Post by KimbarPost by MaciekKazdemu przekrojowi mozesz przyporzadkowac pewna
pare liczb wymiernych - owszem. Nawet wiele roznych
par. Ale co z tego? Pytanie, czy umiesz dokonac
tego przypisania wzajemnie jednoznacznie...
Bo tylko takie przypisanie dowodzi rownolicznosci!
Jasne, to samo w sobie równoliczności nie dowodzi, do tego konieczna jest
wzajemna jednoznaczność. Ale wydaje mi się, że dowodzi że zbiór przekrojów
ma nie większą moc. Skoro nie może być skończony, to musi mieć moc \aleph_0.
Jeżeli istnieje funkcja odwzorowująca zbiór A na zbiór B to moc zbioru B
jest nie większa od mocy zbioru A.
A *istnieje*...?
Jesli chcesz odwzorowac zbior par liczb wymiernych na zbior
przekrojow, to - patrzac w druga strone - musisz miec
roznowartosciowa funkcje ze zbioru przekrojow w zbior par.
Masz taka funkcje?
Post by KimbarPost by Maciek(.........) Liczby rzeczywiste
utozsamia sie z przekrojami Dedekinda,
I o to właśnie utożsamienie mi chodzi. Czy jest słuszne? AFAIK to przyjmuje
się, że liczby rzeczywiste mają moc coninuum, a następnie dowodzi, że c =\=
\aleph_0 i że pewne zbiory mają moc continuum. Więc gdzie dowód, że zbiór z
tematu ma moc continuum.
AFAIK to odwrotnie. Najpierw dowodzi sie, ze jego moc jest
wieksza od \aleph_0. A potem, skoro jest inna, to nalezy sie
jej osobna nazwa -- i wybieramy nazwe "continuum". :)
No to pokazmy, ze jest wieksza.
Wezmy dowolne dwie liczby wymierne. Np. 0 i 1.
Teraz rozwazmy wszystkie takie niewymierne przekroje
Dedekinda (P,Q) ze 0 \in P oraz 1 \in Q. (*)
Zbudujmy ciagi liczb wymiernych p_n, q_n, c_n nastepujaco:
p_1 = 0, q_1 = 1
c_n = (p_n + q_n)/2
p_{n+1) = c_n, q_{n+1} = q_n jesli c_n \in P
p_{n+1) = p_n, q_{n+1} = c_n jesli c_n \in Q
W ten sposob otrzymalismy zstepujacy ciag przedzialow
o koncach wymiernych, przy czym ich dlugosci maleja
w postepie geometrycznym:
q_1 - p_1 = 1
q_{n+1) - p_{n+1} = 1/2 * (q_n - p_q) = 1/2^n
i wszystkie ich lewe konce naleza do zbioru P, zas
wszystkie prawe - do Q.
Teraz zapiszmy ciag dwuwartosciowy x_n,
np. cyframi 0 i 1, mowiacymi czy kolejny przedzial
byl lewa polowka poprzedniego, czy prawa.
Uzyskany w ten sposob ciag binarny bedzie inny dla
kazdego przekroju Dedekinda spelniajacego warunek (*).
Jesli bowiem mamy dwa rozne przekroje (P',Q') i (P",Q"),
to albo P' \subset P", albo P' \supset P". Analiza
obu przypadkow jest symetryczna - wezmy pierwszy.
Skoro P' \subset P", to istnieje liczba wymierna
L \in (P" \ P')
Skoro L nie nalezy do P', to musi - z definicji
przekroju - nalezec do Q'.
Skoro - z definicji przekroju - nie istnieje najwieksza
liczba wymierna w P", a L \in P", to istnieje w P"
liczba wymierna N wieksza od L (w przeciwnym razie L
bylaby najwieksza w P").
Rownoczesnie L nie jest tez liczba najmniejsza w Q'
(bo (Q',P') bylby przekrojem wymiernym, a mial nie byc (*)).
Zatem w Q' istnieje liczba wymierna M, mniejsza od L.
W trakcie konstruowania zstepujacego ciagu przedzialow
osiagamy w ktoryms entym kroku dlugosc przedzialu mniejsza
od odleglosci |L-M| i od odleglosci |N-L|. I teraz uwaga:
L nie nalezy do tego przedzialu. Gdyby bowiem nalezala,
to przedzial musialby sie zawierac w przedziale [M, N],
a zatem zawieralby sie w Q' oraz w P". A to niemozliwe,
poniewaz wszystkie lewe konce przedzialow naleza do P,
a prawe - do Q.
Zatem n-ty przedzial w ciagu skonstruowanym dla przekroju
(P',Q') rozny jest od n-tego przedzialu w ciagu zbudowanym
dla przekroju (P",Q"):
p'_n =/= p"_n
q'_n =/= q"_n.
Co wiecej, przedzialy te sa rozlaczne:
q'_n < L < p"_n.
A wobec tego w ktoryms z poprzednich krokow, i to co najmniej
dwa kroki wstecz, mielismy element ciagu c_i nalezacy do
przeciecia zbiorow Q' \cap P". I odpowiadajacy mu element
ciagu x_i bedzie mial dla tych przekrojow inna wartosc:
x'_i = 0
x"_i = 1.
A wiec otrzymane ciagi {x'_n}, {x"_n} roznia sie, przynajmniej
na i-tej pozycji. C.b.d.o.
No to teraz, skoro juz mamy roznowartosciowe odwzorowanie
przekrojow Dedekinda (*) w zbior ciagow binarnych, trzeba
by pokazac, ze jest to odwzorowanie "na". To latwe.
Bierzemy zbiory liczb wymiernych: P - zbior liczb
nie wiekszych od 0, Q - zbior liczb nie mniejszych od 1.
Pomiedzy nimi - "ziemia niczyja", przedzial liczb wymiernych
(0, 1). Obrazowo i skrotowo: bierzemy kolejne wyrazy ciagu
{x_n}, i zaleznie od wartosci wyrazu odcinamy z "ziemi
niczyjej" lewa albo prawa polowke, i dolaczamy odpowiednio
do P albo do Q. Po wyczerpaniu ciagu mamy kazda liczbe wymierna
zaliczona albo do P, albo do Q - a wiec (P,Q) jest przekrojem
Dedekinda. (Spelnienie reszty definicyjnych warunkow, w tym
warunku (*), tez jest dosc oczywiste.)
Oczywiscie "widac" takze, ze jesli ciagi {x'_n} i {x"_n}
sa rozne, to uzyskane w tym postepowaniu przekroje beda rozne.
A wiec mamy odwzorowanie roznowartosciowe zbioru ciagow binarnych
w zbior przekrojow (*).
I latwo sprawdzic, ze opisane odwzorowania przekrojow na ciagi
i ciagow na przekroje sa wzajemnie odwrotne, wiec daja bijekcje.
Teraz dalej - zbior wszystkich ciagow binarnych latwo
odwzorowac na zbior potegowy zbioru liczb naturalnych.
Obrazkowo: ciagowi, np. 0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,... przypisujemy
zbior tych liczb naturalnych, ktore sa indeksami niezerowych
wyrazow tego ciagu - w tym przykladzie {2, 3, 7, 9, 10, ...}.
To tez jest bijekcja.
Mamy zatem, przez zlozenie dwu bijekcji, bijekcje
pomiedzy zbiorem przekrojow Dedekinda (*) a zbiorem
potegowym zb. liczb naturalnych.
Ten zas jest mocy wiekszej niz \aleph_0, bo dla kazdego
zbioru X jego zbior potegowy 2^X (czyli zbior podzbiorow
zbioru X) jest wiekszej mocy niz on sam:
|2^X| > |X|.
Dowod podal Wlodek Holsztynski:
http://www.google.pl/groups?q=msgid%***@polnews.pl
Uff.
Pozdrawiam, i gratuluje doczytania do tego miejsca.
Mam nadzieje, ze po drodze nie popelnilem jakichs
powaznych bledow.
Jesli do tego miejsca sie zgadza, to rozszerzenie
z przekrojow (*) na wszystkie przekroje Dedekinda
jest juz latwe. :-)
Maciek