Post by FreeFormMoże mógłby mi ktoś podsunąć wskazówkę jaką metodą liczyć
całkę z arctg(x) ?? Czy taka całka istnieje ?
Całka nieoznaczona pochodnej funkcji jest sumš tej funcji i stałej dowolnej
int{f(x)dx}=f(x)+C Tw 2.3 (O całce sumy): Jeżeli funcje f i g sš całkowalne
na pewnym wspólnym przedziale, to ich suma jest również całkowalna na tym
przedziale i przy tym ?[f(x)+g(x)]dx= ?f(x)dx+ ?g(x)dx. Tw 2.4 (O wyłšczeniu
czynnika stałego): Jeżeli f jest funkcjš całkowalnš na pewnym przedziale, k
jest stałš, to funkcja k * f jest również całkowalnš na tym przedziale, przy
tym, gdy k?0, spełniona jest równoć ?k * f(x)dx= k * ?f(x)dx. METODY
CAŁKOWANIA 1) Metoda tożsamociowego przekształcenia funkcji podcałkowej 2)
Metoda zmiany zmiennej 3) Metoda całkowania przez częci 4) Metoda
rekurencyjna DW 2.5 Jeżeli spełnione sš następujšce warunki 1) funkcja f
jest cišgła na przedziale a<x<b 2) funkcja g ma cišgłš pochodnš na
przedziale ?<t<ß 3) wartoci funkcji g(t) leżš w przedziale (a;b) , to
słuszny jest wzór ?f(g(t)) g(t)dt= ?f(x)dx dla g(t)=x. Tw 2.6 Jeżeli
spełnione sš następujšce warunki 1) funkcja jest cišgła na przedziale a<x<b
2) funkcja g ma cišgłš pochodnš na przedziale ?<t<ß oraz różniczkowalnš
funkcję odwrotnš t=? (x) 3) wartoci funkcji g(t) leżš w przedziale (a;b) to
słuszny jest wzór ?f(x)dx= ?f(g(x)) g(t)dt dla t=? (x). AD 3: Tw 2.7 (O
całkowaniu przez częci): Jeżeli funkcje u i v sš klasy C1na pewnym
przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ?u(x)*v(x)dx =
u(x)*v(x) -?u(x)*v(x)dx , który nazywamy wzorem na całkowanie przez częci.
AD 4: Wzór rekurencyjny In=?xn ex dx = xnex- nI n - 1. CAŁKOWANIE FUNKCJI
WYMIERNYCH Funkcjš wymiernš jednej zmiennej nazywamy iloraz wielomianów tej
zmiennej. Funkcja wymierna, której stopień wielomianu licznika jest mniejszy
od stopnia wielomianu mianownika nazywa się funkcjš wymiernš właciwš.
Ułamki proste, sš to funkcje wymierne właciwe postaci: 1. A/(ax+b) 2.
A/(ax+b) n3. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) 4. (Bx+c) / (ax2+bx+c) ngdzie a?0, ?= b2-
4ac, n=2,3,4... ,a,b,c,A,B,C sš liczbami rzeczywistymi. CAŁKOWANIE
NIEKTÓRYCH FUNKCJI WYMIERNYCH Funkcja P.(u1, u2, ..., u n ) zmiennych u1,
u2... nazywa się funkcjš wymiernš tych zmiennych, jeżeli we wzorze
okrelajšcym tę funkcję na zmiennych u1, u2... wykonane sš skończonš liczbę
razy tylko działania wymierne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie,
potęgowanie o wykładniku naturalnym). Jeli z kolei zmienne u1, u2... sš
funkcjami jednej zmiennej x : u1=g1(x), u2=g2(x) ... to funkcję zmiennej x
postaci P.(g1(x), g2 (x) ...) będziemy nazywać wymiernš względem funkcji
g1(x), g2 (x) ... g m.(x). CAŁKI OZNACZONE Suma całkowa Riemanna funkcji f
na przedziale <a;b> ?n= i=1?Kf (xi)*? xiDef: Jeżeli wszystkie cišgi (?n) sum
całkowych funkcji f na przedziale <a;b> odpowiadajšce wszystkim możliwym
cišgom normalnym podziałów tego przedziału i wszystkim możliwym sposobom
wyboru punktów porednich x i ( n)w przedziałach częciowych tych podziałów,
sš zbieżne i to do tej samej granicy właciwej, to tę granicę nazywamy CAŁKĽ
OZNACZONĽ w sensie Riemanna funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy
symbolem a?bf(x)dx. Funkcję f, dla której istnieje całka oznaczona nazywamy
całkowalnš (w sensie Riemanna) na przedziale <a;b>. Tw 6.1 (O ograniczonoci
funkcji podcałkowej): Funkcja podcałkowa na przedziale domkniętym jest
ograniczona na tym przedziale. Tw 6.2 (O całkowaniu funkcji cišgłej):
Funkcja cišgła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw 6.3 Funkcja ograniczona na przedziale domkniętym i majšca w nim skończonš
liczbę punktów niecišgłoci jest całkowalna na tym przedziale. W
interpretacji geometrycznej całka oznaczona jest to pole powierzchni trapezu
krzywoliniowego. WŁASNOCI CAŁKI OZNACZONEJ I JEJ OBLICZANIE Tw 7.1
(Newtona - Leibniza): Jeżeli Ř jest dowolnš funkcjš pierwotnš funkcji f
cišgłej na przedziale <a;b>, to a ?b f(x)dx=Ř (b) -Ř (a) Własnoci całki
oznaczonej: 1) Wartoć całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej
całkowania 2) Funkcja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także
całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli funkcje f i g
sš całkowalne na przedziale <a;b>, to również funkcja (f+g) jest całkowalna
na tym przedziale oraz
----------------------------------------------------------------------------
----
Page 4
a?b[f(x)+g(x)]dx= a?b f(x)dx+ a?bg(x)dx. 4) Jeżeli funkcja f jest całkowalna
na przedziale <a;b> oraz A=const również funkcja A*f jest całkowalna na tym
przedziale i a?bAf(x)dx= A a?bf(x)dx. 5) Jeżeli funkcje f i g sš całkowalne
na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest funkcjš całkowalnš na tym
przedziale. 6) Zmiana wartoci funkcji w skończonej liczbie punktów
przedziału nie wpływa ani na całkowalnoć tej funkcji w tym przedziale ani
na wartoć całki, jeli funkcja ta jest całkowalna. 7)Jeżeli a,b,c sš
dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym funkcja f jest całkowalna,
to a ?cf(x)dx +c?bf(x)dx= a?bf(x)dx 8) Niech f i g będš funkcjami
całkowalnymi na przedziale <a;b>, wówczas f(x)?g(x); dla
x?<a,b>?a?bf(x)dx?a?bg(x)dx 9) Niech f będzie funkcjš na przedziale <a;b>,
wówczas:m?f(x)?M dla x?<a,b>?m.(b-a)?a?bf(x)dx?M.(b -a). Tw 7.2 (O
całkowaniu przez podstawienie dla całki oznaczonej): Jeżeli: 1) funkcja g(t)
jest cišgła na przedziale <?,ß> 2) funkcja t= h(x) jest klasy C1<a;b>
3)zbiorem wartoci funkcji t= h(x) jest przedział <?,ß>, i przy tym ?=h(a) i
ß=h(b) to prawdziwy jest następujšcy wzór na całkowanie przez podstawienie
dla całki oznaczonej a?bg[h(x)]h(x)dx= ??ßg(t)dt. Tw 7.3 (O całkowaniu
przez częci dla całki oznaczonej): Jeżeli funkcje U i V sš klasy C1<a;b>to
a?bU(x)*V(x)dx= U(x)*V(x) ab- a?bU(x)*V(x)dx. ZASTOSOWANIE GEOMETRYCZNE
CAŁKI OZNACZONEJ Tw 8.1 Jeżeli cišgłe na przedziale <a;b> funkcje f1i
f2spełniajš na tym przedziale nierównoć f1(x)? f2(x) to pole D figury D
ograniczonej wykresami tych funkcji i prostymi x= a i x= b wyraża się wzorem
D = a?b[f2(x) - f1(x)]dx. Tw 8.2 Jeli krzywa l jest okrelona równaniami
parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t?<?,ß.> gdzie y(t) jest funkcjš cišgłš
na przedziale <?,ß> a x(t) jest monotonicznš funkcjš klasy c1<?,ß>, to pole
D trapezu krzywoliniowego D ograniczonego tš liniš, osiš ox oraz prostymi x=
a, x= b gdzie x(?)=a, x(ß)=b, dane jest całkš D =??ß y(t)*x(t) dt. Tw 8.3
Łuk AB okrelony równaniem jawnym y= f(x) a?x?b, gdzie f jest funkcjš klasy
C1<a;b> ma długoć l wyrażajšcš się wzorem l= a?b?(1+f 2(x)) dx. Tw 8.4
Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t?<?,ß> jest
łukiem zwykłym oraz funkcje x(t), y(t) sš klasy C1<?,ß> to jej długoć l
wyraża się całkš l= ??ß ?( x 2(t)+y 2(t))dt Tw 8.5 Objętoć V bryły V
powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego
odpowiadajšcego cišgłej na przedziale <a;b> funkcji f, wyraża się całkš V =?
a?bf 2(x)dx. Tw 8.6 Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci
parametrycznej x= x(t), y= y(t), t?<?,ß> oraz funkcje x= x(t) i y= y(t) sš
klasy C1<?,ß>,funkcja x(t) jest cile monotoniczna i y(t) nieujemna, to
objętoć bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu
krzywoliniowego dana jest wzorem V =? ??ß y 2 (t)*x(t)dt. Tw 8.7 Pole S
powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y=
f(x) a?x?b, gdzie f jest funkcjš klasy C1<a;b> wyraża się całkš S =2?a?bf(x)
?(1+f 2(x) dx. CAŁKI NIEWŁACIWE PRZEDZIAŁ NIEOGRANICZONY Def: Niech
funkcja f jest całkowalna na każdym przedziale <a;b>, gdzie a<b<+? i
okrelona na przedziale <a;+?). Jeżeli istnieje granica lim(b+?) a?bf(x)dx
to nazywamy jš całkš niewłaciwš funkcji f na przedziale nieskończonym
<a;+?) i oznaczamy a??f(x)dx= lim(b?) a?b f(x)dx FUNKCJA NIEOGRANICZONA
Def: Jeżeli funkcja f jest okrelona na przedziale <a;b> oraz całkowalna na
każdym przedziale <a;b-?> i nieograniczona na każdym przedziale <b-?;b), a
ponadto jeżeli istnieje granica lim(?0+) a?b-? f(x)dx to nazywamy jš całkš
niewłaciwš funkcji f nieograniczonej na <a;b> i oznaczamy a?b f(x)dx=
lim(?0+) a?b-?f(x)dx. SZEREGI Niech (an) będzie dowolnym cišgiem liczb
rzeczywistych. Cišg (Sn) sum Sn = ? od k=1 do n ak nazywać będziemy
szeregiem liczbowym . Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a liczbę Sn
nazywamy n-tš sumš częciowš tego szeregu. Szereg jest cišgiem sum
częciowych. Szereg nazywamy zbieżnym, gdy istnieje granica skończona
limSn=S, natomiast rozbieżnym, gdy nie istnieje. Szereg zbieżny ma sumę,
Warunek konieczny zbieżnoci szeregu: liman=0. Tw1: Jeżeli cišg sum
częciowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to
szereg jest zbieżny. Tw2. Jeżeli wyrazy szeregów ?(od n=1 do ?) an oraz ?
(od n=1 do ?) bn sš nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m.,
że dla każdego n>m. Jest spełniona nierównoć an<=bn to z e zbieżnoci
szeregu bn wynika zbieżnoć an i odwrotnie. Tw3. (kryteruim dAlemberta).
Jeżeli wyrazy szeregu sš dodatnie oraz istnieje gralica lim an+1/an = g to
szereg jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozbieżny, gdy 1<1<=+?. Tw4. (Cauchy
ego o iloczynie). Jeżeli szeregi ?an i ?bn sš zbieżne, przy czym co
najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to ich iloczyn jest
zbieżny, przy czym suma szeregu jest równa iloczynowi sum szeregów. SZEREGI
FUNKCYJNENiech (fn(x)) będzie dowolnym cišgiem funkcji rzeczywistych jednej
zmiennej rzeczywistej, okrelonej na zbiorze X. Cišg (Sn(x)) sum Sn(x)=?(od
k =1 do n) fk(x) nazywamy szeregiem funkcyjnym. Szereg ?(od n=1 do ?)fn(x)
(1) nazywamy zbieżnym na zbiorze X do sumy S(x) i piszemy ?fn(x)=s(x) , gdy
Sn(x)->S(x). Szereg nazywamy rozbieżnym na zbiorze X , gdy cišg (Sn(x)) jest
na tym zbiorze rozbieżny. Szereg nazywamy jednostajnie zbieżnym na zbiorze X
do sumy s(x) , gdy Sn(x) ? S(x). Jeżeli szereg jest zbieżny na zbiorze X, a
ponadto zbieżny jest na tym zbiorze szereg ?(n=1 ?) |fn(x)| (*) to szereg
nazywamy bezwzględnie zbieżnym na zbiorze X. Tw1. Jeżeli szereg (*) jest
zbieżny na zbiorze X, to szereg (1) jest także zbieżny na tym zbiorze. Tw2
(kryterium Weierstrassa). Jeżeli istnieje taka liczba m?N, że dla każdego
n>=m. I dla każdego x?X spełniona jest nierównoć |fn(x)|<=an, przy czym
szereg ? (n=1,?)an jest zbieżny, to szereg (1) jest zbieżny na zbiorze X
jednostajnie i bezwzględnie. (?cosnx/n2+x2 ). SZEREGI POTĘGOWEPostać:
?(n=0,?) an(x-x0)don, czyli szereg
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)do2+...+an(x-x0)don+... Litera x oznacza tu zmiennš
rzeczywistš, symbol x0-ustalonš wartoć tej zmiennej, a symb. a0,a1,... sš
to l. rzeczywiste zwane współczynnikami szeregu. Tw1. Jeżeli R=0 (promien
zbieżnoci-kres górny zbioru wart. X, dla których szereg jest zbieżny) to
szereg jest zbieżny tylko w p.=0. Jeżeli 0<R<?, to szereg jest zbież w
przedz. (-R;R), rozbieżny w przeciw. Tw.2 Jeżeli instn, gran.
Lin(n->?)|an+1/an| = ? to prom. Zbieżn. R szeregu = 0 dla ? =+?, 1/?, gdy
0<?<+?, za ? gdy ? = 0. Tw3. Jeżeli szereg ma prom. zbieżny R > 0, to dla
każdego r ? (0;R) szereg ten jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie na
przedziale <-r;r> (Suma szeregu jest cišgła na przedziale (-R;R)).