Trzynastka pitagorejska

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.
12²+32²+76²+84²+320²+432²+468²+576²+688²+912²+960²+1008²=2024²
Niestety jestem w stanie wyznaczyć tylko trzynastki pitagorejskie, które spełniają dodatkowe kryteria ułatwiające obliczenia; a więc nie wszystkie.
Czy wiadomo ile jest trzynastek pitagorejskich dla liczby 2024?

Chyba nie przemyślałeś problem

Liczba rozwiązań problemu 2-5
2 a^2 + b^2 = 2024^2 0
3 a^2 + b^2 + c^2 = 2024^2 40
4 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2024^2 4474
5 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 2024^2 364309

dla 13 to chyba miliardy rozwiązań

Tu masz niewielką liczbę rozwiązań
( 4 pierwsze elementy przy założeniu, że pozostałe 9 elementów są takie same jak u
ciebie czyli -> {320, 432, 468, 576, 688, 912, 960, 1008}

{{4,12,36,112},{4,12,68,96},{4,32,36,108},{4,48,68,84},{12,16,44,108},{12,16,60,100},{12,20,80,84},
{12,32,76,84}, (* to Twoje*)
{12,36,64,92},{12,44,52,96},{12,52,64,84},{16,28,36,108},{20,28,60,96},{20,36,48,100},{28,36,52,96},{32,36,68,84},{36,44,48,92},{36,48,68,76},{36,52,60,80},{44,48,52,84}}

--
Boguś

J.F

2024-01-10 11:55:41 UTC

A dopuszczamy powtarzające się liczby?

2024^2-2023^2=4047

4047= 63^2+78
78=8^2+14
14=3^2+5
5=1+1+1+1+1

nie uzbierało sie 13 a tylko 9, ale IMO - cos sie dopasuje, na
podobnej zasadzie
I faktycznie mogą wyjsc miliardy ...

Post by BoguÅ
Tu masz niewielką liczbę rozwiązań
( 4 pierwsze elementy przy założeniu, że pozostałe 9 elementów są takie same jak u
ciebie czyli -> {320, 432, 468, 576, 688, 912, 960, 1008}
{{4,12,36,112},{4,12,68,96},{4,32,36,108},{4,48,68,84},{12,16,44,108},{12,16,60,100},{12,20,80,84},
{12,32,76,84}, (* to Twoje*)
{12,36,64,92},{12,44,52,96},{12,52,64,84},{16,28,36,108},{20,28,60,96},{20,36,48,100},{28,36,52,96},{32,36,68,84},{36,44,48,92},{36,48,68,76},{36,52,60,80},{44,48,52,84}}

2024-01-11 21:34:29 UTC

A dopuszczamy powtarzające się liczby?

Z powtarzającymi się liczbami jest pewien prosty schemat wykorzystujący dzielniki głównej liczby.
1012²+1012²+1012²+1012²=(2*1012)²=2024²

506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=(4*506)²=2024²

Można kombinować z łączeniem, uzyskując np. 13 składników.
1012²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=2024²

J.F

2024-01-12 09:08:08 UTC

A dopuszczamy powtarzające się liczby?

Z powtarzającymi się liczbami jest pewien prosty schemat wykorzystujący dzielniki głównej liczby.
1012²+1012²+1012²+1012²=(2*1012)²=2024²
506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=(4*506)²=2024²
Można kombinować z łączeniem, uzyskując np. 13 składników.
1012²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=2024²

Ale chyba nie zawsze sie da.

To co - dopuszczamy powtarzanie, czy nie?
Pewnie mocno wplynie na liczbe wyników.

Ale i tak sie bardzo duzo nalezy spodziewac.

J.

2024-01-12 10:54:21 UTC

A dopuszczamy powtarzające się liczby?

Z powtarzającymi się liczbami jest pewien prosty schemat wykorzystujący dzielniki głównej liczby.
1012²+1012²+1012²+1012²=(2*1012)²=2024²
506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=(4*506)²=2024²
Można kombinować z łączeniem, uzyskując np. 13 składników.
1012²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=2024²

Ale chyba nie zawsze sie da.
To co - dopuszczamy powtarzanie, czy nie?
Pewnie mocno wplynie na liczbe wyników.
Ale i tak sie bardzo duzo nalezy spodziewac.
J.

Pewnie lepiej wykluczyć powtarzalne liczby, by nie wyszło zbyt wiele możliwości.

Jednak zaskoczyła mnie przekątna graniastosłupa o podstawie kwadratowej.
Nie spodziewałem się takiej kombinacji.
1288²+ 1104²+1104²=2024²

W sumie można zatrudnić komputer do wyszukania wszystkich przypadków n-ki pitagorejskiej.
Ciekawe jakie maksymalne n jest w zasięgu rozsądnych możliwości obliczeniowych?
Może dla 10-tki pitagorejskiej będzie to możliwe?
372²+464²+576²+608²+684²+688²+756²+852²+896²=2024²
.
.
.
.
.
.
.
.

12²+32²+76²+84²+320²+432²+468²+576²+688²+912²+960²+1008²=2024²

J.F

2024-01-12 12:37:12 UTC

[...]

Post by BoguÅ
dla 13 to chyba miliardy rozwiązań

A dopuszczamy powtarzające się liczby?

Z powtarzającymi się liczbami jest pewien prosty schemat wykorzystujący dzielniki głównej liczby.
1012²+1012²+1012²+1012²=(2*1012)²=2024²
506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=(4*506)²=2024²
Można kombinować z łączeniem, uzyskując np. 13 składników.
1012²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²+506²=2024²

Ale chyba nie zawsze sie da.
To co - dopuszczamy powtarzanie, czy nie?
Pewnie mocno wplynie na liczbe wyników.
Ale i tak sie bardzo duzo nalezy spodziewac.

Pewnie lepiej wykluczyć powtarzalne liczby, by nie wyszło zbyt wiele możliwości.

IMHO - to raczej zalezy to czego ci to potrzebne. Przestrzen 13-to
wymiarowa?

Post by WM
Jednak zaskoczyła mnie przekątna graniastosłupa o podstawie kwadratowej.
Nie spodziewałem się takiej kombinacji.
1288²+ 1104²+1104²=2024²
W sumie można zatrudnić komputer do wyszukania wszystkich przypadków n-ki pitagorejskiej.

Można, przeciez zatrudniłeś, tylko:
-mogą wyjść miliardy rozwiązań,
-są ...zyliardy kombinacji do sprawdzenia, wszystkich chyba nie
zdążysz :-)

Post by WM
Ciekawe jakie maksymalne n jest w zasięgu rozsądnych możliwości obliczeniowych?
Może dla 10-tki pitagorejskiej będzie to możliwe?
372²+464²+576²+608²+684²+688²+756²+852²+896²=2024²

10 liczb, przy zakresie do ~2000, to tak rzedu 10^30 kombinacji do
sprawdzenia ..

J.

J.F

2024-01-12 20:29:41 UTC

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²

czy to zabronione?

Powinien być chyba jakis trywialny przyklad ...

A przy wiekszej ilosci par ... trojek, czwórek ?

J.

2024-01-12 22:02:17 UTC

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

Dobrze gdy główna liczba tworzy iloczyn g*f, bo wtedy znacząco zmniejszą się obliczenia.
Wyjaśniam:
Szukamy wyniku dla liczby g.
a²+b²+c²+d²=g²
Potem mnożymy całość przez f² i mamy.
(a•f)²+(b•f)²+(c•f)²+(d•f)²=(g•f)²

Niestety takie podejście nie gwarantuje uzyskania wszystkich możliwych rozwiązań.
.
.
.
.
.
.

J.F

2024-01-16 07:32:06 UTC

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

Dobrze gdy główna liczba tworzy iloczyn g*f, bo wtedy znacząco zmniejszą się obliczenia.
Szukamy wyniku dla liczby g.
a²+b²+c²+d²=g²
Potem mnożymy całość przez f² i mamy.
(a•f)²+(b•f)²+(c•f)²+(d•f)²=(g•f)²
Niestety takie podejście nie gwarantuje uzyskania wszystkich możliwych rozwiązań.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

J.

J.F

2024-01-16 07:48:02 UTC

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Oczywiscie mamy tu 3*3, 3*4 -> 3*5, oraz
4*3 , 4*4 -> 4*5

Ale moze sa jakies inne ograniczenia ...

J.

2024-01-16 13:53:48 UTC

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Czy to skuteczna metoda?
Spróbuj uzyskać w ten sposób np. takie wyniki.

9²+12²+20²=25²
12²+15²+16²=25²

Post by J.F
Oczywiscie mamy tu 3*3, 3*4 -> 3*5, oraz
4*3 , 4*4 -> 4*5
Ale moze sa jakies inne ograniczenia ...

Nie bardzo wiem do czego zmierzasz, więc nie rozumiem sensu tych ograniczeń.

Post by J.F
J.

2024-01-16 14:27:18 UTC

Post by WM
a²+b²=2024².
Jest natomiast trzynastka pitagorejska.

A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Czy to skuteczna metoda?
Spróbuj uzyskać w ten sposób np. takie wyniki.

To akurat łatwo otrzymać :)

Post by WM
9²+12²+20²=25²
12²+15²+16²=25²

Wkleiłem nie te co trzeba, chodziło mi o te:
2²+ 3²+ 6²+ 24² = 25²
2²+ 4²+ 11²+ 22² = 25²

Post by J.F
Oczywiscie mamy tu 3*3, 3*4 -> 3*5, oraz
4*3 , 4*4 -> 4*5
Ale moze sa jakies inne ograniczenia ...

Nie bardzo wiem do czego zmierzasz, więc nie rozumiem sensu tych ograniczeń.

Post by J.F
J.

J.F

2024-01-16 14:28:54 UTC

Post by J.F
A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Czy to skuteczna metoda?
Spróbuj uzyskać w ten sposób np. takie wyniki.
9²+12²+20²=25²
12²+15²+16²=25²

skuteczne jak skuteczne.
Chodziło mi tylko o to, ze rownania
a²+b²=n²
c²+d²=m²

nakładają pewne ograniczenia na n i m, jesli mają być całkowite.
Już nie wszystkie liczby są dopuszczalne.

To tak na pierwszy rzut oka trudno powiedziec, czy takie dopuszczalne
m i n mogą utworzyc kolejną trójkę pitagorejską

m²+n² = k²

J.

2024-01-16 17:46:10 UTC

Post by J.F
A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Czy to skuteczna metoda?
Spróbuj uzyskać w ten sposób np. takie wyniki.
9²+12²+20²=25²
12²+15²+16²=25²

skuteczne jak skuteczne.
Chodziło mi tylko o to, ze rownania
a²+b²=n²
c²+d²=m²
nakładają pewne ograniczenia na n i m, jesli mają być całkowite.
Już nie wszystkie liczby są dopuszczalne.
To tak na pierwszy rzut oka trudno powiedziec, czy takie dopuszczalne
m i n mogą utworzyc kolejną trójkę pitagorejską
m²+n² = k²
J.

.

Z dowolnej trójki pitagorejskiej można zrobić czwórkę pitagorejską.

To nasza trójka pitagorejska
a^2+b^2=c^2

mnożymy każdy jej wyraz przez c^2
c^2*a^2+c^2*b^2=c^2*c^2

w pierwszym wyrazie podstawiamy c^2=a^2+b^2
(a^2+b^2)*a^2+c^2*b^2=(c*c)^2

porządkujemy i mamy:
(a*a)^2+(a*b)^2+(c*b)^2=(c*c)^2

proste? :)

.
.
.
.
.
WM

2024-01-17 22:21:55 UTC

Post by J.F
A tak swoją drogą ... może być taki układ, ze
a²+b²=n²
c²+d²=m²
a²+b²+c²+d²= k²
czy to zabronione?

To raczej utrudnia obliczenia, a nie ułatwia.
Wyrazy typu a=0 wykluczamy z obliczeń.
(...)

Post by J.F
J.

A mi nie chodzi o wszystkie, tylko o taka dwojkę m, n ktora jest
pitagorejska, i jednoczesnie m i n tez pochodzą z pitagorejskich.

Jednak trywialne.
9^2+12^2 = 15^2
12^2+16^2 = 20^2
15^2+20^2 = 25^2

Czy to skuteczna metoda?
Spróbuj uzyskać w ten sposób np. takie wyniki.
9²+12²+20²=25²
12²+15²+16²=25²

skuteczne jak skuteczne.
Chodziło mi tylko o to, ze rownania
a²+b²=n²
c²+d²=m²
nakładają pewne ograniczenia na n i m, jesli mają być całkowite.
Już nie wszystkie liczby są dopuszczalne.
To tak na pierwszy rzut oka trudno powiedziec, czy takie dopuszczalne
m i n mogą utworzyc kolejną trójkę pitagorejską
m²+n² = k²
J.

Dziękuję za inspirację.
Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
Wzór jest skomplikowany, więc tylko pierwszy i ostatni wyraz rozszyfruję:
729=3⁶
15625=5⁶
Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

-
-
-
WM

J.F

2024-01-19 19:19:57 UTC

Post by J.F
[...]
Chodziło mi tylko o to, ze rownania
a²+b²=n²
c²+d²=m²
nakładają pewne ograniczenia na n i m, jesli mają być całkowite.
Już nie wszystkie liczby są dopuszczalne.
To tak na pierwszy rzut oka trudno powiedziec, czy takie dopuszczalne
m i n mogą utworzyc kolejną trójkę pitagorejską
m²+n² = k²

Dziękuję za inspirację.
Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
729=3⁶
15625=5⁶
Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

No, jakby ciekawe.

Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.

Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.

Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.

J.

(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

2024-01-19 22:59:11 UTC

Dziękuję za inspirację.
Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
729=3⁶
15625=5⁶
Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

No, jakby ciekawe.
Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.
Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.
Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.
J.
(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

To jest znacznie prostsze niż się wydaje :)

Konstrukcja przypomina ślimak Teodorosa, z tym że wszystkie trójkąty ślimaka muszą być do siebie podobne (3*nⱼ)^2+(4*nⱼ)^2=(5*nⱼ)^2. Różnią się skalą, a dokładniej mnożnikami nⱼ .
Przeciwprostokątna trójkąta o numerze j jest równa mniejszej przyprostokątnej trójkąta następnego o numerze j+1.
Tak będzie gdy mnożniki utworzą ciąg geometryczny nⱼ₊₁=(5/3)*nⱼ.
Jeżeli w ciągu będzie m trójkątów, to przeciwprostokątna ostatniego będzie równa 5*(5/3)^m.
Trzeba pozbyć się mianowników, dlatego całość pomnożymy przez 3^m.

Tu mam problem, bo ślimak może być dowolnie długi z przeciwprostokątną największego trójkąta 5*5^m, ale wtedy i pierwszy wyraz będziemy mieć duży 3*3^m.
Tu nieskończoność i tam nieskończoność, nie wiem co z tym zrobić.
*
*
*
*
*
WM

J.F

2024-01-24 11:30:48 UTC

Dziękuję za inspirację.
Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
729=3⁶
15625=5⁶
Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

No, jakby ciekawe.
Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.
Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.
Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.
J.
(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

To jest znacznie prostsze niż się wydaje :)
Konstrukcja przypomina ślimak Teodorosa, z tym że wszystkie trójkąty ślimaka muszą być do siebie podobne (3*nⱼ)^2+(4*nⱼ)^2=(5*nⱼ)^2. Różnią się skalą, a dokładniej mnożnikami nⱼ .
Przeciwprostokątna trójkąta o numerze j jest równa mniejszej przyprostokątnej trójkąta następnego o numerze j+1.
Tak będzie gdy mnożniki utworzą ciąg geometryczny nⱼ₊₁=(5/3)*nⱼ.
Jeżeli w ciągu będzie m trójkątów, to przeciwprostokątna ostatniego będzie równa 5*(5/3)^m.
Trzeba pozbyć się mianowników, dlatego całość pomnożymy przez 3^m.

Konstrukcja mnie nie interesuje - jeśli jednak do każdej liczby można
dobrać dwie inne tworzące trójkę pitagorejską, to Twoj ciąg przestaje
być interesujący :-)

A na razie nie potrafie znaleźć przykładu takiej, co nie pasuje,
z wyjątkiem 2.

J.

2024-01-25 08:52:01 UTC

Dziękuję za inspirację.
Poszedłem tą drogą, wykorzystując trójkę pitagorejską 3²+4²=5².
Znalazłem 3-kę, 4-kę, 5-kę, 6-kę, 7-kę i 8-kę pitagorejską.
Można iść dalej, ale wyrazy szybko robią się trochę zbyt duże.
729=3⁶
15625=5⁶
Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

No, jakby ciekawe.
Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.
Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.
Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.
J.
(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

To jest znacznie prostsze niż się wydaje :)
Konstrukcja przypomina ślimak Teodorosa, z tym że wszystkie trójkąty ślimaka muszą być do siebie podobne (3*nⱼ)^2+(4*nⱼ)^2=(5*nⱼ)^2. Różnią się skalą, a dokładniej mnożnikami nⱼ .
Przeciwprostokątna trójkąta o numerze j jest równa mniejszej przyprostokątnej trójkąta następnego o numerze j+1.
Tak będzie gdy mnożniki utworzą ciąg geometryczny nⱼ₊₁=(5/3)*nⱼ.
Jeżeli w ciągu będzie m trójkątów, to przeciwprostokątna ostatniego będzie równa 5*(5/3)^m.
Trzeba pozbyć się mianowników, dlatego całość pomnożymy przez 3^m.

Konstrukcja mnie nie interesuje - jeśli jednak do każdej liczby można
dobrać dwie inne tworzące trójkę pitagorejską, to Twoj ciąg przestaje
być interesujący :-)
A na razie nie potrafie znaleźć przykładu takiej, co nie pasuje,
z wyjątkiem 2.
J.

Nie sądzę by pokazaną tu metodą, do dowolnej liczby można było dobrać trójkę pitagorejską. Nigdy tak nie uważałem.

Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
Mam na to gotowy program w języku Python.
Dla liczby 2024 znalazł takie oto takie rozkłady:
6²+12²+20²+38²=2024

10²+18²+24²+32²=2024

10²+12²+22²+36²=2024

12²+14²+28²+30²=2024

Lagrange's four-square theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem
*
*
*
*
WM

J.F

2024-01-25 12:50:52 UTC

[...]

Ciąg wygląda tak.
729²+972²=1215²
729²+972²+1620²=2025²
729²+972²+1620²+2700²=3375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²=5625²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²=9375²
729²+972²+1620²+2700²+4500²+7500²+12500²=15625²

No, jakby ciekawe.
Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.
Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.
Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.
J.
(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

To jest znacznie prostsze niż się wydaje :)
Konstrukcja przypomina ślimak Teodorosa, z tym że wszystkie trójkąty ślimaka muszą być do siebie podobne (3*nⱼ)^2+(4*nⱼ)^2=(5*nⱼ)^2. Różnią się skalą, a dokładniej mnożnikami nⱼ .
Przeciwprostokątna trójkąta o numerze j jest równa mniejszej przyprostokątnej trójkąta następnego o numerze j+1.
Tak będzie gdy mnożniki utworzą ciąg geometryczny nⱼ₊₁=(5/3)*nⱼ.
Jeżeli w ciągu będzie m trójkątów, to przeciwprostokątna ostatniego będzie równa 5*(5/3)^m.
Trzeba pozbyć się mianowników, dlatego całość pomnożymy przez 3^m.

Konstrukcja mnie nie interesuje - jeśli jednak do każdej liczby można
dobrać dwie inne tworzące trójkę pitagorejską, to Twoj ciąg przestaje
być interesujący :-)
A na razie nie potrafie znaleźć przykładu takiej, co nie pasuje,
z wyjątkiem 2.

Nie sądzę by pokazaną tu metodą, do dowolnej liczby można było dobrać trójkę pitagorejską. Nigdy tak nie uważałem.

A ja nie mówie, że tą metodą.

przyjmujemy sobie np a=143, i teraz pytanie czy da się dobrac b i c.

Program napisałem - od 3 do 500 sie da :-)
Więc podejrzewam, ze zawsze się da.

I w tym momencie twój ciąg przestaje byc interesujący :-)
do dowolnej liczby a moge dobrac b1 i c1 takie że
a^2+b1^2=c1^2
do c1 moge dobrać b2 i c2, takie ze
c1^2+b1^2=c2^2 = a^2+b1^2+b2^2

i tak dalej, chyba w nieskończoność.

To jest cos innego niz "liczba ma rozkład na dwie mniejsze liczby".
Na dwie to wiemy, że nie zawsze, na 3 chyba też nie zawsze,
na dowolną ilość to pewnie też nie zawsze, ale IMHO szansa rośnie.

Zauważ tez, ze w powyzszym ciągu/szeregu każda suma częściowa jest
kwadratem liczby naturalnej, a w przypadku rozkładu tak nie musi być.

np 6^2= 4*(3^2)

a z 18 i 27 nic nie zrobisz.

Post by WM
Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
Mam na to gotowy program w języku Python.
6²+12²+20²+38²=2024
10²+18²+24²+32²=2024
10²+12²+22²+36²=2024
12²+14²+28²+30²=2024

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

Post by WM
Lagrange's four-square theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

czyli na 4 kwadraty sie da.
na 16 też :-)

J.

2024-01-25 15:22:09 UTC

[...]

No, jakby ciekawe.
Nie kazda liczba moze stworzyc trojkę pitagorejską (*).
A tu jakby tworzą sie kolejne i kolejne.
Ciekawe, czy to jakas specyficzna postac, co tworzy i tworzy,
czy ten ciąg sie kiedys urwie.
Fakt, ze im wieksza liczba, tym wieksza ilość potencjalnych mozliwosci
dopasowań ... ale to chyba za mało na nieskonczony ciąg.
J.
(*) hm, a moze jednak kazda z wyjątkiem 2? Nie wiem czy jest na to
dowód, ale gdyby tak było, to twój ciąg przestaje być interesujący :-)

To jest znacznie prostsze niż się wydaje :)
Konstrukcja przypomina ślimak Teodorosa, z tym że wszystkie trójkąty ślimaka muszą być do siebie podobne (3*nⱼ)^2+(4*nⱼ)^2=(5*nⱼ)^2. Różnią się skalą, a dokładniej mnożnikami nⱼ .
Przeciwprostokątna trójkąta o numerze j jest równa mniejszej przyprostokątnej trójkąta następnego o numerze j+1.
Tak będzie gdy mnożniki utworzą ciąg geometryczny nⱼ₊₁=(5/3)*nⱼ.
Jeżeli w ciągu będzie m trójkątów, to przeciwprostokątna ostatniego będzie równa 5*(5/3)^m.
Trzeba pozbyć się mianowników, dlatego całość pomnożymy przez 3^m.

Konstrukcja mnie nie interesuje - jeśli jednak do każdej liczby można
dobrać dwie inne tworzące trójkę pitagorejską, to Twoj ciąg przestaje
być interesujący :-)
A na razie nie potrafie znaleźć przykładu takiej, co nie pasuje,
z wyjątkiem 2.

Nie sądzę by pokazaną tu metodą, do dowolnej liczby można było dobrać trójkę pitagorejską. Nigdy tak nie uważałem.

A ja nie mówie, że tą metodą.
przyjmujemy sobie np a=143, i teraz pytanie czy da się dobrac b i c.
Program napisałem - od 3 do 500 sie da :-)
Więc podejrzewam, ze zawsze się da.
I w tym momencie twój ciąg przestaje byc interesujący :-)
do dowolnej liczby a moge dobrac b1 i c1 takie że
a^2+b1^2=c1^2
do c1 moge dobrać b2 i c2, takie ze
c1^2+b1^2=c2^2 = a^2+b1^2+b2^2
i tak dalej, chyba w nieskończoność.
To jest cos innego niz "liczba ma rozkład na dwie mniejsze liczby".
Na dwie to wiemy, że nie zawsze, na 3 chyba też nie zawsze,
na dowolną ilość to pewnie też nie zawsze, ale IMHO szansa rośnie.
Zauważ tez, ze w powyzszym ciągu/szeregu każda suma częściowa jest
kwadratem liczby naturalnej, a w przypadku rozkładu tak nie musi być.
np 6^2= 4*(3^2)
a z 18 i 27 nic nie zrobisz.

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

Są nawet liczby pierwsze:
3²+8²+12²+17²=506
Robiłem poszukiwania dla dzielnika 506 , następnie wyniki mnożyłem przez 4 i dlatego są same parzyste :)
(2*3)²+(2*8)²+(2*12)²+(2*17)²=4*506=2024
Mniej czasu trwały obliczenia :)

Post by WM
Lagrange's four-square theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

czyli na 4 kwadraty sie da.
na 16 też :-)
J.

J.F

2024-01-25 15:39:25 UTC

[...]

Jest za to wierdzenie Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych i chyba o tym myślałeś?
Mam na to gotowy program w języku Python.
6²+12²+20²+38²=2024
10²+18²+24²+32²=2024
10²+12²+22²+36²=2024
12²+14²+28²+30²=2024

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Rozkład liczby parzystej może zawierac dwie, 4 lub zero liczb
nieparzystych. A tu same zera.

Post by WM
Robiłem poszukiwania dla dzielnika 506 , następnie wyniki mnożyłem przez 4 i dlatego są same parzyste :)
(2*3)²+(2*8)²+(2*12)²+(2*17)²=4*506=2024
Mniej czasu trwały obliczenia :)

Post by WM
Lagrange's four-square theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

czyli na 4 kwadraty sie da.
na 16 też :-)

J.F

2024-01-25 16:16:27 UTC

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Zaraz ... 2024=4*506
co by tlumaczyło rozkłady 2024 na liczby parzyste, ale czy wyklucza na
nieparzyste?

ale idąc tym tropem to co z rozkładem
6²+16²+24²+34² = 4*506

?

Podałeś tylko kilka przykładowych?

J.

2024-01-25 17:22:25 UTC

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Zaraz ... 2024=4*506
co by tlumaczyło rozkłady 2024 na liczby parzyste, ale czy wyklucza na
nieparzyste?
ale idąc tym tropem to co z rozkładem
6²+16²+24²+34² = 4*506

Liczyłem najpierw dla 2024 i przerwałem obliczenia po godzinie.
Przeszukałem tylko ułamek obszaru i dostałem małą część czwórek.

Post by J.F
Podałeś tylko kilka przykładowych?

tak

Post by J.F
J.

*
*
WM

J.F

2024-01-25 17:37:14 UTC

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Zaraz ... 2024=4*506
co by tlumaczyło rozkłady 2024 na liczby parzyste, ale czy wyklucza na
nieparzyste?
ale idąc tym tropem to co z rozkładem
6²+16²+24²+34² = 4*506

Liczyłem najpierw dla 2024 i przerwałem obliczenia po godzinie.
Przeszukałem tylko ułamek obszaru i dostałem małą część czwórek.

Wydaje mi się, ze to powinno szybko iść. wszak górne ograniczenie to
45, 45*45*45 = ... moze ten python powolny.

J.

J.F

2024-01-26 12:32:35 UTC

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Zaraz ... 2024=4*506
co by tlumaczyło rozkłady 2024 na liczby parzyste, ale czy wyklucza na
nieparzyste?
ale idąc tym tropem to co z rozkładem
6²+16²+24²+34² = 4*506

Liczyłem najpierw dla 2024 i przerwałem obliczenia po godzinie.
Przeszukałem tylko ułamek obszaru i dostałem małą część czwórek.

Wydaje mi się, ze to powinno szybko iść. wszak górne ograniczenie to
45, 45*45*45 = ... moze ten python powolny.

2 18 20 36.0 2024.0
2 18 36 20.0 2024.0
2 20 36 18.0 2024.0
4 6 6 44.0 2024.0
4 6 26 36.0 2024.0
4 6 36 26.0 2024.0
4 10 12 42.0 2024.0
4 10 42 12.0 2024.0
4 12 42 10.0 2024.0
4 18 28 30.0 2024.0
4 18 30 28.0 2024.0
4 26 36 6.0 2024.0
4 28 30 18.0 2024.0
6 8 18 40.0 2024.0
6 8 30 32.0 2024.0
6 8 32 30.0 2024.0
6 8 40 18.0 2024.0
6 12 20 38.0 2024.0
6 12 38 20.0 2024.0
6 16 24 34.0 2024.0
6 16 34 24.0 2024.0
6 18 40 8.0 2024.0
6 20 38 12.0 2024.0
6 24 34 16.0 2024.0
6 26 36 4.0 2024.0
6 30 32 8.0 2024.0
8 18 40 6.0 2024.0
8 22 24 30.0 2024.0
8 22 30 24.0 2024.0
8 24 30 22.0 2024.0
8 30 32 6.0 2024.0
10 12 22 36.0 2024.0
10 12 36 22.0 2024.0
10 12 42 4.0 2024.0
10 18 24 32.0 2024.0
10 18 32 24.0 2024.0
10 22 36 12.0 2024.0
10 24 32 18.0 2024.0
12 14 28 30.0 2024.0
12 14 30 28.0 2024.0
12 18 20 34.0 2024.0
12 18 34 20.0 2024.0
12 20 34 18.0 2024.0
12 20 38 6.0 2024.0
12 22 36 10.0 2024.0
12 28 30 14.0 2024.0
14 24 24 26.0 2024.0
14 24 26 24.0 2024.0
14 28 30 12.0 2024.0
16 24 34 6.0 2024.0
18 20 20 30.0 2024.0
18 20 30 20.0 2024.0
18 20 34 12.0 2024.0
18 20 36 2.0 2024.0
18 24 32 10.0 2024.0
18 28 30 4.0 2024.0
20 20 30 18.0 2024.0
22 24 30 8.0 2024.0
24 24 26 14.0 2024.0

sekunda

def pyt4(n):
k=2024
for a in range(1, 44):
s1=k-a*a
for b in range(a, 44):
s2=s1-b*b
if s2<=0 :
break
for c in range(b, 44):
s3=s2-c*c
if s3<=0 :
break
d = math.sqrt( s3)
if d == int(d) :
print(a, b, c, d, a*a+b*b+c*c+d*d)

I wszystkie parzyste ... ciekawe.
Czy to skutek tego, ze 2024 dzieli sie przez 4, a nawet przez 8?

Chyba jakos tak, bo nieparzystych składników nie ma w 2000, 2008,
2016, a w pozostałych bywają ..

a te inne to bogate w rozwiązania, szczególnie 2002 - 351

...
o głupia sprawa - nie udało mi sie rozłożyc 2048 na 4 kwadraty.

No tak - twierdzenie dopuszcza 0.
4096 ma jedno rozwiązanie u mnie, 8192 znów nie ma ..

J.

2024-01-26 17:14:39 UTC

Ciekawe, że nie ma żadnej nieparzystej.

3²+8²+12²+17²=506

ale w tej 2024.

Zaraz ... 2024=4*506
co by tlumaczyło rozkłady 2024 na liczby parzyste, ale czy wyklucza na
nieparzyste?
ale idąc tym tropem to co z rozkładem
6²+16²+24²+34² = 4*506

Liczyłem najpierw dla 2024 i przerwałem obliczenia po godzinie.
Przeszukałem tylko ułamek obszaru i dostałem małą część czwórek.

Wydaje mi się, ze to powinno szybko iść. wszak górne ograniczenie to
45, 45*45*45 = ... moze ten python powolny.

2 18 20 36.0 2024.0
2 18 36 20.0 2024.0
2 20 36 18.0 2024.0
4 6 6 44.0 2024.0
4 6 26 36.0 2024.0
4 6 36 26.0 2024.0
4 10 12 42.0 2024.0
4 10 42 12.0 2024.0
4 12 42 10.0 2024.0
4 18 28 30.0 2024.0
4 18 30 28.0 2024.0
4 26 36 6.0 2024.0
4 28 30 18.0 2024.0
6 8 18 40.0 2024.0
6 8 30 32.0 2024.0
6 8 32 30.0 2024.0
6 8 40 18.0 2024.0
6 12 20 38.0 2024.0
6 12 38 20.0 2024.0
6 16 24 34.0 2024.0
6 16 34 24.0 2024.0
6 18 40 8.0 2024.0
6 20 38 12.0 2024.0
6 24 34 16.0 2024.0
6 26 36 4.0 2024.0
6 30 32 8.0 2024.0
8 18 40 6.0 2024.0
8 22 24 30.0 2024.0
8 22 30 24.0 2024.0
8 24 30 22.0 2024.0
8 30 32 6.0 2024.0
10 12 22 36.0 2024.0
10 12 36 22.0 2024.0
10 12 42 4.0 2024.0
10 18 24 32.0 2024.0
10 18 32 24.0 2024.0
10 22 36 12.0 2024.0
10 24 32 18.0 2024.0
12 14 28 30.0 2024.0
12 14 30 28.0 2024.0
12 18 20 34.0 2024.0
12 18 34 20.0 2024.0
12 20 34 18.0 2024.0
12 20 38 6.0 2024.0
12 22 36 10.0 2024.0
12 28 30 14.0 2024.0
14 24 24 26.0 2024.0
14 24 26 24.0 2024.0
14 28 30 12.0 2024.0
16 24 34 6.0 2024.0
18 20 20 30.0 2024.0
18 20 30 20.0 2024.0
18 20 34 12.0 2024.0
18 20 36 2.0 2024.0
18 24 32 10.0 2024.0
18 28 30 4.0 2024.0
20 20 30 18.0 2024.0
22 24 30 8.0 2024.0
24 24 26 14.0 2024.0
sekunda
k=2024
s1=k-a*a
s2=s1-b*b
break
s3=s2-c*c
break
d = math.sqrt( s3)
print(a, b, c, d, a*a+b*b+c*c+d*d)

Użyłem podobnej metody, ale nie wpadłem na to, że pętle można ograniczyć do 44.
Gdy po prawej jest 2024^2 to tak się nie da ograniczyć.

Post by J.F
I wszystkie parzyste ... ciekawe.
Czy to skutek tego, ze 2024 dzieli sie przez 4, a nawet przez 8?

Ciekawe jak wyznaczono stałą Sierpińskiego?
Zawiera ona liczbę sposobów na przedstawienie liczby k jako sumy kwadratów.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Sierpi%C5%84skiego
Tu może się kryć technika określania liczby przedstawień danej liczby w postaci sumy czterech kwadratów.
To już jednak przekracza znacznie moje amatorskie umiejętności.

Post by J.F
Chyba jakos tak, bo nieparzystych składników nie ma w 2000, 2008,
2016, a w pozostałych bywają ..
a te inne to bogate w rozwiązania, szczególnie 2002 - 351
...
o głupia sprawa - nie udało mi sie rozłożyc 2048 na 4 kwadraty.
No tak - twierdzenie dopuszcza 0.
4096 ma jedno rozwiązanie u mnie, 8192 znów nie ma ..
J.

Jest książka Sierpińskiego o trójkach pitagorejskich. Dostępne jest tylko tłumaczenie jej na angielski.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#CITEREFSierpi%C5%84ski2003
W polskiej WIKI nie ma o niej wzmianki, ale w angielskiej jest.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple#Proof_of_Euclid's_formula

WM

J.F

2024-01-26 17:45:14 UTC