to dowód może być
nieosiągalny. Daj znać, jeśli będziesz miał co nowego w tym temacie.

Post by bartekltg

Post by waldek
Mam jakąś cichą nadzieję, że może uda mi się w tych prostych
przypadkach wyczuć o co tam chodzi i "ekstrapolować" metodę na system
dziesiętny.

pzdr
bartekltg

[WM]

Post by waldek
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.
Książki i sieć nie znają takiego problemu (albo za krótko szukałem), a
próby samodzielnego udowodnienia lub obalenia hipotezy skończyły się na
znalezieniu tylko kilku podstawowych wyników, np. że jeżeli taka liczba
istnieje, to musi się kończyć cyfrą 6.
Potrzebuję jakichkolwiek informacji na ten temat. Nawet takich, że
udowodniono, że dowodu nie ma... :)

Jak wiadomo średnia arytmetyczna jest większa lub równa średniej
geometrycznej.
Dlatego przekształcę to tak, by były widoczne średnie.

ai - cyfry liczby szukanej (cyfr jest n)

Sa = średnia arytmetyczna

a1+a2*10+a3*100+...+an*10^(n-1)=Sa*n

Sg = średnia geometryczna

a1*a2*10*a3*100*...*an*10^(n-1)=Sg^n

Po uporządkowaniu mamy:
(a1*a2*a3..*an)*(10^(n*(n-1)/2))=Sg^n

Potrzebujemy do równania kwadratu iloczynu cyfr.
(a1*a2*a3..*an)^2=(Sg^n/(10^(n*(n-1)/2)))^2

Z warunku zadania wynika:
a1+a2*10+a3*100+...+an*10^(n-1)=(a1*a2*a3..*an)^2

Teraz podstawiamy tutaj średnie i mamy:

Sa*n=(Sg^n/(10^(n*(n-1)/2)))^2

Wiemy, że Sa-Sg >= 0

Czyli po podstawieniu mamy warunek:

(((Sg^n/(10^(n*(n-1)/2)))^2)/n)-Sg >= 0

Z tego warunku chcę znaleźć maksymalne n .
Wolfram walnął jakiś wykres, ale mam kłopot z jego interpretacja.






WM

[bartekltg]

Post by WM
(((Sg^n/(10^(n*(n-1)/2)))^2)/n)-Sg >= 0
Z tego warunku chcę znaleźć maksymalne n .
Wolfram walnął jakiś wykres, ale mam kłopot z jego interpretacja.

Nie ma maksymalnej długości liczby... przynajmniej nie wynika ona z takich rozważań.

Niech nasza liczba będzie to liczba k cyfrowa.
To oznacza, że jest równa r*10^(k-1)
gdzie r jest jakąś liczbą rzeczywistą z [1,10).

za to prawa strona równania to (g^k)^2
gdzie g to wspomniana średnia geometryczna cyfr.

r * 10^(k-1) = r/10 10^k = (g^2)^k

r/10 = (g^2/10)^k

Czy, być może wygodniej, odwrotnie:

10/r = (10/g^2)^k
(10/r)^(1/k) = (10/g^2)

Lewa strona jest gdzieś pomiędzy 10 a 1
Pierwiastkując coraz większym k będzie dążyć do 1.

Prawa strona nie ma wielkich problemów, by lecieć w okolice jedynki,
wystarczy, że g^2 ~ 10. g~3.1623 taką średnią uda nam się liczbami
1..9 zrobić.

pzdr
bartekltg

[WM]

Post by bartekltg
Nie ma maksymalnej długości liczby... przynajmniej nie wynika ona z takich rozważań.

Owszem wynika, co za chwilę pokażę.

Nieporozumienie wynika stąd, że średnie liczone są nie dla cyfr, a dla
liczb:
a1; a2/10; a3/100;.....an/10^(n-1)
gdzie: a1; a2;...an to cyfry szukanej liczby.

Policzyłem dla nich średnie i zastosowałem znaną nierówność:
średnia geometryczna <= średnia arytmetyczna

Potem te średnie zapisałem w funkcji iloczynu cyfr i liczby cyfr.

Jeżeli się nie pomyliłem, to nierówność po tych zabiegach wygląda tak:

((x^2)/n)-x^(1/n)*(10^((n-1)/2)) >= 0

gdzie:
n- liczba cyfr
x- iloczyn cyfr

U Wolframa obszar dopuszczalny jest dosyć mały:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%5E2%29%2Fn%29-x%5E%281%2Fn%29*%2810%5E%28%28n-1%29%2F2%29%29+%3E%3D+0



WM

[WM]

Post by WM

Post by bartekltg
Nie ma maksymalnej długości liczby... przynajmniej nie wynika ona z takich rozważań.

Owszem wynika, co za chwilę pokażę.
Nieporozumienie wynika stąd, że średnie liczone są nie dla cyfr, a dla
a1; a2/10; a3/100;.....an/10^(n-1)
gdzie: a1; a2;...an  to cyfry szukanej liczby.
 średnia geometryczna <= średnia arytmetyczna
Potem te średnie zapisałem w funkcji iloczynu cyfr  i liczby cyfr.
((x^2)/n)-x^(1/n)*(10^((n-1)/2)) >= 0
n- liczba cyfr
x- iloczyn cyfr
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%5E2%29%2Fn%29-x%5E%281%2Fn%29*%2810%5E%28%28n-1%29%2F2%29%29+%3E%3D+0

Wyżej jest błąd.

Tu jest właściwy zapis:

Owszem wynika, co za chwilę pokażę.

Nieporozumienie wynika stąd, że średnie liczone są nie dla cyfr, a dla
liczb:
a1; a2*10; a3*100;.....an*10^(n-1)
gdzie: a1; a2;...an to cyfry szukanej liczby.

Policzyłem dla nich średnie i zastosowałem znaną nierówność:
średnia geometryczna <= średnia arytmetyczna

Potem te średnie zapisałem w funkcji iloczynu cyfr i liczby cyfr.

Jeżeli się nie pomyliłem, to nierówność po tych zabiegach wygląda tak:

((x^2)/n)-x^(1/n)*(10^((n-1)/2)) >= 0

gdzie:
n- liczba cyfr
x- iloczyn cyfr

U Wolframa obszar dopuszczalny jest dosyć mały:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%5E2%29%2Fn%29-x%5E%281%2Fn%29*%2810%5E%28%28n-1%29%2F2%29%29+%3E%3D+0

WM

[J.F.]

Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup

Post by WM

Post by bartekltg
Nie ma maksymalnej długości liczby... przynajmniej nie wynika ona z takich rozważań.

Owszem wynika, co za chwilę pokażę.

Post by bartekltg
Nieporozumienie wynika stąd, że średnie liczone są nie dla cyfr, a
dla liczb: [...]

Wyżej jest błąd.
Owszem wynika, co za chwilę pokażę.

[...]

Chyba bez znaczenia - dokladamy nową cyfre i jak ona jest 9, to do
iloczynu wchodzi 81 i liczbie wynikowej dochodza prawie 2 cyfry.
Jak 1 ... to nic nie dochodzi.
Czyli w miare latwo dopasowac sie do szacowanej wielkosci liczby.

Innymi slowy - N-cyfrowa liczba ma wartosc od 10^(N-1) do 10^N,
a suma iloczyn kwadratow cyfr - od 1 do 81^N.

Nie sposob tu nic wykluczyc. Moze maksymalny procent 9-tek w liczbie.
I 8, 7, 6, 5, 4 ...

J.

[J.F.]

Użytkownik "J.F." napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:5f5f4679$0$512$***@news.neostrada.pl...
Użytkownik "WM" napisał w wiadomości grup

Post by J.F.

Post by WM
Wyżej jest błąd.
Owszem wynika, co za chwilę pokażę.

[...]

Post by J.F.
Chyba bez znaczenia - dokladamy nową cyfre i jak ona jest 9, to do
iloczynu wchodzi 81 i liczbie wynikowej dochodza prawie 2 cyfry.
Jak 1 ... to nic nie dochodzi.
Czyli w miare latwo dopasowac sie do szacowanej wielkosci liczby.
Innymi slowy - N-cyfrowa liczba ma wartosc od 10^(N-1) do 10^N,
a suma iloczyn kwadratow cyfr - od 1 do 81^N.
Nie sposob tu nic wykluczyc. Moze maksymalny procent 9-tek w liczbie.
I 8, 7, 6, 5, 4 ...

Chyba, zeby tak udowodnic, ze liczba bedaca kwadratem, ma jakies
ograniczenia na swoje cyfry.
I w efekcie dowiezc, ze np wszystkie co najmniej 15-cyfrowe liczby po
podniesieniu do kwadratu maja takie cyfry, ze iloczyn kwadratow cyfr
przewyzsza liczbe.
Ale statystyczny rozklad to tu za malo - wystarczy nam jeden przyklad
...

J.

[bartekltg]

Post by WM

Post by bartekltg
Nie ma maksymalnej długości liczby... przynajmniej nie wynika ona z takich rozważań.

Owszem wynika, co za chwilę pokażę.

Ach, posiałem karteczkę i zapomniałęm o wątku.

Masz równanie
Sg ^(2k-1) / 10^(k(k-1)) >= k

I nic z niego nie wynika, bo dla dowolnego k znajdziesz
taką liczbę k cyfrową, że zdefiniowane przez Ciebie Sg
będzie to spałniać. Włąśnie biorąc liczbę o średniej geometrycznej
cyfr równej sqrt(10).

pzdr
bartekltg


BTW. Ktoś na dzetawce przesiał sprytnie rozwiązania i nie ma do 10^100.

[Wlod]

Post by waldek
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.

Czy to Twoje zadanie/hipoteza?

Jestem pod wrażeniem! Jest dobrze wyważona. Dla dowolnie wielkich liczb, nierówność może zachodzić w każdą stronę, i w jedną, i w drugą.

Wiele zadań, które obracają się wokół cyfr, pozwala na łatwe ograniczenie od góry; ale nie tym razem.

-- Włodek

[waldek]

Post by Wlod

Post by waldek
Nie istnieje liczba naturalna większa od 1, która jest równa kwadratowi
iloczynów swoich cyfr.

Czy to Twoje zadanie/hipoteza?

Trudno powiedzieć. Oryginalny problem, nieco inny, był dla dwóch
zmiennych i raczej o coś innego w nim chodziło. Ja go zredukowałem do
bólu i stwierdziłem, że jest podstawowy.

Post by Wlod
Jestem pod wrażeniem! Jest dobrze wyważona. Dla dowolnie wielkich liczb, nierówność może zachodzić w każdą stronę, i w jedną, i w drugą.
Wiele zadań, które obracają się wokół cyfr, pozwala na łatwe ograniczenie od góry; ale nie tym razem.
-- Włodek

P.S. Przepraszam, że nie odpowiedziałem w październiku. Mój Thunderbird
po którejś aktualizacji przestał pokazywać wątki z nowymi wpisami.
Zajrzałem tu teraz przypadkowo...

Waldek