Zadanie z "prostych sutuacji kombinatorycznych" - sadzenie 10 drzewek w 3 dni.

[Jacek Jaworski]

Cześć!

Mam zadanie z "Matematyka rozszerzenie. Repetytorium matura". Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne. Warszawa 2014. str. 399.

Treść [interpunjcja originalna]:
"Działkowicz chce posadzić 10 jabłoni w ciągu trzech dni, każdego dnia przynajmniej jedno drzewko. Wcześniej planuje, ile drzewek posadzi każdego dnia. Na ile sposobów może to zrobić?"

Odp. z końca książki: 36 sposobów.

Moja propozycja rozwiązania:
Mamy 10 nierozróżnialnych drzewek. Mamy 3 dni i w każdym sadzimy co najmniej jedno drzewko. Czyli 3^(10-3). Sęk w tym, że drzewka są nierozróżnialne i trzeba tą wartość podzielić przez ... no właśnie?!? Przez ile?

Z góry dzięki i szacun!

[J.F.]

Użytkownik "Jacek Jaworski" napisał w wiadomości grup

Post by Jacek Jaworski
Mam zadanie z "Matematyka rozszerzenie. Repetytorium matura".
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne. Warszawa 2014. str. 399.
"Działkowicz chce posadzić 10 jabłoni w ciągu trzech dni, każdego
dnia przynajmniej jedno drzewko. Wcześniej planuje, ile drzewek
posadzi każdego dnia. Na ile sposobów może to zrobić?"
Odp. z końca książki: 36 sposobów.
Mamy 10 nierozróżnialnych drzewek. Mamy 3 dni i w każdym sadzimy co
najmniej jedno drzewko. Czyli 3^(10-3). Sęk w tym, że drzewka są
nierozróżnialne i trzeba tą wartość podzielić >przez ... no
właśnie?!? Przez ile?

Przez zmienne, w zaleznosci od tego jak sie rozlozy.
I kilka musisz odrzucic, skoro codziennie co najmniej jedno drzewko.

Im chyba chodzi o to:
w pierwszym dniu mozna posadzic A drzew, gdzie A wynosi od 1 do 8.
w drugim dniu mozna posadzic B drzew, gdzie B jest od 1 do ... 9-A,
zeby nam choc jedno zostalo.
w trzecim dniu mozna posadzic C drzew ... a tu juz nie ma wyboru
C=10-A-B.


dla kolejnych A, B maksymalnie wynosi 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 -
sumujemy i wychodzi 36

J.

[bartekltg]

Post by Jacek Jaworski
Cześć!
Mam zadanie z "Matematyka rozszerzenie. Repetytorium matura". Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne. Warszawa 2014. str. 399.
"Działkowicz chce posadzić 10 jabłoni w ciągu trzech dni, każdego dnia przynajmniej jedno drzewko. Wcześniej planuje, ile drzewek posadzi każdego dnia. Na ile sposobów może to zrobić?"
Odp. z końca książki: 36 sposobów.
Mamy 10 nierozróżnialnych drzewek. Mamy 3 dni i w każdym sadzimy co najmniej jedno drzewko. Czyli 3^(10-3). Sęk w tym, że drzewka są nierozróżnialne i trzeba tą wartość podzielić przez ... no właśnie?!? Przez ile?

Dzielenie nic nie da. Zauważ, ze odpowiedź jest podzielna przez 4, a z Twoich "każdemu drzewku przypiszemy numer dnia"
wychodzą liczby opdzielne tylko przez potęgi trójki.
BTW, Gdyby zawsze statystyki rozróżnialnych i nierozróżnialnyhc elementów były takie same, tylko różniły o stałą,
nie mielibyśmy różnicy między cząsteczkami (frmiony/bozony) w fizyce ;-)

IMHO najłatwiej sobie pomyśleć o tym tak:
Mamy 10 drzewek
o o o o o o o o o o
i chemy posadzić je w 3 dni, czyli jednego dnia przestajemy po którymś drzewku, i drugiego dnia przestajemy po którymś drzewku.
Musimy więc w ten ciag grzewek wstawić dwie przerwy. Np
o o|o o o o o o|o o
albo
o o o o o o o o|o|o

Jeśli przewwy bedziemy wsadzać w unikalne miejsca i tylko pomiedzy drzewka, zawze posadzimy przynajmnije jedno.
Mamy więc zbiór 9 elementrowy (przerw) z którego wybieramy dwa, czyli
C(9,2) = 9*8/2 = 36


Wracajac do statystyk
"ale przecież nie ma różnicy, czy pamietram, które drzewko jest które".
Różnicy nie ma, ale inaczej zliczasz wtedy kombinacje. Np
sadzenie 8, 1, 1 mozesz zrealizować na tylko jeden sposobób z tych 3^7
a sadzenie w konfiguracji 7, 2, 1 już na 7 "mikrosposóbów".
Po przydzieleniu każdemu z 7 "wolnych" drzewek etykietyki, jedna taka
konfiguracja da 8,1,1, a 7 da 7,2,1.

pzdr
bartekltg

[Wlod]

Post by Jacek Jaworski
Cześć!
Mam zadanie z "Matematyka rozszerzenie. Repetytorium matura". Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne. Warszawa 2014. str. 399.
"Działkowicz chce posadzić 10 jabłoni w ciągu trzech dni, każdego
dnia przynajmniej jedno drzewko. Na ile sposobów może to zrobić?"
Odp. z końca książki: 36 sposobów.

Bartek podał standardowe, najprostsze rozwiązanie.

Dodam tylko, że ciut ciekawiej jest opuścić ograniczenie
"każdego dnia przynajmniej jedno drzewko." (Niech będzie
możliwym zasadzić drzewa także w jeden lub w dwa dni).

Można to tak wyrazić: w kalendarzu, w miejscy na dane 3 dni,
wpisujemy liczbę drzew do zasadzenia. W sumie mamy do
posadzenia 10 drzew. Ile jest możliwych zapisów w kalendarzu?

-- Włodek