Post by Marcin LachowiczPost by KeiichiWybaczcie za pytanie bo nie siedze za bardzo w temacie.
Jakie jest pole powierzchni fraktala, dajmy na to "trojkata
Sierpinskiego"? Zakladając że rysujemy go na powierzhni 1 jednostki
kwadratowej. Czy da sie w ogole wyznaczyc takie pole?
hmm... autorytetem nie jestem, ale wydaje mi się, że w wypadku "trójkąta
Sierpińskiego" Pp wynosi zero... :P
Da się to udowodnić dla wszystkich fraktali afinicznych, czyli takich,
które można utworzyć poprzez (nieskończone) przekszrtałcanie obrazu
- w n-tym kroku mamy pewin obraz. Obraz n+1 powstaje poprzez kilka
wklejonych na pustą poweierzchnie przekształconych obrazów n (stąd
afiniczne)
(trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego, płatka Kocha, zbiór Cantora,
labirynt Cantora, paprotka,drzewko etc. )
Dany fraktal nie zmienia się po wykonniu takiego przekształcenia
(np trójkąt S. mozna traktować jak te samr trzy trójkąty pomniejszone
dwukrotnie). Możemy w tedy mapisać, że S= a*S+b*S... Gdy 'wychodzi'
obraz, prawa strona jest mniejsza od lewej, stąd zS=0 <=> S=0.
(nie znam dowudu, że nie ma przypadku, takiego, że istnieje fraktal i z=0
;( )
Dla trujkąta S. mamy S=1/4S+1/4 S + 1/4 S; 1/4 S=0; S=0;
Inaczej to wygląda dla Fraktala Maldelbrota i zbiorów Julli.
F. Mal. To zbiór punktów na płaszczyźnie (zespolonmej, punkt oznaczmy p),
która spełniają pewien warunek. Ciąg x{n+1}=(x{n})^2+c nie jest rozbieżny
(ściślej, jego moduł nie jest rozbieżny), dla x{0}=0+0i, c=p.
Dla zbiorów Julii rekurencja wygląda tak samo, ale x{0}=p, a C jest
specjalnie
dobraną stałą zespoloną, od której zależy wygląd fraktala. W komputerach
używa się pewnych 'przybliżen'. Lizcy się kilkadziesiąt (40,60) pierwszych
wartości ciągu.Jeśli w którymś momencie |x| przekroczy pewną wartość
(często 2) traktuje się punkt jako ten, który ucieka do nieskończoności
(można udowodnić, że jest to ścisłe!), A 'moment ucieczki' - czyli numer
wyrazu ciągu - służy do odpowiedniego kolorowania części płaszczyzny
poza fraktalem. Jeżeli Ciąg nie okaże się rozbieżny do n-yego wyrazu
ciągu, traktuje się go jak nie rozbieżny. Im większe mamy powiększenie,
tym więcej iteracji jest potrzebnych, zeby na obraznie nie widać było
przybliżen.
Wracając do powierzchni: patrząc na f. Maldelbrota czy jakiś bardziej
spójny fr. Julii Możemy wyznaczyć bez problemu pewien obszar (sumę
obszarów) zawierających się w naszym obiekcie, a mających niezerową
powierzchnię. Najprosztrzym przypadkiem jest zbiór Julii dla C=0+0i.
Mamy w tedy x{n+1}=(x{n})^2, x{0}=p => x{n}=p^(2^n).
Widzimy, że dla |p|>1 ciąg jest rozbieżny, a dle |p|<=0 - nie.
Zbiorem julii dla c=0+0i jest okrąg o r=1. Ma więc powierzchnię P=pi.
Jest to najłatwiejszy przypadek, gdzie możemy policzyć pole.
Nie wiem, czy istnieje jakiś nietrywialny przykład gdzie pole =0.
podsumowując, fraktal to trochę za ogłone pojącie, by mówić, czy mają
niezerowe pole. Jedne mają, inne nie;)
pozdrawiam!
--
bartekltg