Discussion:
Zadanie z szeregów
(Wiadomość utworzona zbyt dawno temu. Odpowiedź niemożliwa.)
Stachu Chebel
2022-07-09 12:04:13 UTC
Permalink
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?

Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
WM
2022-07-10 17:52:02 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.

2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.



WM
Stachu Chebel
2022-07-10 18:15:31 UTC
Permalink
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.
Szereg, nie ciąg. Mniejsza z tym, w każdym bądź razie tutaj się zgadzam
Post by WM
2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.
Jeżeli a(i) jest rozbieżny, liczba wyrazów o wartości c jest skończona, to
chyba b(i) też musi być rozbieżny.
Post by WM
WM
WM
2022-07-10 19:06:29 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.
Szereg, nie ciąg. Mniejsza z tym, w każdym bądź razie tutaj się zgadzam
Post by WM
2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.
Jeżeli a(i) jest rozbieżny, liczba wyrazów o wartości c jest skończona, to
chyba b(i) też musi być rozbieżny.
Post by WM
WM
Nie dajesz ograniczenia na wyrazy szeregu a(n), więc teoretycznie tak
też może być.
Jeden wyraz szeregu a(n) jest nieskończony a suma pozostałych ma
skończoną wartość.

WM
bartekltg
2022-07-14 18:51:00 UTC
Permalink
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.
Szereg, nie ciąg. Mniejsza z tym, w każdym bądź razie tutaj się zgadzam
Post by WM
2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.
Jeżeli a(i) jest rozbieżny, liczba wyrazów o wartości c jest skończona, to
chyba b(i) też musi być rozbieżny.
Post by WM
WM
Nie dajesz ograniczenia na wyrazy szeregu a(n), więc teoretycznie tak
też może być.
Jeden wyraz szeregu a(n) jest nieskończony a suma pozostałych ma
skończoną wartość.
Nie. Każdy wyraz a(n) jest liczbą rzeczywistą, wiec jest skończony.

Każda liczba rzeczywista jest skończona (jak cehsz formalnie pokazywac,
pewnei najłatwiej wyciagnąć aksjomat Archimedesa), nieskończoności
na R nie występują.

pzdr
bartekltg
WM
2022-07-14 21:26:11 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.
Szereg, nie ciąg. Mniejsza z tym, w każdym bądź razie tutaj się zgadzam
Post by WM
2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.
Jeżeli a(i) jest rozbieżny, liczba wyrazów o wartości c jest skończona, to
chyba b(i) też musi być rozbieżny.
Post by WM
WM
Nie dajesz ograniczenia na wyrazy szeregu a(n), więc teoretycznie tak
też może być.
Jeden wyraz szeregu a(n) jest nieskończony a suma pozostałych ma
skończoną wartość.
Nie. Każdy wyraz a(n) jest liczbą rzeczywistą, wiec jest skończony.
Każda liczba rzeczywista jest skończona (jak cehsz formalnie pokazywac,
pewnei najłatwiej wyciagnąć aksjomat Archimedesa), nieskończoności
na R nie występują.
pzdr
bartekltg
To może dam taki przykład:
Dla i od 1 do ∞ , mamy nieskończoną sumę szeregu: a(i)=1/(i-1)^4 .
Po ograniczeniu pierwszego wyrazu do c mamy ten szereg skończony.

Idźmy dalej:
Dobrze, by nieskończona wartość nie była na początku, a w nieskończoności.
Nie wiem czy taka konstrukcja z k>1 jest poprawna?
Szereg a(i)=1/(1-(i/k)^4)^4 ma nieskończony wyraz dla i=k.
Jego suma jest skończona dla i od 1 do k-1.
Jego suma jest nieskończona dla i od 1 do k.
Czy coś się zmieni, gdy k będzie rosło do nieskończoności?


WM
bartekltg
2022-07-14 22:51:37 UTC
Permalink
Post by WM
Post by bartekltg
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.
Szereg, nie ciąg. Mniejsza z tym, w każdym bądź razie tutaj się zgadzam
Post by WM
2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.
Jeżeli a(i) jest rozbieżny, liczba wyrazów o wartości c jest skończona, to
chyba b(i) też musi być rozbieżny.
Post by WM
WM
Nie dajesz ograniczenia na wyrazy szeregu a(n), więc teoretycznie tak
też może być.
Jeden wyraz szeregu a(n) jest nieskończony a suma pozostałych ma
skończoną wartość.
Nie. Każdy wyraz a(n) jest liczbą rzeczywistą, wiec jest skończony.
Każda liczba rzeczywista jest skończona (jak cehsz formalnie pokazywac,
pewnei najłatwiej wyciagnąć aksjomat Archimedesa), nieskończoności
na R nie występują.
pzdr
bartekltg
Dla i od 1 do ∞ , mamy nieskończoną sumę szeregu: a(i)=1/(i-1)^4 .
Po ograniczeniu pierwszego wyrazu do c mamy ten szereg skończony.
A ile wynosiło a_1 przeg ograncizeniem?
Bo tamten zapis jest źle zdefiniowany dla i=1

Wyżej pisałem, dlaczego nie mozesz mieś wyrazu szeregu równego nieskonczoności.
To, że mozesz napisać wzorek, ktory produkuje nieskonczoność, nie znaczy, że
generuje on szereg liczb rzeczywsitych;-)
Post by WM
Dobrze, by nieskończona wartość nie była na początku, a w nieskończoności.
To jest ten sam rodzaj niezrosumienia pojęcia ciagu/szeregu (aż się ksRobak przypomniał;-) ),
nie masz "wyrazów w neiskonczoności". Każdy wyraz ma indeks będący liczbą naturalną,
a wiec skoncxzoną liczbą.
Post by WM
Nie wiem czy taka konstrukcja z k>1 jest poprawna?
Szereg a(i)=1/(1-(i/k)^4)^4 ma nieskończony wyraz dla i=k.
Jego suma jest skończona dla i od 1 do k-1.
Jego suma jest nieskończona dla i od 1 do k.
Czy coś się zmieni, gdy k będzie rosło do nieskończoności?
No to policz granicę.

lim k->\inf 1/(1-(i/k)^4)^4 = 1/(1-(0)^4)^4 =1

Ciag jest stale rowny 1.

Każdy wyraz ciągu dąży do 1.

pzdr
bartekltg
J.F
2022-07-15 10:30:49 UTC
Permalink
Post by WM
Post by bartekltg
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Post by WM
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
1.
Taki ciąg może być rozbieżny, gdy wyrazów o wartości c jest
nieskończenie wiele.
Szereg, nie ciąg. Mniejsza z tym, w każdym bądź razie tutaj się zgadzam
Post by WM
2.
Ciąg może być zbieżny, gdy liczba wyrazów o wartości c jest skończona i
suma pozostałych wyrazów b(i)<c też jest skończona.
Jeżeli a(i) jest rozbieżny, liczba wyrazów o wartości c jest skończona, to
chyba b(i) też musi być rozbieżny.
Post by WM
WM
Nie dajesz ograniczenia na wyrazy szeregu a(n), więc teoretycznie tak
też może być.
Jeden wyraz szeregu a(n) jest nieskończony a suma pozostałych ma
skończoną wartość.
Nie. Każdy wyraz a(n) jest liczbą rzeczywistą, wiec jest skończony.
Każda liczba rzeczywista jest skończona (jak cehsz formalnie pokazywac,
pewnei najłatwiej wyciagnąć aksjomat Archimedesa), nieskończoności
na R nie występują.
pzdr
bartekltg
Dla i od 1 do ∞ , mamy nieskończoną sumę szeregu: a(i)=1/(i-1)^4 .
Po ograniczeniu pierwszego wyrazu do c mamy ten szereg skończony.
Pierwszy wyraz nie istnieje :-)
Post by WM
Dobrze, by nieskończona wartość nie była na początku, a w nieskończoności.
Nie wiem czy taka konstrukcja z k>1 jest poprawna?
Szereg a(i)=1/(1-(i/k)^4)^4 ma nieskończony wyraz dla i=k.
No i dlatego ten wyraz nie istnieje.
Post by WM
Jego suma jest skończona dla i od 1 do k-1.
Jego suma jest nieskończona dla i od 1 do k.
Czy coś się zmieni, gdy k będzie rosło do nieskończoności?
pomysl o czym bardziej delikatnym
np 1/(n*sin(n)).

na potrzeby szeregu to moze 1/(n^2*sin(n))


J.
bartekltg
2022-07-15 14:08:26 UTC
Permalink
Post by J.F
pomysl o czym bardziej delikatnym
np 1/(n*sin(n)).
A jak brzmi pytanie.

1/(n*sin(n)) nie jest szeregiem zbieżnym, bo ciag 1/(n*sin(n)) nie zbiega do 0.

Twierdzenie Dirichleta o aproksymacji:

dla każdej niewymiernej alfa, dla każdego N znajdę taką pare liczb naturalnych p,q gdzie q <=N,
ze
|q alfa - p | < 1/N
Jak już mam p i q, mogę to poprawić, biorąc N=q i te same p i q


Weżmy alfa = 2pi

|q 2pi - p | < 1/N

Czyli dla każdego N mogę znaleźć p<N, takie, że |sin(p)| < 1/N
Dowod:
sin(p) = sin(p - q 2pi ) = sin(x)
najpierw z okresowości, potem oznaczam x = q 2pi - p..
Oczywiście, skoro -1/N <x < 1/N, to (skor 1/N małe)
-1/N < sin(x) < 1/N
albo |sin(x)|<1/N

Co wiecej, możemy znaleść nieskończony ciąg takich par N_i, p_i:
Niech N,p,q będzie poprzednio znalezionym zestawem spełniającym
|q 2pi - p | < 1/N

2pi jest niewymierne, wiec q 2pi - p =/=0

Mogę wiec zapytać Tw Dirichleta o N2 > 1/(q 2pi - p)
Weim, że istnieją indeksy p2 q2 < N2 spełniające |q2 2pi - p2|<1/N2,
i na pewno nie są to te same indeksy, co poprzednio, bo
N2 > 1/(q 2pi - p) ozancza, że (q 2pi - p)>1/N2.

Mam więc nieskończony ciąg indeksów p_i, N_i, dla ktorych
|sin(p)|<1/N
czyli
1/|sin(p)| > N
1/|sin(p)| > N
1/sin(p)p > N/p
Ponieważ q<N,
|1/sin(p)p| > N/p > q/p. a q/p -> 1/(2pi).

Mamy nieskończoną liczbę indeksów, dla ktorej nasz ciąg jest oddzielony od 0. Nie ma zbieżności
ciagu, szereg nie moze mieć granicy.
Post by J.F
na potrzeby szeregu to moze 1/(n^2*sin(n))
To ejst trudniejsze. Spodziewamy się zbieżności. Ale to tego trzeba mieć oszacowanie
w drugą stronę. Jak bardzo _źle_ pi jest aproksymowana przez lczby wymierne.

Coś, co nam powie, że |q pi - p | > jakaś_funkcja(q).

Maksymalne n, dla ktorego
|pi - p/q | < c/q^n
zachodzi dla nieskonczenie wielu (p,q) nazywamy stopniem niewymierności.

I, dla pi... nie bardzo wiemy, ile to jest. Górne ograniczenie to n=7.103...

To oznacza, że | pi - p/q | > c/q^7.2
jest spełnione dla skończenie wiele p,q
więc też na wiemy, że ciąg
1/(n^8.2 sin(n)) na pewno jest zbieżny do 0 (i to 8.2 najprawdopodobniej da się poprawić,
ale nie wiemy do ilu).

Z tego, że ciąg zbiega do 0 nie wynika od razu, że szreg ejst zbieżny, ale to jest naprzemienne,
jakoś pewnie dałoby się rozmasować.

pzdr
bartekltg
J.F
2022-07-15 14:46:03 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by J.F
pomysl o czym bardziej delikatnym
np 1/(n*sin(n)).
A jak brzmi pytanie.
1/(n*sin(n)) nie jest szeregiem zbieżnym, bo ciag 1/(n*sin(n)) nie zbiega do 0.
Wiem, ale udowodnic trudniej :-)

a co z
1/(n^2*sin(n))

?

J.
bartekltg
2022-07-15 16:04:13 UTC
Permalink
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
pomysl o czym bardziej delikatnym
np 1/(n*sin(n)).
A jak brzmi pytanie.
1/(n*sin(n)) nie jest szeregiem zbieżnym, bo ciag 1/(n*sin(n)) nie zbiega do 0.
Wiem, ale udowodnic trudniej :-)
Masz jakaś awarię komputera, czytasz z 20 letniej komorki? Coś jest nie tak...

Przeiceż masz poniżej dowód!

IMHO dość ciekawy.
Post by J.F
a co z
1/(n^2*sin(n))
Też jest w poście!
J.F
2022-07-18 14:37:38 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
pomysl o czym bardziej delikatnym
np 1/(n*sin(n)).
A jak brzmi pytanie.
1/(n*sin(n)) nie jest szeregiem zbieżnym, bo ciag 1/(n*sin(n)) nie zbiega do 0.
Wiem, ale udowodnic trudniej :-)
Masz jakaś awarię komputera, czytasz z 20 letniej komorki? Coś jest nie tak...
Przeiceż masz poniżej dowód!
IMHO dość ciekawy.
Ponizej, ale zawsze dluzszy dowod :-)
Post by bartekltg
Post by J.F
a co z
1/(n^2*sin(n))
Też jest w poście!
A to tam juz nie doczytalem.

P.S. Fascynuje mnie ten kwadrat na dwoch nitkach, podales rozwiazanie?
bo mi sie cos nie zgadza przy dwoch roznych podejsciach ...

J.
bartekltg
2022-07-18 15:35:19 UTC
Permalink
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
pomysl o czym bardziej delikatnym
np 1/(n*sin(n)).
A jak brzmi pytanie.
1/(n*sin(n)) nie jest szeregiem zbieżnym, bo ciag 1/(n*sin(n)) nie zbiega do 0.
Wiem, ale udowodnic trudniej :-)
Masz jakaś awarię komputera, czytasz z 20 letniej komorki? Coś jest nie tak...
Przeiceż masz poniżej dowód!
IMHO dość ciekawy.
Ponizej, ale zawsze dluzszy dowod :-)
Post by bartekltg
Post by J.F
a co z
1/(n^2*sin(n))
Też jest w poście!
A to tam juz nie doczytalem.
P.S. Fascynuje mnie ten kwadrat na dwoch nitkach, podales rozwiazanie?
bo mi sie cos nie zgadza przy dwoch roznych podejsciach ...
No, raz masz wiąz "górny róg ma stałą pozycją" a za drugim razem "górny gor
ma stałą wysokość" - utrymywaną przez nitkę, ale umożliwia ruch na boki.

W tym drugim przypadku, przy danym spadku środka cieżkości, ta sama energia
potencjalna zmienia się raz na tylko energię kinetyczną ruchu pionowego
i ruchu obrotowego, a w przypadku całkkowiecei sztywnego więza dochodzi
do tego ruch w bok (i wszytkie sa powiazane kinemetycznie) - więc dla
każdej pozycji (opuszcenia) poszzcgolne prędkości sa mniejsze.


To IMHO najprostrze wyjaśnienie różnicy w wynikach.
Błąd we "wzorcowym" rozwiazaniu polegał po prostu na wzięciu wieza
mocniejszego niż wynika z zadania (co powinni zauważyć, że pojawił im
się poziomy pęd płyty bez poziomej siły ;-) ).
IMHO wzięło się to z geto, że to samo zadanie w wersji dla pręta można
daje poprawny wynik przy takim założeniu, po prostu przepisali metodę
dla płyty.
Ze nicego nie pominąłem mam sprawdzone lagrangianem. Tzn
ja go wypisałem, przez obliczenia przebiła się mathematica;-)
Równanie wychodzą te same (no i daje się dodać realistyczną,
a nie neiskonczenie dlugą nitkę).


Walnąłem eksperyment (ku "uciesze" zony, że z drążka w przedpokoju zwisa
płyta plexi ;-)) i wyniki potwierdzają moją wersję (działa wg modelu z jedynie
pionowym więzem) ale przydałaby się szybsza kamera.

Ale na dokonczenie i walniecie tego w posta jakoś czasu ani motywacji
nie mialem, a to, że najpewniej nikt tych wzorków nie będzie czytał nie pomaga ;p


pzdr
bartekltg
J.F
2022-07-18 15:55:24 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by J.F
P.S. Fascynuje mnie ten kwadrat na dwoch nitkach, podales rozwiazanie?
bo mi sie cos nie zgadza przy dwoch roznych podejsciach ...
No, raz masz wiąz "górny róg ma stałą pozycją" a za drugim razem "górny gor
ma stałą wysokość" - utrymywaną przez nitkę, ale umożliwia ruch na boki.
W tym drugim przypadku, przy danym spadku środka cieżkości, ta sama energia
potencjalna zmienia się raz na tylko energię kinetyczną ruchu pionowego
i ruchu obrotowego, a w przypadku całkkowiecei sztywnego więza dochodzi
do tego ruch w bok (i wszytkie sa powiazane kinemetycznie) - więc dla
każdej pozycji (opuszcenia) poszzcgolne prędkości sa mniejsze.
No tak, ale "w chwili przeciecia" to IMO nie ma to wiekszego
znaczenia, bo skladowych poziomych jeszcze nie ma.
Post by bartekltg
To IMHO najprostrze wyjaśnienie różnicy w wynikach.
Błąd we "wzorcowym" rozwiazaniu polegał po prostu na wzięciu wieza
mocniejszego niż wynika z zadania (co powinni zauważyć, że pojawił im
się poziomy pęd płyty bez poziomej siły ;-) ).
Tylko ja zaczalem analizowac, ze plytka opada i jednoczesnie sie
obraca z takim przyspieszeniem kątowym, ze gorny róg zachowuje
wysokosc.
To jeszcze inny przypadek, czy ktorys z powyzszych?

I cos mi sie tu nie zgadzało, bo przeciez ich analiza tez jest w miare
prawidlowa, przynajmniej w pierwszej chwili.

Jak tu zrobic film w szybkim tempie ? :-)
Post by bartekltg
IMHO wzięło się to z geto, że to samo zadanie w wersji dla pręta można
daje poprawny wynik przy takim założeniu, po prostu przepisali metodę
dla płyty.
ale przeciez w precie jest ten sam problem?
Post by bartekltg
Ze nicego nie pominąłem mam sprawdzone lagrangianem. Tzn
ja go wypisałem, przez obliczenia przebiła się mathematica;-)
Równanie wychodzą te same (no i daje się dodać realistyczną,
a nie neiskonczenie dlugą nitkę).
Walnąłem eksperyment (ku "uciesze" zony, że z drążka w przedpokoju zwisa
płyta plexi ;-)) i wyniki potwierdzają moją wersję (działa wg modelu z jedynie
pionowym więzem) ale przydałaby się szybsza kamera.
Ale na dokonczenie i walniecie tego w posta jakoś czasu ani motywacji
nie mialem, a to, że najpewniej nikt tych wzorków nie będzie czytał nie pomaga ;p
J.
bartekltg
2022-07-18 18:53:16 UTC
Permalink
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
P.S. Fascynuje mnie ten kwadrat na dwoch nitkach, podales rozwiazanie?
bo mi sie cos nie zgadza przy dwoch roznych podejsciach ...
No, raz masz wiąz "górny róg ma stałą pozycją" a za drugim razem "górny gor
ma stałą wysokość" - utrymywaną przez nitkę, ale umożliwia ruch na boki.
W tym drugim przypadku, przy danym spadku środka cieżkości, ta sama energia
potencjalna zmienia się raz na tylko energię kinetyczną ruchu pionowego
i ruchu obrotowego, a w przypadku całkkowiecei sztywnego więza dochodzi
do tego ruch w bok (i wszytkie sa powiazane kinemetycznie) - więc dla
każdej pozycji (opuszcenia) poszzcgolne prędkości sa mniejsze.
No tak, ale "w chwili przeciecia" to IMO nie ma to wiekszego
znaczenia, bo skladowych poziomych jeszcze nie ma.
I tu się bardzo mylisz. W przypadku zafiksowania roku w obu wymiarach,
składowe pozioma i pionowa prędkosci środka amsy sa... _równe_!

Pogrub na rysunku kreskę miedzy punkrem zaczepienia(obrotu)
a środkeim masy. teraz zacznij ją obracać. Jak skierowana jest styczna?
niezbyt pionowo.
Post by J.F
Post by bartekltg
To IMHO najprostrze wyjaśnienie różnicy w wynikach.
Błąd we "wzorcowym" rozwiazaniu polegał po prostu na wzięciu wieza
mocniejszego niż wynika z zadania (co powinni zauważyć, że pojawił im
się poziomy pęd płyty bez poziomej siły ;-) ).
Tylko ja zaczalem analizowac, ze plytka opada i jednoczesnie sie
obraca z takim przyspieszeniem kątowym, ze gorny róg zachowuje
wysokosc.
To jeszcze inny przypadek, czy ktorys z powyzszych?
Pytanie, co robisz z wymiarem poziomym.
Tu jest rozróżnienie.
Post by J.F
I cos mi sie tu nie zgadzało, bo przeciez ich analiza tez jest w miare
prawidlowa, przynajmniej w pierwszej chwili.
No nie jest, skoro (na poczatku) w ejdnoakowym tempie nabierają
pędu w dół i w bok, a nie maja siły w bok.

Masz wiezy kinematyczne? No masz powiazanie obu prędkości.
v_y = Cos(alfa) ωr
v_x = Sin(alfa) ω r (ω to predkość kątowa, r to odlegosc punktu zaczepienia
od srodka ciezkosci. zgadza się?)
A w chwili 0 alfa = pi/4
Post by J.F
Jak tu zrobic film w szybkim tempie ? :-)
Dla duzej płyty (metr na 50cm) i zwykłej kamerki z aparatu (30fps) widać
było wystarczająco, by rozróżnić przypadki.
Post by J.F
Post by bartekltg
IMHO wzięło się to z geto, że to samo zadanie w wersji dla pręta można
daje poprawny wynik przy takim założeniu, po prostu przepisali metodę
dla płyty.
ale przeciez w precie jest ten sam problem?
Niby tak, ale wyniki się pokrywają. W początkowej fazie ruchu z nitką
(jedynie poziomy wiąz) koniec pręta bedzie siedział w miesjcu.
Mówiąc o tym w jezyku z poprzedniego akapitu,
alfa w chwili 0 dla pręta jest 0, więc calość energii i tak idzie na ruch obrototy
(liczony zględem srodka masy) i ruch w dol.


bartekltg
J.F
2022-07-21 19:27:37 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
P.S. Fascynuje mnie ten kwadrat na dwoch nitkach, podales rozwiazanie?
bo mi sie cos nie zgadza przy dwoch roznych podejsciach ...
No, raz masz wiąz "górny róg ma stałą pozycją" a za drugim razem "górny gor
ma stałą wysokość" - utrymywaną przez nitkę, ale umożliwia ruch na boki.
W tym drugim przypadku, przy danym spadku środka cieżkości, ta sama energia
potencjalna zmienia się raz na tylko energię kinetyczną ruchu pionowego
i ruchu obrotowego, a w przypadku całkkowiecei sztywnego więza dochodzi
do tego ruch w bok (i wszytkie sa powiazane kinemetycznie) - więc dla
każdej pozycji (opuszcenia) poszzcgolne prędkości sa mniejsze.
No tak, ale "w chwili przeciecia" to IMO nie ma to wiekszego
znaczenia, bo skladowych poziomych jeszcze nie ma.
I tu się bardzo mylisz. W przypadku zafiksowania roku w obu wymiarach,
składowe pozioma i pionowa prędkosci środka amsy sa... _równe_!
Pogrub na rysunku kreskę miedzy punkrem zaczepienia(obrotu)
a środkeim masy. teraz zacznij ją obracać. Jak skierowana jest styczna?
niezbyt pionowo.
No fakt. Tak jakby pret byl zawieszony pod katem 45 stopni.

Niby trywialny wniosek, ale pomylic sie łatwo.

Tak sie jeszcze zastanawiam z czego to wynika przy analizie sil, bo
energie i predkosci to wtorna sprawa.
Rozklad ciezaru na składową promieniową i obwodową?
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
To IMHO najprostrze wyjaśnienie różnicy w wynikach.
Błąd we "wzorcowym" rozwiazaniu polegał po prostu na wzięciu wieza
mocniejszego niż wynika z zadania (co powinni zauważyć, że pojawił im
się poziomy pęd płyty bez poziomej siły ;-) ).
Tylko ja zaczalem analizowac, ze plytka opada i jednoczesnie sie
obraca z takim przyspieszeniem kątowym, ze gorny róg zachowuje
wysokosc.
To jeszcze inny przypadek, czy ktorys z powyzszych?
Pytanie, co robisz z wymiarem poziomym.
Tu jest rozróżnienie.
Nic, czyli chyba swobodny.

Bo liczylem tak:
bok kwadratu wynosi b, I=mb^2/6

Niech siła naciagu nitki wynosi F.
wtedy

1. przyspieszenie srodka ciezkosci
a=(mg-F)/m = g-F/m

2. niezbedne przyspieszenie kątowe e wzgledem srodka masy,
aby róg zachował wysokosc
e*b/2 = a

3. obroty wynikaja z momentu sily F
I*e = F*b/2
mb^2/6*e=F*b/2
e=3*F/(mb)

podstawiam do 2
e*b/2 = 3/2 * F/m = a

podstawiam do 1
3/2*F/m = g-F/m

5/2*F/m = g

F = 2/5*m*g

czyli 40% ciezaru naciaga nitke zaraz po przecieciu.

Tak ci wyszlo, czy źle sie do tego zabrałem?
Post by bartekltg
Post by J.F
Jak tu zrobic film w szybkim tempie ? :-)
Dla duzej płyty (metr na 50cm) i zwykłej kamerki z aparatu (30fps) widać
było wystarczająco, by rozróżnić przypadki.
Post by J.F
Post by bartekltg
IMHO wzięło się to z geto, że to samo zadanie w wersji dla pręta można
daje poprawny wynik przy takim założeniu, po prostu przepisali metodę
dla płyty.
ale przeciez w precie jest ten sam problem?
Niby tak, ale wyniki się pokrywają. W początkowej fazie ruchu z nitką
(jedynie poziomy wiąz) koniec pręta bedzie siedział w miesjcu.
Mówiąc o tym w jezyku z poprzedniego akapitu,
alfa w chwili 0 dla pręta jest 0, więc calość energii i tak idzie na ruch obrototy
(liczony zględem srodka masy) i ruch w dol.
J.

J.F
2022-07-12 20:45:27 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Mysle, mysle, i tak mi wychodzi, ze trzeba sie spytac ile razy ciagu
b(n) wystepuje wartosc c.
Jesli nieskonczoną - to szereg jest rozbiezny.
Jesli skonczoną - to istnieje takie m, ze dla n>=m, b(n)=a(m) ...
i szereg nadal jest rozbiezzny ...

J.
bartekltg
2022-07-14 18:44:19 UTC
Permalink
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Najłatwiej chyba rozbić na przypadki, w zaleznośći, co robi a(n) jako ciąg.

Jeśli a(n) -> 0 (jako ciąg), (co jest warunkiem koniecznym do zbieżnośći szeregu a(n))
to od pewnego momentu a(n)<c, więcod pewnego miejsc b(n)=a(n), więc
zbieżność obu jest ta sama.

Druga cześć to właściwie foramlność, bo ciąg jest bardzo niezbieżny
i jego obcięcie do c niewiele tu da.
Jeśli "nieprawda, że a(n) -> 0", to oznacza, że istnieje takie epsylon>0, że
dla nieskończenie wielu k, a(ki)>epsylon.
Dla tych samych idnekwód ki mamy więc b(n)>epsylon2, gdzie epsylon2=min(epsylon, c)>0
W dodatnim szeregu nieskonczenei wiele elementów większych niż jakas stała daje nam rozbieżność.

pzdz
bartekltg
J.F
2022-07-15 12:06:57 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Najłatwiej chyba rozbić na przypadki, w zaleznośći, co robi a(n) jako ciąg.
Jeśli a(n) -> 0 (jako ciąg), (co jest warunkiem koniecznym do zbieżnośći szeregu a(n))
to od pewnego momentu a(n)<c, więcod pewnego miejsc b(n)=a(n), więc
zbieżność obu jest ta sama.
Prawie mnie przekonales, ale ... szereg a(n) jest rozbiezny.
czyli co - wnioskujemy dalej?

Jesli ciag a(n) jest zbiezny do zera, ale szereg rozbiezny,
to i szereg b(n) jest rozbiezny.

Jesli ciag a(n) nie jest zbiezny do zera ... to szereg na pewno jest
rozbiezny, ale ciag b(n) ... no, raczej tez niezbiezny do zera.
Wiec i szereg rozbiezny ...

J.
bartekltg
2022-07-15 13:10:56 UTC
Permalink
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Najłatwiej chyba rozbić na przypadki, w zaleznośći, co robi a(n) jako ciąg.
Jeśli a(n) -> 0 (jako ciąg), (co jest warunkiem koniecznym do zbieżnośći szeregu a(n))
to od pewnego momentu a(n)<c, więcod pewnego miejsc b(n)=a(n), więc
zbieżność obu jest ta sama.
Prawie mnie przekonales, ale ... szereg a(n) jest rozbiezny.
Dlaczego prawie?
Post by J.F
Jesli ciag a(n) nie jest zbiezny do zera ... to szereg na pewno jest
rozbiezny, ale ciag b(n) ... no, raczej tez niezbiezny do zera.
Wiec i szereg rozbiezny ...
Chyba musisz przeczytać ten fragment dowodu raz jeszcze:)
Wprost masz wypicane, na co patrzeć, aby uzyskać nieskończoną sumę:
na indeksy k_i, ktore wypadają nam z zaprzeczenia zbieżności ciągu a(n) do 0.



pzdr
bartekltg
J.F
2022-07-15 14:02:46 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Najłatwiej chyba rozbić na przypadki, w zaleznośći, co robi a(n) jako ciąg.
Jeśli a(n) -> 0 (jako ciąg), (co jest warunkiem koniecznym do zbieżnośći szeregu a(n))
to od pewnego momentu a(n)<c, więcod pewnego miejsc b(n)=a(n), więc
zbieżność obu jest ta sama.
Prawie mnie przekonales, ale ... szereg a(n) jest rozbiezny.
Dlaczego prawie?
Brzmi lepiej niz moje dywagacje, ale tak jakos na pierwszy rzut oka
nie jestem calkowicie przekonany. Moze jakis specyficzny ciag sie
wymyka.
Choc faktycznie definicja zbieznosci ciagu w miare prosta.
Post by bartekltg
Post by J.F
Jesli ciag a(n) nie jest zbiezny do zera ... to szereg na pewno jest
rozbiezny, ale ciag b(n) ... no, raczej tez niezbiezny do zera.
Wiec i szereg rozbiezny ...
Chyba musisz przeczytać ten fragment dowodu raz jeszcze:)
na indeksy k_i, ktore wypadają nam z zaprzeczenia zbieżności ciągu a(n) do 0.
No ale szereg a(n) jest rozbiezny. Wiec nie wiadomo, czy ciag a(n)
jest zbiezny do zera.
A wypadające elementy zastepujemy mniejszymi.
To teraz wypadaloby udowodnic, ze ten nowy ciag nie jest zbiezny do
zera.
W sumie to raczej prosto ...

J.
bartekltg
2022-07-15 14:14:48 UTC
Permalink
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Najłatwiej chyba rozbić na przypadki, w zaleznośći, co robi a(n) jako ciąg.
Jeśli a(n) -> 0 (jako ciąg), (co jest warunkiem koniecznym do zbieżnośći szeregu a(n))
to od pewnego momentu a(n)<c, więcod pewnego miejsc b(n)=a(n), więc
zbieżność obu jest ta sama.
Prawie mnie przekonales, ale ... szereg a(n) jest rozbiezny.
Dlaczego prawie?
Brzmi lepiej niz moje dywagacje, ale tak jakos na pierwszy rzut oka
nie jestem calkowicie przekonany.
Bez mamrotania. Ktory krok wydaje się nieścisły, to podkręcę scisłośc.
Post by J.F
Choc faktycznie definicja zbieznosci ciagu w miare prosta.
Post by bartekltg
Post by J.F
Jesli ciag a(n) nie jest zbiezny do zera ... to szereg na pewno jest
rozbiezny, ale ciag b(n) ... no, raczej tez niezbiezny do zera.
Wiec i szereg rozbiezny ...
Chyba musisz przeczytać ten fragment dowodu raz jeszcze:)
na indeksy k_i, ktore wypadają nam z zaprzeczenia zbieżności ciągu a(n) do 0.
No ale szereg a(n) jest rozbiezny. Wiec nie wiadomo, czy ciag a(n)
jest zbiezny do zera.
A wypadające elementy zastepujemy mniejszymi.
Niekoniecznie mniejszymi. Ale nie to ejst istotne. Mam nieskońcozną
liczbę wyrazów, z ktorych każdy jest większy niż pewna stała wartość
(być może c, być może coś mniejszego).
Nie ważne jak mały jest ta stała, ponieważ jest niezerowa, jeśli bedę
ją dodawał i dodawał w dowolnie wiele razy, mam nieskonczoność.


Dlaczego jest ich nieskończona liczba? Bo jakby nie było takiego
epsulona, że nieskoćczona liczba wyrazów trzyma sie dalej
niz na epsylon od zera, to ciag byłby zbieżny do 0.
Post by J.F
To teraz wypadaloby udowodnic, ze ten nowy ciag nie jest zbiezny do
zera.
Tak, dowód dokładnie tego jest w tamtym poście (i akapit wyzej ejst skrotowo
powrtorzony)

pzdr
bartekltg
J.F
2022-07-15 14:43:55 UTC
Permalink
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by J.F
Post by bartekltg
Post by Stachu Chebel
Szereg Suma((n=1..oo),a(n)) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.
Co można powiedzieć o zbieżności szeregu Suma((n=1..oo),b(n)),
gdzie b(n)=min{a(n),c}, gdzie c>0 ?
Jak elegancko przeprowadzić analizę tego tematu? Kryterium porównawcze?
Od razu widać, że b(n)<=a(n) i b(n)<=c. I co dalej? Jakaś podpowiedź?
Najłatwiej chyba rozbić na przypadki, w zaleznośći, co robi a(n) jako ciąg.
Jeśli a(n) -> 0 (jako ciąg), (co jest warunkiem koniecznym do zbieżnośći szeregu a(n))
to od pewnego momentu a(n)<c, więcod pewnego miejsc b(n)=a(n), więc
zbieżność obu jest ta sama.
Prawie mnie przekonales, ale ... szereg a(n) jest rozbiezny.
Dlaczego prawie?
Brzmi lepiej niz moje dywagacje, ale tak jakos na pierwszy rzut oka
nie jestem calkowicie przekonany.
Bez mamrotania. Ktory krok wydaje się nieścisły, to podkręcę scisłośc.
Nie, tu chodzi o moje wrazenia
Post by bartekltg
Post by J.F
Choc faktycznie definicja zbieznosci ciagu w miare prosta.
Post by bartekltg
Post by J.F
Jesli ciag a(n) nie jest zbiezny do zera ... to szereg na pewno jest
rozbiezny, ale ciag b(n) ... no, raczej tez niezbiezny do zera.
Wiec i szereg rozbiezny ...
Chyba musisz przeczytać ten fragment dowodu raz jeszcze:)
na indeksy k_i, ktore wypadają nam z zaprzeczenia zbieżności ciągu a(n) do 0.
No ale szereg a(n) jest rozbiezny. Wiec nie wiadomo, czy ciag a(n)
jest zbiezny do zera.
A wypadające elementy zastepujemy mniejszymi.
Niekoniecznie mniejszymi.
Koniecznie, a przynajmniej nie wiekszymi. Takie zadanie.
A ze przy rownych nie zmieniamy wartosci, to w zasadzie nie wypadają
:-)
Post by bartekltg
Ale nie to ejst istotne. Mam nieskońcozną
liczbę wyrazów, z ktorych każdy jest większy niż pewna stała wartość
(być może c, być może coś mniejszego).
Nie ważne jak mały jest ta stała, ponieważ jest niezerowa, jeśli bedę
ją dodawał i dodawał w dowolnie wiele razy, mam nieskonczoność.
Ale to brzmi juz tak, jak moje dywagacje :-)

Jesli a_n zawiera nieskoncznie duzo wyrazow wiekszych od c, to szereg
b_n jest rozbiezny.

Jesli a_n zawiera skonczenie duzo wyrazow wiekszych od c,
to zbieznosc szeregu b_n jest taka sama jak szeregu a_n,
a szereg a_n jest rozbiezny :-)
Post by bartekltg
Dlaczego jest ich nieskończona liczba? Bo jakby nie było takiego
epsulona, że nieskoćczona liczba wyrazów trzyma sie dalej
niz na epsylon od zera, to ciag byłby zbieżny do 0.
ale ciag moze byc zbiezny do zera, a szereg z niego nie.

J.
Kontynuuj czytanie narkive:
Loading...