Ciągłość funkcji w przedziale otwartym

[Damian Sobota]

Witam serdecznie!

Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[wodorotlenek]

Post by Damian Sobota
Witam serdecznie!
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.
Z góry dziękuję za odpowiedź.

Ciągłość udowadnia się z definicji ciągłości,
albo z analitycznej ciągłości w punkcie - licząc granicę,
albo z topologicznej, pokazując otwartość przeciwobrazów zbiorów
otwatych.

HOX

[Michał Wasiak]

Post by Damian Sobota
Witam serdecznie!
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

Bardzo wiele z funkcji jest z definicji ciągłych. Na
przykład wykładnicza, potęgowa. Ciągłość wielomianu na
liczbach wymiernych jest prosta do pokazania, a pokazanie
ciągłości w całym R wymaga chyba przypomnienia sobie
kostrukcji liczb rzeczywistych.

[Lukasz Grabun]

Dnia Sat, 15 Jan 2005 14:09:23 +0000 (UTC), Michał Wasiak napisał(a):

[o wielomianie]

Post by Michał Wasiak
liczbach wymiernych jest prosta do pokazania, a pokazanie
ciągłości w całym R wymaga chyba przypomnienia sobie
kostrukcji liczb rzeczywistych.

Hę?

[Rafa³]

Post by Damian Sobota
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

Szczegóły dowodu zależą od konkretnej funkcji.
Weźmy np. funkcję wielomianową f(x)=x^2.
Niech c będzie pewną ustaloną liczbą rzeczywistą. Wówczas:
|x^2-c^2| = |x-c||x+c| <= |x-c|(|x-c|+|c|).
Jeżeli |x-c| < delta, to |x^2-c^2| < delta(delta+|c|), delta > 0.

Teraz, dla dowolnego dodatniego epsilon wystarczy wybrać tak deltę > 0, aby
delta(delta+|c|) < epsilon.

Zatem: |x-c| < delta => |x^2-c^2| = |f(x)-f(c)| < epsilon,
czyli funkcja f jest ciągła w punkcie c.
Ponieważ punkt c możemy obrać dowolnie, to funkcja f jest ciągła w R.

Pozdrawiam, Rafał.

[Michał Wasiak]

Post by Rafa³

Post by Damian Sobota
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

Szczegóły dowodu zależą od konkretnej funkcji.
Weźmy np. funkcję wielomianową f(x)=x^2.

[...]

Warto powiedzieć, że to rozumowanie przejdzie dla każdego
jednomianu. Różnicę x^n - x_0^n można rozłożyć używając
wzoru na sumę (skończoną) szeregu geometrycznego.

[Damian Sobota]

Post by Rafa³
Weźmy np. funkcję wielomianową f(x)=x^2.
|x^2-c^2| = |x-c||x+c| <= |x-c|(|x-c|+|c|).

Mógłbyś powiedzieć, skąd masz to (|x-c|+|c|)? Bo to:

|x-c||x+c| <= |x-c|(|x-c|+|c|)

nie jest prawda. Weźmy np. x=5 i c=3:

|5-3||5+3| <= |5-3|(|5-3|+|3|)
2*8 <= 2*(2+3)
2*8 <= 2*5
8 <= 5

???

Post by Rafa³
Jeżeli |x-c| < delta, to |x^2-c^2| < delta(delta+|c|), delta > 0.
Teraz, dla dowolnego dodatniego epsilon wystarczy wybrać tak deltę > 0, aby
delta(delta+|c|) < epsilon.
Zatem: |x-c| < delta => |x^2-c^2| = |f(x)-f(c)| < epsilon,
czyli funkcja f jest ciągła w punkcie c.

Tylko dlaczego funkcja f jest ciagla w punkcie c? Bo jakoś z tego, co
powiedziałeś, to mi ciągłość nie wynika.

Post by Rafa³
Ponieważ punkt c możemy obrać dowolnie, to funkcja f jest ciągła w R.

[Rafa³]

Post by Rafa³

Post by Rafa³
Weźmy np. funkcję wielomianową f(x)=x^2.
|x^2-c^2| = |x-c||x+c| <= |x-c|(|x-c|+|c|).

|x-c||x+c| <= |x-c|(|x-c|+|c|)
|5-3||5+3| <= |5-3|(|5-3|+|3|)
2*8 <= 2*(2+3)
2*8 <= 2*5
8 <= 5
???

Racja, dwójka się zawieruszyła, co jednak nie zmienia prawdziwości rozważań.
Powinno być:
|x+c| = |x-c+2c| <= |x-c|+2|c|, a co za tym idzie:
|x^2-c^2| <= |x-c|(|x-c|+2|c|).

Post by Rafa³

Post by Rafa³
Jeżeli |x-c| < delta, to |x^2-c^2| < delta(delta+|c|), delta > 0.
Teraz, dla dowolnego dodatniego epsilon wystarczy wybrać tak deltę > 0, aby
delta(delta+|c|) < epsilon.
Zatem: |x-c| < delta => |x^2-c^2| = |f(x)-f(c)| < epsilon,
czyli funkcja f jest ciągła w punkcie c.

Tylko dlaczego funkcja f jest ciagla w punkcie c? Bo jakoś z tego, co
powiedziałeś, to mi ciągłość nie wynika.

Z def. ciagłości:
|x-c| < delta => |x^2-c^2| = |f(x)-f(c)| < epsilon.
Przy wyborze delta=sqrt(epsilon) mamy |x^2-c^2| < delta(delta+2|c|) < epsilon
dla dowolnego epsilon>0.

Pozdrawiam, Rafał

[Lech Duraj]

Post by Damian Sobota
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

Funkcja f(x) = x jest ciągła, co sam łatwo pokażesz.
Funkcje stałe są ciągłe.

Iloczyn i suma funkcji ciągłych jest ciągła, co można znaleźć lub dowieść.

Przez sumowanie i mnożenie otrzymujesz z łatwością wszystkie wielomiany.

A inne funkcje? Trzeba do każdej podchodzić indywidualnie, korzystając z
definicji ciągłości oraz z określenia samej funkcji. Nie trzeba
natomiast znać konstrukcji liczb rzeczywistych, jak ktoś tu sugerował.

[Damian Sobota]

Post by Lech Duraj
Funkcja f(x) = x jest ciągła, co sam łatwo pokażesz.
Funkcje stałe są ciągłe.

Okej, dobrze ze mi na to zwrociles uwage, bo...

Post by Lech Duraj
Iloczyn i suma funkcji ciągłych jest ciągła, co można znaleźć lub dowieść.
Przez sumowanie i mnożenie otrzymujesz z łatwością wszystkie wielomiany.

...teraz juz rozumiem, jak to wykazywac dla wielomianów itp.

Post by Lech Duraj
A inne funkcje? Trzeba do każdej podchodzić indywidualnie, korzystając z
definicji ciągłości oraz z określenia samej funkcji.

A tutaj mógłbyś podać jakiś przykład innej funkcji!?

[Marcin Kysiak]

Post by Damian Sobota

Post by Lech Duraj
A inne funkcje? Trzeba do każdej podchodzić indywidualnie,
korzystając z definicji ciągłości oraz z określenia samej funkcji.

A tutaj mógłbyś podać jakiś przykład innej funkcji!?

f: R->R, f(x)=sin(x).

Pozdrawiam
Marcin

[bo]

Post by Damian Sobota

Post by Lech Duraj
Funkcja f(x) = x jest ciągła, co sam łatwo pokażesz.
Funkcje stałe są ciągłe.

Okej, dobrze ze mi na to zwrociles uwage, bo...

Post by Lech Duraj
Iloczyn i suma funkcji ciągłych jest ciągła, co można znaleźć lub dowieść.
Przez sumowanie i mnożenie otrzymujesz z łatwością wszystkie wielomiany.

...teraz juz rozumiem, jak to wykazywac dla wielomianów itp.

Post by Lech Duraj
A inne funkcje? Trzeba do każdej podchodzić indywidualnie, korzystając z
definicji ciągłości oraz z określenia samej funkcji.

A tutaj mógłbyś podać jakiś przykład innej funkcji!?

Co to znaczy "innej" ?

Dowodzi sie ciaglosc "podstawowych" funcji
"w calej dziedzinie" na ogol z definicji..

id czyli (f(x) = x
sin
cos
ln

jesli funkcja f: A-> R jest ciagla i odwracalna,
(jako funkcja z A NA f(A),
to odwrotna f^(-1) : f(A) -> A tez jest ciagla..
(

kazda funkcja ktora mozna opisac za pomoca skladania,
dodawania odejmowania mnozenia, dzielenia
tez jest ciagla...

Wiac jakiez sa te "inne" ?

no sgn
ktora x przypisuke
1 gdy x > 0
0 gdy x = 0
-1 gdy x < 0

oczywisce enijest ciagla w zerze...

Ale np "inna"

zwykle oznaczana ||
x -> |x|
jest ciagla..

jesli taka "inna" jest "przedzialami elementarna",
czyli w pewnych przedzialach jest "nie inna",
to tam jest ciagla "z twierdzenia",
badamy tylko te "podejrzane punkty"

Pozdroweinia

Boguslaw

[Mariusz Gromada]

Post by Damian Sobota
Witam serdecznie!
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?!

Możesz korzystać z:

1) Def. Cauchy'ego
2) Def. Heinego
3) Def. topologicznej

1 i 2 są równoważne, jednak działają dla
ograniczonej klasy przekształceń
(na tej klasie def. 3 jest im równoważna).

1 pozwala udowadniać ciągłość.
2 często przydaje się do dowodów nieciągłości.
3 to już trochę inna bajka, o której w Twoim
przypadku nie ma jeszcze sensu wspominać.

Poszukaj w google tych definicji.

Pozdrawiam,
Mariusz

[Maedowan]

Post by Damian Sobota
Witam serdecznie!
Mam taki mały problem. Mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że funkcja
jest ciągła w przedziale otwartym (a,b)? Wiem, że funkcja jest ciągła w
przedziale otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Ale jak to sprawdzić?! Przeszukiwałem Google, ale jedyne co znalazłem,
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

poniewaz:

f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

[Lukasz Grabun]

Post by Maedowan

Post by Damian Sobota
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

Oczywiście, rzeczona funkcja wielomianowa jest różniczkowalna z
definicji, prawda?

[Maedowan]

Post by Lukasz Grabun

Post by Maedowan

Post by Damian Sobota
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

Oczywiście, rzeczona funkcja wielomianowa jest różniczkowalna z
definicji, prawda?

każda funkcja wielomianowa jest różniczkowalna

[Lukasz Grabun]

Post by Maedowan

Post by Lukasz Grabun

Post by Maedowan

Post by Damian Sobota
to po prostu stwierdzenia, że np. funkcja wielomianowa jest ciągła, ale
nie było nigdzie dowodu, dlaczego.

f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

Oczywiście, rzeczona funkcja wielomianowa jest różniczkowalna z
definicji, prawda?

Przepraszam grupowiczów, że cytuję aż tyle; jednak treść kilku
poprzednich postów jest istotna dla istoty tego, co chcę powiedzieć.

Autor wątku chce dowieść ciągłości jakiejś tam funkcji; w szczególności
chciałby zbadać, czy funkcja wielomianowa ma rzeczoną własność. Kolega
Maedowan radzi mu, by problem olać, gdyż przecież funkcje wielomianowe
są różniczkowalne. Na moje pytanie (to to z dwoma znaczkami cytatu),
pada odpowiedź

Post by Maedowan
każda funkcja wielomianowa jest różniczkowalna

Ja na to ponawiam pytanie: czy taka jest definicja?

[Maedowan]

Post by Lukasz Grabun
Autor wątku chce dowieść ciągłości jakiejś tam funkcji; w szczególności
chciałby zbadać, czy funkcja wielomianowa ma rzeczoną własność. Kolega
Maedowan radzi mu, by problem olać, gdyż przecież funkcje wielomianowe
są różniczkowalne. Na moje pytanie (to to z dwoma znaczkami cytatu),
pada odpowiedź

niech kolega Lukasz nauczy sie czytac, autor chce dowiesc
rozniczkowalnosci jakiejs tam nieznanej funkcji, a jako przyklad
powiedziane jest, ze f wielomianowa jest rozniczkowalna.

Post by Lukasz Grabun

Post by Maedowan
każda funkcja wielomianowa jest różniczkowalna

Ja na to ponawiam pytanie: czy taka jest definicja?

poszukaj sobie to bedziesz wiedzial.

[Lukasz Grabun]

Post by Maedowan
niech kolega Lukasz nauczy sie czytac, autor chce dowiesc
rozniczkowalnosci jakiejs tam nieznanej funkcji, a jako przyklad

W szczególności wskazuje na to temat tego wątku.

Proponuję EOT.

[Lech Duraj]

Post by Maedowan
niech kolega Lukasz nauczy sie czytac, autor chce dowiesc
rozniczkowalnosci jakiejs tam nieznanej funkcji, a jako przyklad
powiedziane jest, ze f wielomianowa jest rozniczkowalna.

Oj, przesadzasz. Równie dobrze "wiadomo", że funkcja wielomianowa jest
ciągła. Sztuka polega na tym, żeby dowodzić rzeczy bardziej
zaawansowanych bazując na elementarnych, a nie odwrotnie.

Umiesz dowieść, że wielomiany są różniczkowalne? Pewnie umiesz. A
potrafisz podać dowód *prostszy* niż dowód ciągłości?

[Damian Sobota]

Post by Maedowan
f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

Nie tędy droga, ponieważ ograniczasz się jedynie do funkcji, które są
różniczkowalne. A przecież nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna.
Np. f(x)=|x| nie jest różniczkowalna w punkcie x=0, ale jest w tym
punkcie ciągła.

[Maedowan]

Post by Damian Sobota

Post by Maedowan
f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

Nie tędy droga, ponieważ ograniczasz się jedynie do funkcji, które są
różniczkowalne. A przecież nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna.
Np. f(x)=|x| nie jest różniczkowalna w punkcie x=0, ale jest w tym
punkcie ciągła.

wiec na calym r liczysz pochodna a tam sproawdzasz z definicji, ale
ciezko jest powiedzie cos wiecej bez przykladu, a kolo juz chyba go
rozwiazal bo sie cos nie odzywa

[bo]

Post by Maedowan

Post by Damian Sobota

Post by Maedowan
f. jest rozniczkowalna => f. jest ciagla

Nie tędy droga, ponieważ ograniczasz się jedynie do funkcji, które są
różniczkowalne. A przecież nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna.
Np. f(x)=|x| nie jest różniczkowalna w punkcie x=0, ale jest w tym
punkcie ciągła.

wiec na calym r liczysz pochodna a tam sproawdzasz z definicji, ale
ciezko jest powiedzie cos wiecej bez przykladu, a kolo juz chyba go
rozwiazal bo sie cos nie odzywa

Zrozum, ze to bez sensu...
Funkcja ktorej pchodna mozeszpoliczyc "ze wzoru" jest ciagla w calej
dziedzinie "bez liczenia"..

Boguslaw

[Maedowan]

Post by bo
Zrozum, ze to bez sensu...
Funkcja ktorej pchodna mozeszpoliczyc "ze wzoru" jest ciagla w calej
dziedzinie "bez liczenia"..

no to pokazcie wkoncu ta funkcji bo inaczej ta dyskusja nie ma sensu.

[bo]

Post by Maedowan

Post by bo
Zrozum, ze to bez sensu...
Funkcja ktorej pchodna mozeszpoliczyc "ze wzoru" jest ciagla w calej
dziedzinie "bez liczenia"..

no to pokazcie wkoncu ta funkcji bo inaczej ta dyskusja nie ma sensu.

Ktora ?

Boguslaw