Rekurencja Fermata.

[Nemrod]

Taka ciekawostka.

Bierzemy dwie różne liczby x,y \in N.
Układamy rekurencję:

z_0 = y^0 + x^0 = 2
z_1 = y + x

A = y+x
B = -y*x

z_n = A*z_{n-1} + B*z_{n-2}

***

Można pokazać, że

z_n = y^n + x^n

np. przez indukcję. (Choć wyprowadziłem to inaczej :P )

***

Czyli np.:

x = 3
y = 4

z_0 = 2
z_1 = 7

A = 7
B = -12

z_2 = 7*7 - 12*2 = 25 = 3^2 + 4^2
z_3 = 7*25 - 12*7 = 91 = 3^3 + 4^3
... itd

Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?
Może nie, ale zawsze to jakaś rozrywka :)
--
Nemrod Vargardsson

Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.

[J.F]

Post by Nemrod
Taka ciekawostka.
Bierzemy dwie różne liczby x,y \in N.
z_0 = y^0 + x^0 = 2
z_1 = y + x
A = y+x
B = -y*x
z_n = A*z_{n-1} + B*z_{n-2}
***
Można pokazać, że
z_n = y^n + x^n
np. przez indukcję. (Choć wyprowadziłem to inaczej :P )
***
x = 3
y = 4
z_0 = 2
z_1 = 7
A = 7
B = -12
z_2 = 7*7 - 12*2 = 25 = 3^2 + 4^2
z_3 = 7*25 - 12*7 = 91 = 3^3 + 4^3
... itd
Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?

Na oko nic.
y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
wcisnąc, a raczej jej brak ?

Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
300 lat wpadł.
Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)


J.

[Nemrod]

Post by J.F

Post by Nemrod
Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?

Na oko nic.
y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
wcisnąc, a raczej jej brak ?

Hmmm, a jakby znalazł rekurencję dla x,y,z \in N taką, że:

w_n = z^n - y^n - x^n

Rekurencja będzie w postaci:
w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}

I szukać w_n = 0? Ciekawe.

Post by J.F
Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
300 lat wpadł.
Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)

Fermat twierdził, że ma dowód. Może się mylił, a może nie :)
--
Nemrod Vargardsson

Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.

[J.F]

Post by Nemrod

Post by J.F

Post by Nemrod
Powstaje pytanie czy na bazie tej rekurencji
można powiedzieć coś na temat Twierdzenia Fermata?

Na oko nic.
y^n+x^n sie przyda, ale brakuje nam trzeciego składnika.
Jakies w^n+0^n może by się dało zbudowac, ale jak tu jeszcze równość
wcisnąc, a raczej jej brak ?

w_n = z^n - y^n - x^n

No i co dalej?
zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
sie utrzyma?

Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?

Post by Nemrod

Post by J.F
Prostych metod na tw. Fermata raczej nie ma - ktos by na nie przez te
300 lat wpadł.
Aczkolwiek to nie dowód - a zawsze musi byc ten pierwszy raz :-)

Fermat twierdził, że ma dowód. Może się mylił, a może nie :)

J.

[Nemrod]

Post by J.F

Post by Nemrod
w_n = z^n - y^n - x^n

No i co dalej?
zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
sie utrzyma?

Wiadomo, że zero nie może się utrzymać, inaczej twierdzenie
Fermata do kosza :)

Post by J.F
Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?

Trzeba pomyśleć czy nie da się coś pokazać na podstawie
tej rekurencji na w_n. Np. że dla dowolnych danych startowych,
pokazać, że w_n (n>=3) bardzo szybko rośnie pozostając >0.

Taka zagadka :) Zastanawiam się czy coś tu przejdzie :)
--
Nemrod Vargardsson

Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.

[J.F]

Post by Nemrod

Post by J.F

Post by Nemrod
w_n = z^n - y^n - x^n

No i co dalej?
zaczniesz np od 5^2-4^2-3^2=0 i bedziesz liczyl na to, ze to 0^n
sie utrzyma?

Wiadomo, że zero nie może się utrzymać, inaczej twierdzenie
Fermata do kosza :)

Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)

znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)

Post by Nemrod

Post by J.F
Czy wlasnie ma być niemożliwe, ale jak to wykazac ...
ze nie da sie zera otrzymac w wyniku juz dla n>=3 ?

Trzeba pomyśleć czy nie da się coś pokazać na podstawie
tej rekurencji na w_n. Np. że dla dowolnych danych startowych,
pokazać, że w_n (n>=3) bardzo szybko rośnie pozostając >0.
Taka zagadka :) Zastanawiam się czy coś tu przejdzie :)

Na mój gust to sie raczej nie nada, ale kombinuj :-)

J

[Nemrod]

Post by J.F
Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)
znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)

Nie szukam kontrprzykładu, lecz alternatywnego dowodu.

Post by J.F

Post by Nemrod
w_n = z^n - y^n - x^n
w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}

Na mój gust to sie raczej nie nada, ale kombinuj :-)

Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
To raz. A jeżeli w_n < 0, to dla następnych wartości n
w_n może maleć do momentu przesilenia 'k' w którym nagle
w_k > 0 i |w_k| > |w_{k-1}|. Trzeba się zastanowić
czy to wystarczy jako zarys dowodu.
--
Nemrod Vargardsson

Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.

[J.F]

Post by Nemrod

Post by J.F
Wiadomo jak wiadomo ... dowód obecny długi i zawiły :-)
znalezienie kontrprzykładu bedzie rownie wielkim osiągnięciem :-)

Nie szukam kontrprzykładu, lecz alternatywnego dowodu.

Post by J.F

Post by Nemrod
w_n = z^n - y^n - x^n
w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}

Na mój gust to sie raczej nie nada, ale kombinuj :-)

Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
To raz.

Jeszcze udowodnisz, ze dla n=2 tez nie ma rozwiązan :-)

Nawet, jesli powysze jest prawdziwe, to mamy wiele zestawów
liczb, gdzie w_2 jest niezerowe, i trzebaby udowodnic,
ze w_3 i kolejne też będą niezerowe ...

J.

[Nemrod]

Post by J.F

Post by Nemrod

Post by Nemrod
w_n = z^n - y^n - x^n
->w_n = A*w_{n-1} + B*w_{n-2} + C*w_{n-3}<-

Coś jest. Mamy tak, że jeżeli w_n >= 0, to w_{n+1} > 0.
To raz.

Jeszcze udowodnisz, ze dla n=2 tez nie ma rozwiązan :-)

w_0 = -1 (zawsze)
w_1 = 5 - 4 - 3 = -2
w_2 = 0
w_3 = 5^3 - 4^3 - 3^3 = 34 > 0
... itd

Post by J.F
Nawet, jesli powysze jest prawdziwe, to mamy wiele zestawów
liczb, gdzie w_2 jest niezerowe, i trzebaby udowodnic,
ze w_3 i kolejne też będą niezerowe ...

No i po to jest ta rekurencja na ->w_n<-, tam to powinno być widoczne.
--
Nemrod Vargardsson

Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.