"prosta" granica

[sebasto]

Witam wszystkich!

Mam problem z policzeniem granicy, przy której liczeniu nie można
zastosować de L'Hospitala. Oto ona:

lim/x->e/ {[ln(x^3)-3]/[x-3]} = ?

Udało mi się jedynie wyłączyć 3. potęgę z x-a przez co uzyskałem

lim/x->e/ {[3lnx-3]/[x-3]} = 3* lim/x->e/ {[lnx-1]/[x-3]}

I co dalej?
Będę wdzięczny za (p)odpowiedzi ;)

[FlyTM]

Post by sebasto
lim/x->e/ {[3lnx-3]/[x-3]} = 3* lim/x->e/ {[lnx-1]/[x-3]}
I co dalej?

cut!
To juz koniec w zasadzie...u gory masz lne-1, czyli zero, a na dole e-3,
czyli minus jakies grosze... czyli ta granica jest rowna 0. Zreszta
narysuj sbie rykres tej funkcji dla potwierdzenia..

pozdr.fly

[sebasto]

Sorry, pomylka!
W mianowniku wyrazenia wymiernego jest x-e a nie x-3 !

[Aniek]

Post by sebasto
Udało mi się jedynie wyłączyć 3. potęgę z x-a przez co uzyskałem
lim/x->e/ {[3lnx-3]/[x-3]} = 3* lim/x->e/ {[lnx-1]/[x-3]}

nno i jaki dalej problem??
do czego dazy ln(x)-1??
do czego x-3?

Post by sebasto
I co dalej?

pomyslec :)

Post by sebasto
Będę wdzięczny za (p)odpowiedzi ;)

alez nie ma za co

[sebasto]

Sorry, pomylka!
W mianowniku wyrazenia wymiernego jest x-e a nie x-3 !

[A.L.]

Post by sebasto
Sorry, pomylka!
W mianowniku wyrazenia wymiernego jest x-e a nie x-3 !

Jakiego wyrazenia?...

A.L.

[sebasto]

Post by A.L.
Jakiego wyrazenia?...

Do policzenia jest granica lim/x->e/ {[lnx-1]/[x-e]}. Jest to granica
z dzielenia (lnx-1) i (x-e) przy x dążącym do e. Natomiast dzielenie
dwóch wyrażeń to wyrażenie wymierne, więc tego właśnie wyrażenia
wymiernego, o które pytasz. Na początku napisałem x-3 zamiast x-e, co
potem skorygowałem w kolejnych postach.

[FlyTM]

masz 0 przez 0, regula Dehospotala czy jakos tak i wychodzi 1/e ... banal

pozdr.fly

[Maciek]

Post by FlyTM
masz 0 przez 0, regula Dehospotala czy jakos tak i wychodzi 1/e ... banal

Taaaaak...?

A *czego* potrzebujesz, zeby mozna
bylo zastosowac regule l'Hospitala...?



Maciek

[FlyTM]

Post by Maciek
A *czego* potrzebujesz, zeby mozna
bylo zastosowac regule l'Hospitala...?

cut!
1. f(x)/g(x) i f'(x)/g'(x) okreslone w pewnym otoczeniu x0
2. granice wlasciwe f(x) i g(x) sa rowne i wynosza 0 lub nieskonczonosc
to wszystko.. ;)

pozfr.fly

[FlyTM]

Post by FlyTM
1. f(x)/g(x) i f'(x)/g'(x) okreslone w pewnym otoczeniu x0

cut!
Mialo byc *sasiedztwie*..;P male przoczenie ;P

zatem wsio ok..;)

pozdr.fly

[Maciek]

Post by FlyTM

Post by Maciek
A *czego* potrzebujesz, zeby mozna
bylo zastosowac regule l'Hospitala...?

cut!
1. f(x)/g(x) i f'(x)/g'(x) okreslone w pewnym otoczeniu x0

Acha? No dobrze... To teraz: skad wiesz, jaka jest
pochodna funkcji logarytmicznej w otoczeniu x0 = 1?


Wskazowka: dlaczego Seba 'sebasto' napisal w swoim
pytaniu o "granicy, przy której liczeniu nie można
zastosować de L'Hospitala"...?



Maciek

[FlyTM]

Post by Maciek
Acha? No dobrze... To teraz: skad wiesz, jaka jest
pochodna funkcji logarytmicznej w otoczeniu x0 = 1?

cut!
Ale czemu ja mam brac otoczenie x0=1 ? ;/
przeciez x0=e ... nie czaje ;P

pozdr.fly

[Maciek]

Post by FlyTM

Post by Maciek
Acha? No dobrze... To teraz: skad wiesz, jaka jest
pochodna funkcji logarytmicznej w otoczeniu x0 = 1?

cut!
Ale czemu ja mam brac otoczenie x0=1 ? ;/
przeciez x0=e ... nie czaje ;P

No to e. *Skad* wiesz, jaka tam jest pochodna?


Maciek

[FlyTM]

Post by Maciek
No to e. *Skad* wiesz, jaka tam jest pochodna?

cut!
Pochodna logarytmu naturalnego? jaka jest w e? -> (1/e) ??
EJ, ta funkcja spelnia zalozenia tego twierdzenia i wynik jest poprawny,
naprawde nie czaje juz nic ;/

pozdr.fly

[latin]

Post by FlyTM
Pochodna logarytmu naturalnego? jaka jest w e? -> (1/e) ??

A skad to wiesz?
Zauwaz, ze mowisz, ze ze zjadania przez weza wlasnego ogona cos moze
wyniknac.

latin

[A.L.]

Post by FlyTM

Post by Maciek
Acha? No dobrze... To teraz: skad wiesz, jaka jest
pochodna funkcji logarytmicznej w otoczeniu x0 = 1?

cut!
Ale czemu ja mam brac otoczenie x0=1 ? ;/
przeciez x0=e ... nie czaje ;P
pozdr.fly

Ja tez nie czaje.... Ale studiowalem dosyc dawno...

Ale jakby przyszlo do argumentow, to detaliczne objasnienie jest tu

http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html

A.L.

[FlyTM]

Post by A.L.
Ja tez nie czaje.... Ale studiowalem dosyc dawno...

cut!
Ja studiuje teraz.. i nie czaje co mu nie pasuje w tej funkcji... jest
okreslona w sasiedztwie.. sasiedztwo to jest otoczenie bez tego punktu,
tak? zatem o co chodzi..??..;)
Zreszta narysujcie sobie wykres tego badziewia.. potwierdza on wynik
obliczen po zastosowaniu reguly l'H... zatem ja juz ide cos zjesc ;)

pozdr.fly

[sebasto]

Post by FlyTM
masz 0 przez 0, regula Dehospotala czy jakos tak i wychodzi 1/e ... banal

Przeciez wyraznie na dzien dobry zastrzeglem, ze nie mozna zastosowac tej
reguly i koniec. Wykladowca powiedzial: "Nie wolno stosowac de
L'Hospitala!!!" I napisalem o tym w pierwszym poscie!
Skoro taki banal, to policz jej nie stosujac...

[FlyTM]

Post by sebasto
Przeciez wyraznie na dzien dobry zastrzeglem, ze nie mozna zastosowac tej
reguly i koniec. Wykladowca powiedzial: "Nie wolno stosowac de
L'Hospitala!!!" I napisalem o tym w pierwszym poscie!
Skoro taki banal, to policz jej nie stosujac...

cut!
SOry, ale czemu nie mozna.. bo ja tego nie rozumiem poprostu.. funkcja
spelnia wszystkie zalozenia twierdzenia... wiec? ;P chyba ze o to chodzi
zeby nie stosowac, to ok ;P hehe... zaraz policze i napize ;P po
kolacji... pozdro.fly

[sebasto]

Post by FlyTM
SOry, ale czemu nie mozna.. bo ja tego nie rozumiem poprostu.. funkcja
spelnia wszystkie zalozenia twierdzenia... wiec? ;P chyba ze o to chodzi
zeby nie stosowac, to ok ;P hehe... zaraz policze i napize ;P po
kolacji... pozdro.fly

Czysta zachcianka wykladowcy :( Tak ma byc i juz. "Zakladamy, ze Panstwo
tej reguly jeszcze nie znaja i nie maja prawa jej zastosowac." - to
byly jego slowa.

[FlyTM]

Kolega mi pomogl i zrobilismy te granice tak:
Jesli masz taka granice lim ln(x) gdy x-> e, to mozesz ja zamienic na
granice: lim (x+e) gdy x-> 0.
Biorac pod uwage granice o kotra prosiles, po wyciagnieciu tejj trojki
masz: lim/x->e/ {[lnx-1]/[x-e]}, czyli po zastosowaniu tej zasady ktora
przytoczylem: lim/x->e/ {[ln(x+e)-1]/x}
u gory wyciagasz x'a.. z obu czynnikow i skracasz go z dolnym,
otrzymujac: [ln(x+e)]^(1/x)-(1/x),
1/x to to samo co: [ln(e)^(1/x)], zatem...zgdnie z prawami dzialan na
logarytmach otrzymujesz: ln{[(x+e)/e]^(1/x)}=ln[1+(x/e)^(1/x)]=
ln{[[1+(x/e)]^(e/x)]^(1/e)}=(1/e)*ln(e)=1/e...
Czyli razy 3, masz wynik: 3/e :)

pozdr.fly

[sebasto]

............................................
Czyli razy 3, masz wynik: 3/e :)
pozdr.fly

Serdeczne dzięki !!!!!!

[Kasia D.]

To jest wiecej niz zachcianka wykladowcy.
Sprobujcie (Seba, Fly, A.L.) przeczytac ze zrozumieniem,
co pisze Maciek.

Zeby zastosowac regule de l'Hospitala do policzenia granicy
lim_{x\to e}{(ln(x)-1)/(x-e)} musicie _najpierw_ zrozniczkowac
logarytm naturalny. Rozniczkowanie to (z definicji) liczenie
pewnej granicy.
Rozpiszcie, jaka granice trzeba policzyc, zeby znalezc pochodna
logarytmu w e. I co, nie wyglada znajomo?

[FlyTM]

Post by Kasia D.
To jest wiecej niz zachcianka wykladowcy.
Sprobujcie (Seba, Fly, A.L.) przeczytac ze zrozumieniem,
co pisze Maciek.
Zeby zastosowac regule de l'Hospitala do policzenia granicy
lim_{x\to e}{(ln(x)-1)/(x-e)} musicie _najpierw_ zrozniczkowac
logarytm naturalny. Rozniczkowanie to (z definicji) liczenie
pewnej granicy.
Rozpiszcie, jaka granice trzeba policzyc, zeby znalezc pochodna
logarytmu w e. I co, nie wyglada znajomo?

cut!
:) wiedzialem ze ta granica potrzebuje kobiecej subtelnosci..

pozdr.fly

[A.L.]

Post by Kasia D.
To jest wiecej niz zachcianka wykladowcy.
Sprobujcie (Seba, Fly, A.L.) przeczytac ze zrozumieniem,
co pisze Maciek.
Zeby zastosowac regule de l'Hospitala do policzenia granicy
lim_{x\to e}{(ln(x)-1)/(x-e)} musicie _najpierw_ zrozniczkowac
logarytm naturalny. Rozniczkowanie to (z definicji) liczenie
pewnej granicy.
Rozpiszcie, jaka granice trzeba policzyc, zeby znalezc pochodna
logarytmu w e. I co, nie wyglada znajomo?

Ale my WIEMY jak wyglada pochodna logarytmu... Wymaganie "nie mozna
uzywac reguly bo wykladowca tak kaze" jest rozsadne. Wykladowca moze
kazac co chce. "Nie mozna uzywac reguly ze wzgledu na logarytm" to
nonsens.

A.L.

[Kasia D.]

Post by A.L.

Post by Kasia D.
Rozpiszcie, jaka granice trzeba policzyc, zeby znalezc pochodna
logarytmu w e. I co, nie wyglada znajomo?

Ale my WIEMY jak wyglada pochodna logarytmu... Wymaganie "nie mozna
uzywac reguly bo wykladowca tak kaze" jest rozsadne. Wykladowca moze
kazac co chce. "Nie mozna uzywac reguly ze wzgledu na logarytm" to
nonsens.

No to jezeli wiecie, jak wyglada pochodna logarytmu, to mozecie
oczywiscie zastosowac regule de l'Hospitala, ale niepotrzebnie sie
napracujecie.
Skoro wiecie bez liczenia, jak wyglada pochodna, to wiecie tez bez
liczenia, ile wynosi wyjsciowa granica. Bo ona jest - z definicji! -
pochodna logarytmu w e.

[A.L.]

Post by Kasia D.

Post by A.L.

Post by Kasia D.
Rozpiszcie, jaka granice trzeba policzyc, zeby znalezc pochodna
logarytmu w e. I co, nie wyglada znajomo?

Ale my WIEMY jak wyglada pochodna logarytmu... Wymaganie "nie mozna
uzywac reguly bo wykladowca tak kaze" jest rozsadne. Wykladowca moze
kazac co chce. "Nie mozna uzywac reguly ze wzgledu na logarytm" to
nonsens.

No to jezeli wiecie, jak wyglada pochodna logarytmu, to mozecie
oczywiscie zastosowac regule de l'Hospitala, ale niepotrzebnie sie
napracujecie.
Skoro wiecie bez liczenia, jak wyglada pochodna, to wiecie tez bez
liczenia, ile wynosi wyjsciowa granica. Bo ona jest - z definicji! -
pochodna logarytmu w e.

Wiemy.

A.L.

[sebasto]

Dla innych chętnych :) :
Sorry, pomylka!
W mianowniku wyrazenia wymiernego jest x-e a nie x-3 !

[£ukasz Kalbarczyk]

Post by sebasto
Witam wszystkich!
Mam problem z policzeniem granicy, przy której liczeniu nie można
lim/x->e/ {[ln(x^3)-3]/[x-3]} = ?

(ln(x^3)-3)/(x-e)=3(ln(x)-1)/(x-e).
Podstawiamy y:=(x-e)/e (na wszelki wypadek
warto zauważyć że to dyfeomorfizm),
Teraz y-->0 i mamy 3 lim(ln (e(y+1)) / ey )
= 3/e lim( (1+ln(y+1)) / y --> \infty, bo ln(1+x)/x-->1 w 0.

Post by sebasto
Udało mi się jedynie wyłączyć 3. potęgę z x-a przez co uzyskałem

Fakt, że jedynie...
Rozwiązałem całe - może się nauczysz dzięki temu...

[sebasto]

Post by £ukasz Kalbarczyk
Fakt, że jedynie...

??

Post by £ukasz Kalbarczyk
Rozwiązałem całe - może się nauczysz dzięki temu...

??

Bądź co bądź, dzięki.