zakucie mi nie wystarcza - macierz zmiany bazy / teoretycznie

[emen]

W zasadzie problem jest dość podstawowy (I rok, sem 1 GAL, mat. na UW), a ja
się bronię w poniedziałek (21 06). Wkurzony jestem, że nie rozumiem tego,
mimo, że pojmuję o wiele trudniejsze rzeczy. Proszę uprzejmie o wyrozumiałe
wskazanie błędu w moim rozumowaniu:

Mamy dwie bazy w tej samej przestrzeni: a oraz b oraz odpowiednie 2
przekształcenia A zadane w bazie a oraz B jako odpowiednik A ale w bazie b.
Mamy też M jako macież przejścia pomiędzy bazami a i b. Dla uproszczenia
zakładamy że a(i)=e(i) - baza kanoniczna. Zatem jeśli dobrze rozumiem w
macierzy przejścia w kolumnach będą stały odpowiednio obrazy wektorów bazowych
a:

M = [b(1)...b(n)] (czyli Ma(i) = b(i)).

Zatem aby uzyskać dpowiednik wektora v w bazie a robię następującą rzecz:

u = (M^-1)v (u z lin(a(i)), v z lin(b(i))).

Teraz mając ten odpowiednik mogę zadziałać na niego macieżą przekształcenia A:

Au = A(M^-1)v

następnie mogę przenieść te wartość spowrotem do przestrzeni lin(b(i)):

MAu = MA(M^-1)v

jednocześnie wiem, że:

Bv = MAu

zatem:

Bv = MA(M^-1)v , czyli B = MA(M^-1)

ale ten wzór się nie zgadza, bo według wykładów i książek jest:

B = (M^-1)AM

Gdzie w takim razie popełniłem błąd?

Dręczy mnie to i mimo, że mógłbym zapamiętać/zakuć, jak jest, to wolę
zrozumieć ;)

Pozdrawiam
emen

[Pawel Gladki]

Witam!

Post by emen
Mamy dwie bazy w tej samej przestrzeni: a oraz b oraz odpowiednie 2
przekształcenia A zadane w bazie a oraz B jako odpowiednik A ale w bazie b.
Mamy też M jako macież przejścia pomiędzy bazami a i b.

Wiem, iż zwracać uwagę na błędy ortograficzne jest z gruntu
rzeczy nieelegancko, ale - ludzie! opamiętajcie się! To już
trzeci post w tym tygodniu, gdy ktoś pisze macierz przez "z"
z kropką!...

Post by emen
Dla uproszczenia
zakładamy że a(i)=e(i) - baza kanoniczna. Zatem jeśli dobrze rozumiem w
macierzy przejścia w kolumnach będą stały odpowiednio obrazy wektorów bazowych
M = [b(1)...b(n)] (czyli Ma(i) = b(i)).
u = (M^-1)v (u z lin(a(i)), v z lin(b(i))).

Tu jest błąd. Odpowiednik wektora v z bazy b w bazie a to
będzie wektor u taki, że:

u = Mv

Wygodnie jest patrzeć na macierz przejścia od bazy a do bazy
b jak na macierz identyczności w bazach b i a (nie na odwrót!).

Pozdrawiam

Paweł Gładki

[emen]

Post by Pawel Gladki

Post by emen
Mamy dwie bazy w tej samej przestrzeni: a oraz b oraz odpowiednie 2
przekształcenia A zadane w bazie a oraz B jako odpowiednik A ale w bazie b.
Mamy też M jako macież przejścia pomiędzy bazami a i b.

Wiem, iż zwracać uwagę na błędy ortograficzne jest z gruntu
rzeczy nieelegancko, ale - ludzie! opamiętajcie się! To już
trzeci post w tym tygodniu, gdy ktoś pisze macierz przez "z"
z kropką!...

Wiem, że nawet ośmioletnia przerwa od nauki języka ojczystego mnie nie
tłumaczy, zatem uniżenie proszę o wybaczenie skalania oczu grupowiczów ortem
;)

Post by Pawel Gladki

Post by emen
Dla uproszczenia
zakładamy że a(i)=e(i) - baza kanoniczna. Zatem jeśli dobrze rozumiem w
macierzy przejścia w kolumnach będą stały odpowiednio obrazy wektorów bazowych
M = [b(1)...b(n)] (czyli Ma(i) = b(i)).
u = (M^-1)v (u z lin(a(i)), v z lin(b(i))).

Tu jest błąd. Odpowiednik wektora v z bazy b w bazie a to
u = Mv
Wygodnie jest patrzeć na macierz przejścia od bazy a do bazy
b jak na macierz identyczności w bazach b i a (nie na odwrót!).

Prosiłbym o rozwinięcie w miarę możliwości. Po pierwsze nie rozumiem czemu M
mamy ttraktować jak identyczność skoro przekształca jedną bazę w drugą
(czyli coś zmienia, więc nie pozostawia bez zmian jak Id). Po drugie

Post by Pawel Gladki

Post by emen
Dla uproszczenia
zakładamy że a(i)=e(i) - baza kanoniczna. Zatem jeśli dobrze rozumiem w
macierzy przejścia w kolumnach będą stały odpowiednio obrazy wektorów bazowych
M = [b(1)...b(n)] (czyli Ma(i) = b(i)).

bo jeśli:

M: lin(a(i)) -> lin(b(i))

to rozumiem że M działa na element lin(a(i)) i dostajemy element z
lin(b(i)).

Według Twojej sugestii prawdą jest M: lin(a(i)) -> lin(b(i)) a zaem w
macierz M powinna mieć postać:

M = [a(1)...a(n)] (czyli Mb(i) = a(i))

Przy takich warunkach potrafię to sobie wyobrazić.

Jeśli jednak zachodzi:

u = Mv

i:

M: lin(a(i)) -> lin(b(i))

oraz:

M = [b(1)...b(n)] (czyli Ma(i) = b(i))
( uczono mnie, że w kolumnach macierzy przekształcenia stoją obrazy wektorów
bazowych z przestrzeni z której wychodzimy w przestrzeni do której
trafiamy )

to kompletnie nie rozumiem.

Z góry dziękuję.

pozdrawiam
emen

[emen]

SPROSTOWANIE!

Post by emen
Według Twojej sugestii prawdą jest M: lin(a(i)) -> lin(b(i)) a zaem w

Powinno być:

[...]
Według Twojej sugestii prawdą jest M: lin(b(i)) -> lin(a(i)) a zatem
macierz M powinna mieć postać:
[...]

Sorki za zamieszanie.

emen

[Michal Przybylek]

Post by emen

Post by Pawel Gladki
Wygodnie jest patrzeć na macierz przejścia od bazy a do bazy
b jak na macierz identyczności w bazach b i a (nie na odwrót!).

Prosiłbym o rozwinięcie w miarę możliwości. Po pierwsze nie rozumiem czemu
M mamy ttraktować jak identyczność skoro przekształca jedną bazę w drugą
(czyli coś zmienia, więc nie pozostawia bez zmian jak Id).

Nie M masz traktowac jak identycznosc, a przeksztalcenie jakie jest zapisane
w M jako przeksztalcenie identycznosciowe.


Spojrz na to w ten sposob - masz dane przeksztalcenie liniowe f:A->B. Jak
wiesz, dowolna funkcja zadana na bazach rozszerza sie w sposob jednoznaczny
do przeksztalcenia liniowego. Zatem przy ustalonej bazie w A, wystarczy, ze
bedziesz znal wartosci jakie f przyjmuje na jej wektorach. Wartosci
przyjmowane na tych wektorach, sa z przestrzeni B. Kazdy wektor z dowolnej
przestrzeni rozpisuje sie jednoznacznie w bazie. Najprostsze, wiec, podanie
wartosci f na jakims wektorze, bedzie podaniem wspolrzednych tego wektora
przy przeksztalceniu f, w dowolnej ustalonej bazie w B.

Czyli, inaczej mowiac, istnieje jednoznaczna odpowiedniosc pomiedzy
przeksztalceniem liniowym f a trojka upozadkowana <a, b, M>, gdzie a jest
baza A, b jest baza B, a M - macierza z zapisanymi w pewien ustalony sposob
w bazie b wspolrzednymi wektorow z bazy a po zaaplikowaniu f. Okazuje sie,
jednak, ze jezeli dodatkowo postaramy sie o to, aby te wektory zapisac w M
madrze, to skladanie przeksztalcen bedzie moglo odpowiadac mnozeniu
macierzy. To daje takze, ze aplikacja przeksztalcenia bedzie odpowiadac
przemnozeniu macierzy przez wektor kolumnowy skladajacy sie ze wspolrzednych
z bazy zrodlowej (o dowolnej wartosci z ustalonego zbioru X, mozna pomyslec
jak o funkcji ze zbioru jednoelementowego w X, wtedy zlozenie z taka
funkcja, bedzie po prostu rownowazne aplikacji). [Formalne dowody znajdziesz
w dowolnej ksiazce z algebry liniowej.]


Teraz jaki jest Twoj problem ? Masz przeksztalcenie f:A->B. Oczywiscie:

f = id_B o f o id_A

wiec:

M_a_b(f) = M_a_b(id_B o f o id_A)

Ale, skoro, skladaniu przeksztalcen ma odpowiadac mnozenie macierzy, masz
tez:

M_a_b(f) = M_d_b(id_B) * M_c_d(f) * M_a_c(id_A)

Jak widzisz, jezeli teraz odzyskasz z M_a_b(f) i z M_c_d(f) przeksztalcenia
(w roznych bazach!) to przeksztalcenia te beda sobie rowne. Identycznosci
zmieniaja tylko sposob zapisu przeksztalcenia, nie samo przeksztalcenie.


Mozesz pomyslec o tym jeszcze inaczej - zmiana wspolrzednych zmienia "punkt
obserwacji przeksztalcenia". To, ze obserwator sie przemieszcza z jednego
miejsca na inne, nie oznacza, ze zmienia sie samo przeksztalcenie. Podobnie
np. kiedy obserwujesz rowerzyste z jadacego pociagu, to porusza sie on
wzgledem Ciebie z inn predkoscia niz wtedy, kiedy pociag stoi. A przecierz
nie oznacza to bynajmniej, ze sam rowerzysta porusza sie inaczej!


mp

[Tomasz]

Post by emen
Mamy dwie bazy w tej samej przestrzeni: a oraz b oraz odpowiednie 2
przekształcenia A zadane w bazie a oraz B jako odpowiednik A ale w bazie b.
Mamy też M jako macież przejścia pomiędzy bazami a i b. Dla uproszczenia
zakładamy że a(i)=e(i) - baza kanoniczna. Zatem jeśli dobrze rozumiem w
macierzy przejścia w kolumnach będą stały odpowiednio obrazy wektorów bazowych
M = [b(1)...b(n)] (czyli Ma(i) = b(i)).

Rozumiem, że masz _jedno_ przekstzałcenie, któremu odpowiadają
w różnych bazach różne macierze.

Post by emen
u = (M^-1)v (u z lin(a(i)), v z lin(b(i))).

Masz wektor v = sum(v(i)b(i)), u = sum(u(i)a(i)), ale przecież v = u.
Zatem

u = v = sum(v(i) b(i)) = sum(v(i) Ma(i)) = sum(M v(i)e(i))

i dlatego możemy napisać skrótowo u = Mv (ale tutaj wsółczynniki
v(i) traktujemy względem bazy kanonicznej, jak zwykle przy zapisie Mx).

M jest macierzą przekształcenia f(a(j)) := b(j) w bazie a, zatem jak
powiedziałeś, j-ta kolumna jest wektorem współrzędnych w bazie a obrazu a(j)
(poprzez f). Czyli także obrazu b(j) poprzez identyczność, zatem M jest
macierzą przksztłcenia identycznościowego w bazach b i a.


Pozdrawiam
Tomek