Post by Maciej WozniakPost by Puci PuciPost by Puci PuciWitam mam pewien problem z pogodzeniem Twierdzenia Goedla o niezupełności i zasadą wyłączonego środka. Ktoś mi pomoże to ogarnąć ?
Jak to jest skoro można skonstruować twierdzenie T1,
którego nie możemy udowodnić w systemie aksjomatycznym A1, A2, ....,AN,
Godel nie udowodnił, że można.
Oj czy aby na pewno, ja do końca tego nie kumam ale z obecnego mojego stanu zrozumienia wynika że
z twierdzenia o niezupełności właśnie wynika że dla każdego skończonego systemu aksjomatycznego
można utworzyć takie twierdzenie, którego nie da się udowodnić w tym systemie.
Nie, wynika tylko, że dla każdego skończonego niesprzecznego
[spełniającego pewien dodatkowy warunek].
A dodatkowo to tylko w systemie Godla (tak jak twierdzenie
Pitagorasa obowiązuje tylko w geometrii Euklidesa). Systemie,
którego założeń Godel nawet nie raczył podać.
No tu jest mi znacznie bliżej. Spróbuję więc uściślić dokładniej o co mi chodzi.
Choć robię to niechętnie bo moja ignorancja okaże się wyraźniej
Koncentrując się na poniższym
GI:
"Każdy niesprzeczny system formalny pierwszego rzędu, zawierający w sobie aksjomaty Peana, musi być niezupełny."
I tu masz rację to Twierdzenie dotyczy specyficznej sytuacji ....
Ale zakładając że w moim przykładzie (systemie aksjomatycznym A1, A2, ....,AN)
założenia są spełnione, wtedy twierdzenie GI powinno działać z całą mocą jak sądzę, czyli
można skonstruować twierdzenie T1 w tym systemie, którego prawdziwości nie możemy udowodnić w systemie aksjomatycznym A1, A2, ....,AN,
co się wtedy dzieje z zasadą wyłączonego środka ?
jaką wartość logiczną ma (T1 lub ~ T1)
Jest tu jakaś prosta odpowiedź ? co mi umknęło ?
Post by Maciej WozniakŻeby nie było wątpliwości - moje poglądy są
BARDZO niemainstreamowe, ale pierwsze zdanie
raczej wszyscy potwierdzą.
Moje z kolei poglądy, są jedynie poglądami błądzącego (oby nie bredzącego)
we mgle ....
Post by Maciej WozniakPost by Puci PuciAle oczywiście mogę się mylić .... bo mi się to często zdarza.
System formalny zupełny – system, w którym możliwe jest przeprowadzenie dowodu dowolnego
prawidłowo zapisanego zdania tego systemu lub jego zaprzeczenia. W systemie zupełnym każde prawdziwe zdanie jest dowodliwe.
skoro tak to system niezupełny to takie dla którego istnieje twierdzenie którego dowód jest niemożliwy.
Godel udowodnił, że [jeśli system spełnia pewne warunki]
albo można, albo system jest sprzeczny.
Oj raczej nie, system niesprzeczny ( to zupełnie co innego niż zupełny lub niezupełny)
System formalny niesprzeczny – system, w którym nie da się udowodnić jednocześnie pewnego zdania i jego zaprzeczenia.
A myślisz, że po co było Godlowi potrzebne akurat
to zdanie - wariant paradoksu kłamcy? Z czego
słynie paradoks kłamcy - właśnie z tego, że
można udowodnić i jego, i jego zaprzeczenie.
Weź paradoks kłamcy. Weź zbiór teorii, w których
językach da się go zapisać. Łatwo udowodnisz,
że wszystkie teorie ze zbioru są sprzeczne.
A skoro tak - to każda teoria niesprzeczna ze zbioru
musi być niezupełna (bo nie ma ani jednej). Proste?
Godel, owszem, trochę rzecz zakręcił.
To ciekawe ale muszę nad tym zamedytować .... :o)
Chciałbym się najpierw skupić nad tym od czego zacząłem,
niezbyt precyzyjnie i co powyżej staram się uściślić.