Wyznacznik macierzy równy zero

[Anna Bekus]

Witam...
Mam macierz, której elementy są zależne od pewnej zmiennej (P). Potrzebuję
znaleźć najmniejszą dodatnią wartość P, dla której wyznacznik tej macierzy
jest równy zero. Niekoniecznie musi to być wartość dokładna.
Rozkład liczb w macierzy starałam się przedstawić poniżej... symbol "X"
oznacza wartość zależną od P (może ona być równa 0!).
Dodam, że chodzi o macierze wielkości mniej więcej 1000x1000 elementów.
Jak narazie do obliczenia wyznacznika stosuje eliminację Gaussa (oczywiście z
uwzględnieniem tych wszystkich zer :). Mile widziane wszelkie sugestie na
temat samej metody liczenia wyznacznika (nie koniecznie rozwiązanie całego
problemu).
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam
Ania

XXXX00000000...00000000
XXXX00000000...00000000
XXXXXXXX0000...00000000
XXXXXXXX0000...00000000
XXXXXXXX0000...00000000
XXXXXXXX0000...00000000
0000XXXXXXXX...00000000
0000XXXXXXXX...00000000
0000XXXXXXXX...00000000
0000XXXXXXXX...00000000
......................
......................
000000000000...XXXXXXXX
000000000000...XXXXXXXX
000000000000...XXXXXXXX
000000000000...XXXXXXXX
000000000000...0000XXXX
000000000000...0000XXXX

[Kazimierz Kurz]

Anna Bekus <***@WYTNIJ.gazeta.pl> napisał(a):
[ciach]

Post by Anna Bekus
Mile widziane wszelkie sugestie na
temat samej metody liczenia wyznacznika (nie koniecznie rozwiązanie całego
problemu).
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam
Ania
XXXX00000000...00000000

[ciach]

Post by Anna Bekus
000000000000...0000XXXX

Opisz dokladniej strukture tej macierzy: czy liczba zaleznych od P wyrazow w
wierszu jest jakosc okreslona? O ile pamietam taka macierz nazywa sie wstegowa
i pewnei da sie cos powiedziec o wyznaczniku.
A szcegoly podadza madrzejsi ;-)
kazek

[Anna Bekus]

Post by Kazimierz Kurz
[ciach]

Post by Anna Bekus
Mile widziane wszelkie sugestie na
temat samej metody liczenia wyznacznika (nie koniecznie rozwiązanie całego
problemu).
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam
Ania
XXXX00000000...00000000

[ciach]

Post by Anna Bekus
000000000000...0000XXXX

Opisz dokladniej strukture tej macierzy: czy liczba zaleznych od P wyrazow w
wierszu jest jakosc okreslona? O ile pamietam taka macierz nazywa sie wstegowa
i pewnei da sie cos powiedziec o wyznaczniku.
A szcegoly podadza madrzejsi ;-)
kazek

W każdym wierszu macierzy jest 8 elementów zależnych od P(poza 2 pierwszymi i
2 ostatnimi wierszami, w których są po 4 takie liczby);
Liczby te są ułożone tak, jak pokazałam, tzn. w wierszach 2-6 liczby są na 8
pierwszych miejscach, w następnych czterech wierszach są przesunięte o 4
miejsca w prawo, w następnych znowu o 4 miejsca itd.

Pozdrawiam
Ania

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Anna Bekus
znaleźć najmniejszą dodatnią wartość P,
dla której wyznacznik macierzy jest równy
zero.

Sprowadz macierz do postaci trojkatnej.
Jest to i dokladniejsze i wymaga mniej
liczenia niz wyznacznik. Nastepnie dla
kazdego wyrazu przekatnej znajdz najmniejsza
wartosc P > 0, ktora zeruje ten element
przekatnej (moze nie istniec). Nastepnie
przyjmij za P najmniejsza ze wszystkich
otrzymanych wartosci P (po wszystkich
elementach przekatnej). Jezeli takie P
istnieje, to masz juz odpowiedz.

Powodzenia,

Wlodek

PS. Chyba nie masz dzikich sytuacji, kiedy
istnieje ciag P > 0, zbiezny do 0, dla
ktorych pewien element przekatnej macierzy
trojkatnej jest 0, t.zn. kiedy wyznacznik
jest 0 (i chyba elementy macierzy sa funkcjami
ciaglymi parametru P).

[rysik]

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by Anna Bekus
znaleźć najmniejszą dodatnią wartość P,
dla której wyznacznik macierzy jest równy
zero.

Sprowadz macierz do postaci trojkatnej.
Jest to i dokladniejsze i wymaga mniej
liczenia niz wyznacznik. Nastepnie dla
kazdego wyrazu przekatnej znajdz najmniejsza
wartosc P > 0, ktora zeruje ten element
przekatnej (moze nie istniec). Nastepnie
przyjmij za P najmniejsza ze wszystkich
otrzymanych wartosci P (po wszystkich
elementach przekatnej). Jezeli takie P
istnieje, to masz juz odpowiedz.

Czegos tu nie rozumiem (moze za pozno juz?). Niech A(i,P) bedzie i-tym
elementem diagonali macierzy sprowadzonej do postaci trojkatnej. Mamy:

A(1,P)*A(2,P)*....A(N,P) = det(A(P))

Szukamy arg [min|det(A( . )|], czyli takiego P, ktory w miejscu '.' da min
(zblizy sie do min),
albo po prostu zera funkcji det(A(P)).

p r z y k l a d 1

Zalozmy, ze A(1,P)=P, A(2,P)=1/P, A(3,P)=P-1, N=3
Przyklad jest sztuczny, ale...
mamy det(A(P)) = P-1
minimalizujace P dla A(1) rowna sie 0,
minimalizujace P dla A(2) to bedzie albo max w reprezentacji liczb albo cos
b. duzego.
minimalizujace P dla A(3) jest rowne 1.
0 jest rozwiazaniem dla A(1) i "pasuje",OK, ale nie lezy nawet w dziedzinie
A(2)! Rozwiazaniem jest P=1.

Ogolnie mozna wyobrazac sobie jak pary elementow Ai,Aj skracaja sie w
iloczynie a o zerowaniu decyduje Ak, ktory wygladal niepozornie. Albo Ai-->0
gdy Aj-->inf., czyli w jednym miejscu minimalizujemy a w drugim mozemy
maksymalizowac. Co wyjdzie tego nie wiadomo. Idzmy dalej. Byc moze chodzi o
numeryke, a w takim wypadku dostatecznie male liczby sa zerami. A wiec taki
przyklad:

p r z y k l a d 2

P1 daje: 0.001, 1, 1, 1, 1, 1......1
P2 daje: 0.1, 0.1, 0.1.....0.1
P1 daje najmniejszy element diagonali (1/1000) a reszta to jedynki.
P2 wydaje sie gorsze, ale jak przemnozymy elementy diagonali to dla N>4
bedzie lepsze niz P1

Przyklady sa sztuczne i moga nie odzwierciedlac zachowania elementow
diagonalnych, ale dopoki nie wiemy jak one wygladaja to kazda sytuacje
trzeba sobie "przecwiczyc".

Wniosek: Trzeba znalezc takie P, ktore caly iloczyn bierze za rogi. Moze
Pani Anna postawila problem zbyt ogolnie? Albo ja cos namieszalem...

Jezeli N jest rzedu 1000 to kosztowne robi sie liczenie argmin det(A(P)).
Ale jaki to koszt? O(N^3), O(N^2) dla wersji TURBO jesli taka jest? Jesli
jeszcze mamy szczescie i koncowy efekt rozkaldu daje sie liczyc w zaleznosci
od P to koszt wychodzi O(N) dla policzenia wyznacznika dla konkretnego P (po
wczesniejszym rozlozeniu kosztem O(N^3).Super. Szukamy zera. Moze metoda
bisekcji? Kilkadziesiat polowien i juz. Pentium to przelknie.

Ups, potrzebne sa rozne znaki na poczatek. I jakis przedzial...

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by rysik

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by Anna Bekus
znaleźć najmniejszą dodatnią wartość P,
dla której wyznacznik macierzy jest równy
zero.

Sprowadz macierz do postaci trojkatnej.
Jest to i dokladniejsze i wymaga mniej
liczenia niz wyznacznik. Nastepnie dla
kazdego wyrazu przekatnej znajdz najmniejsza
wartosc P > 0, ktora zeruje ten element
przekatnej (moze nie istniec). Nastepnie
przyjmij za P najmniejsza ze wszystkich
otrzymanych wartosci P (po wszystkich
elementach przekatnej). Jezeli takie P
istnieje, to masz juz odpowiedz.

Czegos tu nie rozumiem (moze za pozno juz?).
Niech A(i,P) bedzie i-tym elementem diagonali
A(1,P)*A(2,P)*....A(N,P) = det(A(P))
Szukamy arg [min|det(A( . )|], czyli takiego P,
ktory w miejscu '.' da min (zblizy sie do min),
albo po prostu zera funkcji det(A(P)).

W zadaniu nie bylo mowy o minimum wartosci
bezwzglednej wyznacznika. Uwazam, ze jezeli
wyznacznik nie zeruje sie, to algorytm powinien
tylko dac odpowiedz: wyznacznik nie zeruje sie.
(Ale to nie jest Twoja obiekcja. Jedynie przypominam,
co nalezalo obliczyc--nie minimum wyznacznika).

Co do Twojej obiekcji: faktycznie powinienem byl
ostroznie pisac o dziedzinie zbioru parametru P.
Nawet nie warto bylo powtarzac czy akcentowac
zalozenia autora o dodatniosci P. Nalezy zadanie
formulowac tak: niech A bedzie zbiorem liczb
rzeczywistych, takim, ze macierz jest zdefinowana
dla P \in A (t.zn. kazdy element macierzy
powinien byc zdefiniowany dla P \in A). Wtedy
po elementarnym zredukowaniu macierzy do postaci
trojkatnej (co robi sie jak w szkole, przy rozwiazywaniu
ukladu rownan) nalezy z wszystkich wyrazow przekatnej
pozbierac warosci dla ktorych sa one zerem. Wsrod nich
minimalne P bedzie odpowiedzia. Jezeli jednak
jeden lub wiecej z wyrazow przekatnej sa tozsamosciowo
zerem, to za wartosc minimalna P (nie wyznacznika!)
najlepiej uznac -oo -- tak sie umowic, bo tak jest
najsensowniej.

Piszesz, ze w wyznaczniku wyrazy moga sie skrocic,
a wiec wyznacznik moze byc zdefiniowany mimo, ze wyraz
macierzy nie jest zdefiniowany. To jest sprawa delikatna.
W zasadzie mowic o wyznaczniku, gdy nie ma macierzy
(bo nie jest zdefinowany jeden z jej wyrazow) jest bez
sensu. Jednak czasem warto te sytuacje odpowiednio ulegalnic.
Poniewaz w tym watku chodzi o konkretne zastosowanie,
to postepowanie nakezy dostosowac do danego praktycznego
zadania. W ciwmno nie ma co tego dyskutowac, gdyz moze
ten problem w ogole w danym zastosowaniu nie wystepuje.
Jezeli wystepuje, to nalezy wiedziec jak wystepuje
i dopiero cos postanowic.

Pozdrawiam,

Wlodek

[rysik]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
W zadaniu nie bylo mowy o minimum wartosci
bezwzglednej wyznacznika.

Racja, moj blad. Zmienilem przez nieuwage tresc zadania. Wyszlo sporo
trudniejsze.

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Piszesz, ze w wyznaczniku wyrazy moga sie skrocic,
a wiec wyznacznik moze byc zdefiniowany mimo, ze wyraz
macierzy nie jest zdefiniowany. To jest sprawa delikatna.
W zasadzie mowic o wyznaczniku, gdy nie ma macierzy
(bo nie jest zdefinowany jeden z jej wyrazow) jest bez
sensu.

Te moje rozwazania odnosily sie bardziej do samej minimalizacji (cos maleje
a cos rosnie), a wiec i tak sa nieaktualne.

[Anna Bekus]

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by rysik

Post by Wlodzimierz Holsztynski

Post by Anna Bekus
znaleźć najmniejszą dodatnią wartość P,
dla której wyznacznik macierzy jest równy
zero.

Sprowadz macierz do postaci trojkatnej.
Jest to i dokladniejsze i wymaga mniej
liczenia niz wyznacznik. Nastepnie dla
kazdego wyrazu przekatnej znajdz najmniejsza
wartosc P > 0, ktora zeruje ten element
przekatnej (moze nie istniec). Nastepnie
przyjmij za P najmniejsza ze wszystkich
otrzymanych wartosci P (po wszystkich
elementach przekatnej). Jezeli takie P
istnieje, to masz juz odpowiedz.

Czegos tu nie rozumiem (moze za pozno juz?).
Niech A(i,P) bedzie i-tym elementem diagonali
A(1,P)*A(2,P)*....A(N,P) = det(A(P))
Szukamy arg [min|det(A( . )|], czyli takiego P,
ktory w miejscu '.' da min (zblizy sie do min),
albo po prostu zera funkcji det(A(P)).

W zadaniu nie bylo mowy o minimum wartosci
bezwzglednej wyznacznika. Uwazam, ze jezeli
wyznacznik nie zeruje sie, to algorytm powinien
tylko dac odpowiedz: wyznacznik nie zeruje sie.
(Ale to nie jest Twoja obiekcja. Jedynie przypominam,
co nalezalo obliczyc--nie minimum wyznacznika).
Co do Twojej obiekcji: faktycznie powinienem byl
ostroznie pisac o dziedzinie zbioru parametru P.
Nawet nie warto bylo powtarzac czy akcentowac
zalozenia autora o dodatniosci P. Nalezy zadanie
formulowac tak: niech A bedzie zbiorem liczb
rzeczywistych, takim, ze macierz jest zdefinowana
dla P \in A (t.zn. kazdy element macierzy
powinien byc zdefiniowany dla P \in A). Wtedy
po elementarnym zredukowaniu macierzy do postaci
trojkatnej (co robi sie jak w szkole, przy rozwiazywaniu
ukladu rownan) nalezy z wszystkich wyrazow przekatnej
pozbierac warosci dla ktorych sa one zerem. Wsrod nich
minimalne P bedzie odpowiedzia. Jezeli jednak
jeden lub wiecej z wyrazow przekatnej sa tozsamosciowo
zerem, to za wartosc minimalna P (nie wyznacznika!)
najlepiej uznac -oo -- tak sie umowic, bo tak jest
najsensowniej.
Piszesz, ze w wyznaczniku wyrazy moga sie skrocic,
a wiec wyznacznik moze byc zdefiniowany mimo, ze wyraz
macierzy nie jest zdefiniowany. To jest sprawa delikatna.
W zasadzie mowic o wyznaczniku, gdy nie ma macierzy
(bo nie jest zdefinowany jeden z jej wyrazow) jest bez
sensu. Jednak czasem warto te sytuacje odpowiednio ulegalnic.
Poniewaz w tym watku chodzi o konkretne zastosowanie,
to postepowanie nakezy dostosowac do danego praktycznego
zadania. W ciwmno nie ma co tego dyskutowac, gdyz moze
ten problem w ogole w danym zastosowaniu nie wystepuje.
Jezeli wystepuje, to nalezy wiedziec jak wystepuje
i dopiero cos postanowic.
Pozdrawiam,
Wlodek

W ramach wyjaśnienia powstałych wątpliwości...
Wyrazy zależne od P są zdefiniowane dla każdej liczby rzeczywistej. Są to
iloczyny P, sin(P) i cos(P) (P może się pojawić w 1,2 lub 3 potędze).
Co więcej... Ponieważ macierz ta opisuje zagadnienie fizyczne, a poszukiwana
wartość P to siła, przy której układ ulega zniszczeniu, więc nie za bardzo
jest możliwe, żeby dokładne rozwiązanie nie istniało. A jeżeli istnieje to
któryś z elementów na przekątnej musi się zerować (przynajmniej tak mi się
wydaje, poprawcie mnie jeśli źle myślę :)
Wszystko wygląda pięknie... pomysł mi się bardzo podoba :) tylko jak
sprowadzić macierz 1000x1000 do postaci trójkątnej?? Nie ma problemu jeśli
elementami macierzy są konkretne wartości, ale tutaj elementami macierzy są
funkcje.

Pozdrawiam
Ania

[PFG]

On Fri, 21 Apr 2006 16:26:44 CST, "Anna Bekus"

Post by Anna Bekus
Wszystko wygląda pięknie... pomysł mi się bardzo podoba :) tylko jak
sprowadzić macierz 1000x1000 do postaci trójkątnej??

Transformacją Householdera zrobic rozkład QR twojej macierzy.
Q jest ortogonalna, R trójkątna górna, więc det A z dokładnością
do znaku jest iloczynem elementów diagonalnych R.

Post by Anna Bekus
Nie ma problemu jeśli
elementami macierzy są konkretne wartości, ale tutaj elementami macierzy są
funkcje.

Hm, jak dotąd nie napisałaś, że interesuje cię rozwiązanie
analityczne. Szczerze powiedziawszy wątpię czy takowe uda ci się
znaleźć. Natomiast jeśli chcesz rozwiązania numerycznego, to dla
każdej konkretnej wartości P masz "konkretne wartości".

[Anna Bekus]

Post by PFG
On Fri, 21 Apr 2006 16:26:44 CST, "Anna Bekus"

Post by Anna Bekus
Wszystko wygląda pięknie... pomysł mi się bardzo podoba :) tylko jak
sprowadzić macierz 1000x1000 do postaci trójkątnej??

Transformacją Householdera zrobic rozkład QR twojej macierzy.
Q jest ortogonalna, R trójkątna górna, więc det A z dokładnością
do znaku jest iloczynem elementów diagonalnych R.

Post by Anna Bekus
Nie ma problemu jeśli
elementami macierzy są konkretne wartości, ale tutaj elementami macierzy są
funkcje.

Hm, jak dotąd nie napisałaś, że interesuje cię rozwiązanie
analityczne. Szczerze powiedziawszy wątpię czy takowe uda ci się
znaleźć. Natomiast jeśli chcesz rozwiązania numerycznego, to dla
każdej konkretnej wartości P masz "konkretne wartości".

Nie potrzebuję rozwiązania analitycznego. Chodziło mi o to co zostało

Post by PFG

Post by Anna Bekus
Sprowadz macierz do postaci trojkatnej.
Jest to i dokladniejsze i wymaga mniej
liczenia niz wyznacznik. Nastepnie dla
kazdego wyrazu przekatnej znajdz najmniejsza
wartosc P > 0, ktora zeruje ten element
przekatnej (moze nie istniec). Nastepnie
przyjmij za P najmniejsza ze wszystkich
otrzymanych wartosci P (po wszystkich
elementach przekatnej). Jezeli takie P
istnieje, to masz juz odpowiedz.

Żeby zrobić to w ten sposób potrzebuję mieć elementy przekątnej w postaci
funkcji, a nie wartości.

A co do rozwiązania numerycznego... Dla danego P wyznaczę wartość wyznacznika,
tylko jak zmieniać to P, żeby uzyskać przedział izolacji pierwiastka funkcji
detA(P)?? No bo później to już proste... sieczne, falsi lub choćby bisekcja...

Pozdrawiam
Ania

[Michał Wasiak]

Post by Anna Bekus
A co do rozwiązania numerycznego... Dla danego P wyznaczę wartość wyznacznika,
tylko jak zmieniać to P, żeby uzyskać przedział izolacji pierwiastka funkcji
detA(P)?? No bo później to już proste... sieczne, falsi lub choćby bisekcja...

Jeśli nie wiesz nic konkretnego o zależności od P, to nie
wiesz nic o tym, gdzie szukać miejsc zerowych, ani ile ich
jest. Numerycznia tragednia, więc trzeba by coś
teoretycznie wymyślić najpierw.

[Pawe³ Kowal]

Post by Anna Bekus
Witam...
Mam macierz, której elementy są zależne od pewnej zmiennej (P). Potrzebuję
znaleźć najmniejszą dodatnią wartość P, dla której wyznacznik tej macierzy
jest równy zero. Niekoniecznie musi to być wartość dokładna.
Rozkład liczb w macierzy starałam się przedstawić poniżej... symbol "X"
oznacza wartość zależną od P (może ona być równa 0!).
Dodam, że chodzi o macierze wielkości mniej więcej 1000x1000 elementów.
Jak narazie do obliczenia wyznacznika stosuje eliminację Gaussa (oczywiście z
uwzględnieniem tych wszystkich zer :). Mile widziane wszelkie sugestie na
temat samej metody liczenia wyznacznika (nie koniecznie rozwiązanie całego
problemu).

wyznacznik macierzy chyba najszybciej sie liczy korzystajac z dekompozycji
LU.
dana macierz jest banded, i mozna to wykorzystac przy liczeniu LU, da to
znaczne przyspieszenie.

przy problemie tego typu wartosc P mozna wyznaczyc tylko bezposrednio
wykorzystujac algorytmy minimalizacji funckji
f: P->det A(P)
A to dana macierz zalezna od P.

[PFG]

On 20 Apr 2006 20:30:02 GMT, "Paweł Kowal"

Post by Pawe³ Kowal
wyznacznik macierzy chyba najszybciej sie liczy korzystajac z dekompozycji
LU.
dana macierz jest banded, i mozna to wykorzystac przy liczeniu LU, da to
znaczne przyspieszenie.

Też tak myślałem. Alternatywnie można spróbować rozkładu QR za pomocą
transformacji Householdera, bo ona też pójdzie szybko, można nawet
wykorzystać dodatkową strukturę (zębate "wcięcia" w pasmie
zapełnionym). W dodatku przy Householderze można się nie przejmować
określonością, a macierz *musi* być źle określona w okolicy tej
wartości P, dla której wyznacznik znika.

Post by Pawe³ Kowal
przy problemie tego typu wartosc P mozna wyznaczyc tylko bezposrednio
wykorzystujac algorytmy minimalizacji funckji
f: P->det A(P)

To akurat jest zły pomysł. Po pierwsze, dlaczego zero ma być minimum?
Można próbować g: p -> (det A(P))^2 ale wówczas zamiast w minimum
globalne można trafić w lokalne. Trzeba używać przyzwoitych metod
rozwiązywania równań algebraicznych, oczywiście tych
niewykorzystujących pochodnych, a więc siecznych lub regula falsi.

[thrunduil]

Post by PFG
Też tak myślałem. Alternatywnie można spróbować rozkładu QR za pomocą
transformacji Householdera, bo ona też pójdzie szybko, można nawet
wykorzystać dodatkową strukturę (zębate "wcięcia" w pasmie
zapełnionym). W dodatku przy Householderze można się nie przejmować
określonością, a macierz *musi* być źle określona w okolicy tej
wartości P, dla której wyznacznik znika.

a czy to jest jakis problem?
porownalem liczenie rzedu macierzy korzystajac z dekompozycji lu i qr.
przy pomocy lu mozna wyestymowac rzad tak samo dokladnie lub nawet
dokladniej niz przy pomocy qr.


macierze mialy postac
A = U S V'
gdzie U,V dowolne macierze ortogonalne
a S = diag([exp(I); 0_{k,1}])
I=[q:a:-q] lub I=[0:a:-q]
a odpowiednia wartosc, aby wymiar S byla rzedu 1000.
dla q rzedu 10-20

dokladnosc estymacji rzadu jest okreslona jako toleracja potrzebna do
uzyskania wlasciwego rzadu.
toleracja ta dla lu jest tego samego rzedu co dla qr, w najgorszym przypadku
musiala byc dwa razy wieksza.

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Anna Bekus
Mam macierz, której elementy są zależne od pewnej
zmiennej (P). Potrzebuję znaleźć najmniejszą dodatnią
wartość P, dla której wyznacznik tej macierzy
jest równy zero. Niekoniecznie musi to być wartość dokładna.

Zaproponowalem metode, ktora unika
liczenia wyznacznika. Jest tak
oczywiscie bardziej elegancko.
Jestem tez przekonany, ze takie
postepowanie ma tez wieksza wartosc
praktyczna, jest w szczegolnosci
stabilniejsze. Lepiej definiuje problem,
jako ze w praktyce sposob obliczenia jest
istotny, nawet gdy matematycznie dwa sposoby
daja ten sam matematyczny wynik. Jednak
istotna jest tez stabilnosc i spolegliwosc
obliczen.

Na przyklad, gdy mamy macierz przekatniowa,
ktora ma na przekatnej liczby bliskie zeru,
ale nie tak male, zeby mozna je bylo zaniedbac.
Przy wymiarze macierzy 1000 x 1000 wyznacznik,
czyli iloczyn wyrazow przekatnej bedzie
"praktycznym zerem", gdyz bedzie roznil sie
od zera o mniej niz precyzja obliczen.
Intuicja mowi mi jednak, ze taka macierz
nie powinna byc uwazana za osobliwa.

W danym zastosowaniu moge chybic, nie znam go.
Na ogol jednak chyba mam racje.

Pozdrawiam,

Wlodek