Czy pierwiastek parzystego stopnia z l. rzecz to zbiór 2 el.?

[Jacek Marcin Jaworski]

Cześć!
Ostatnio na wykł. z algebry na 1 r. st. inf. zao. wykładowczyni powiedziała, że:
1. Pierwiastek n-tego st. z l. zesp. to zb. n el.
2. Zastrzegła, że w zb. l. rzecz. to nie ma miejsca. Wyjątkiem są jedynie równania.
3. Na moje pyt.: Czemu to nie zachodzi dla pierw. parzystych z l. rzecz.?
4. Odpowiedziała: W l. rzecz. pierwiastek zawsze zwraca jedną l. dodatnią.
Dla mnie to co ona powiedziała to nonsens, który nawet ja potrafię udowodnić:
4^1/2 = {-2, 2}
Tego nie obali nawet Bóg Ojciec!
A może Wy jesteście w stanie to obalić?

[Nemrod]

Post by Jacek Marcin Jaworski
Cześć!
1. Pierwiastek n-tego st. z l. zesp. to zb. n el.

No i bardzo dobrze. Tyle, że pewnie nie powiedziała jaka jest
konstrukcja tego zbioru i stąd masz problem.

Post by Jacek Marcin Jaworski
2. Zastrzegła, że w zb. l. rzecz. to nie ma miejsca.

Co tu zastrzegać? Nic nie powinna zastrzegać. Liczby
rzeczywiste traktuje się jak podzbiór liczb zespolonych.
Dlatego pierwiastki z liczb rzeczywistych (czyli z Im z = 0)
n-tego stopnia też dają zbiory n-elementowe w dziedzinie
liczb zespolonych. Pierwiastki w dziedzinie liczb rzeczywistych
z danej liczby są albo dwa, albo jeden, albo nie ma ich wcale.

Post by Jacek Marcin Jaworski
Wyjątkiem są jedynie równania.

Jakie równania?

Post by Jacek Marcin Jaworski
3. Na moje pyt.: Czemu to nie zachodzi dla pierw. parzystych z l. rzecz.?

No to wyciągnij se pierwiastek 4 rzędu z 16. Nie otrzymasz 4
pierwiastków w R.

Post by Jacek Marcin Jaworski
4. Odpowiedziała: W l. rzecz. pierwiastek zawsze zwraca jedną l. dodatnią.

Jakieś bzdury. W liczbach R pierwiastek parzystego stopnia z ujemnej
liczby nic nie zwraca, prędzej błąd zwraca. A pierwiastek z ujemnej
liczby ale nieparzystego stopnia zwraca liczbę ujemną. Natomiast
definiuje się FUNKCJĘ pt. Pierwiastek n-ego rzędu z liczby y w R+
jako *dodatnie* rozwiązanie równania: x^n = y.

Post by Jacek Marcin Jaworski
4^ 1/2 = {-2, 2}

Dla pierwiastka kwadratowego masz szczęście. Spróbuj z wyższymi rzędami,
sprawdź czy wyciągniesz więcej niż dwa pierwiastki. Dlatego to co
powiedziała to nie żaden nonsens. To ty nie rozumiesz.

Post by Jacek Marcin Jaworski
(...) A może Wy jesteście w stanie to obalić?

W kwestii obalania twoich wypocin, wydaje się możliwe, że niedokładnie
uważałeś na zajęciach i dlatego częściowo błędnie opisałeś konwersację
z tą twoją nauczycielką.

A jeżeli już na tym etapie studiów masz takie problemy, to może znaczyć,
że szanse na zaliczenie masz stosunkowo małe. Módl się i pracuj,
to taka rada na przyszłość.
--
Nemrod Vargardsson

Pwt 32,41 Gdy miecz błyszczący wyostrzę
i wyrok wykona ma ręka,
na swoich wrogach się pomszczę,
odpłacę tym, którzy Mnie nienawidzą.
42 Upoję krwią moje strzały,
mój miecz napasie się mięsem,
krwią poległych i uprowadzonych,
głowami dowódców nieprzyjacielskich.

[Maciej Wozniak]

Post by Jacek Marcin Jaworski
Cześć!
1. Pierwiastek n-tego st. z l. zesp. to zb. n el.
2. Zastrzegła, że w zb. l. rzecz. to nie ma miejsca. Wyjątkiem są jedynie równania.
3. Na moje pyt.: Czemu to nie zachodzi dla pierw. parzystych z l. rzecz.?
4. Odpowiedziała: W l. rzecz. pierwiastek zawsze zwraca jedną l. dodatnią.
4^1/2 = {-2, 2}
Tego nie obali nawet Bóg Ojciec!
A może Wy jesteście w stanie to obalić?

Funkcja pierwiastek w zespolonych i funkcja pierwiastek w rzeczywistych
są trochę inaczej zdefiniowane, i tyle. sqrt(4)=2.

[Przemysław Kwiatkowski]

Post by Jacek Marcin Jaworski
1. Pierwiastek n-tego st. z l. zesp. to zb. n el.
2. Zastrzegła, że w zb. l. rzecz. to nie ma miejsca. Wyjątkiem są jedynie równania.
3. Na moje pyt.: Czemu to nie zachodzi dla pierw. parzystych z l. rzecz.?
4. Odpowiedziała: W l. rzecz. pierwiastek zawsze zwraca jedną l. dodatnią.
4^1/2 = {-2, 2}

Oj, po prostu Ty (a może i ona też) mieszasz pojęcia. Nie ma czegoś
takiego jak "po prostu pierwiastek".
- Jest pierwiastek algebraiczny, definiowany dla wielomianu - czyli
miejsce zerowe tego wielomianu (jest ich n dla wielomianu n-go stopnia,
uwzględniając krotność).
- Jest pierwiastek arytmetyczny, zdefiniowany jedynie dla liczb
rzeczywistych (istnieje co najwyżej jeden, bo dla wykładników parzystych
z definicji przyjmuje się dodatni wynik).
- Jest pierwiastek zespolony, zdefiniowany dla liczb zespolonych, który
jest de facto pierwiastkiem algebraicznym pewnego szczególnego
wielomianu: z^n=x (i jest zbiorem co najwyżej n-elementowym; a dla
wykładników parzystych i Im x=0 dostajemy zbiór 2-elementowy)
- I wreszcie jest też pierwiastek główny (zespolony), który jest jeden,
i który jest tym spośród pierwiastków zespolonych, który ma najmniejszy
nieujemny argument. I można go traktować jako rozszerzenie pojęcia
pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone. (Dla rzeczywistych
dodatnich - pokrywają się.)
Ot, i cała filozofia... (albo dopiero jej początek)

[Przemysław Kwiatkowski]

a dla wykładników parzystych i Im x=0 dostajemy zbiór 2-elementowy)

No dobra... skreślić ten fragment. Przesadziłem. :-)

(Oczywiście istnieją np. 4 różne pierwiastki zespolone czwartego stopnia
z 1.)

[Jacek Marcin Jaworski]

Bardzo dziękuję za rzeczowe i logiczne wyjaśnienie.

Post by Przemysław Kwiatkowski
- Jest pierwiastek arytmetyczny, zdefiniowany jedynie dla liczb
rzeczywistych (istnieje co najwyżej jeden, bo dla wykładników parzystych
z definicji przyjmuje się dodatni wynik).

Właśnie ja specjalnie się jej zapytałem: Czy to, że pierwiastek w liczbach rzeczywistych jest zawsze dodatni zostało udowodnione czy to jakaś konwencja?
I ona powiedziała, że to zostało udowodnione.
Podczas gdy najprostszy dowód obala tą głupotę, bo:
1^1/2 = 1^2 lub -1^2, czyli tak na prawdę:
1^1/2 = {-1, 1}

Post by Przemysław Kwiatkowski
Ot, i cała filozofia... (albo dopiero jej początek)

Na moje to wałek, bo nie wierzę, by geniusze matematyczni mieli problem z takim banałem jak wynik pierwiastkowania liczby rzeczywistej...

Post by Przemysław Kwiatkowski
--
MiCHA

Szacun!
Jacek Marcin

[Przemysław Kwiatkowski]

Post by Jacek Marcin Jaworski
Bardzo dziękuję za rzeczowe i logiczne wyjaśnienie.

Post by Przemysław Kwiatkowski
- Jest pierwiastek arytmetyczny, zdefiniowany jedynie dla liczb
rzeczywistych (istnieje co najwyżej jeden, bo dla wykładników parzystych
z definicji przyjmuje się dodatni wynik).

Właśnie ja specjalnie się jej zapytałem: Czy to, że pierwiastek w liczbach rzeczywistych jest zawsze dodatni zostało udowodnione czy to jakaś konwencja?
I ona powiedziała, że to zostało udowodnione.

To jest definicja. I koniec.

Post by Jacek Marcin Jaworski

Post by Przemysław Kwiatkowski
Ot, i cała filozofia... (albo dopiero jej początek)

Na moje to wałek, bo nie wierzę, by geniusze matematyczni mieli problem z takim banałem jak wynik pierwiastkowania liczby rzeczywistej...

Definicji się nie udowadnia. Definicja po prostu jest. Tak samo jak nie
ma co dowodzić, że "istnieje zero". Pierwiastek arytmetyczny jest
zasadniczo funkcją R+ -> R+ (z zerem). Dla wykładników nieparzystych
rozszerza się tą definicję dla całego R, ale to jest wyjątek.
Generalnie funkcja "potęga arytmetyczna" jest zdefiniowana dla
wykładników wymiernych (i tym bardziej dla rzeczywistych) tylko jako R+
-> R+ (z zerem). Inaczej nie miałoby sensu, bo...
(-27)=(-3)^3=(-3)^(6/2)=((-3)^6)^(1/2)=729^(1/2)=27

[J.F.]

Użytkownik "Jacek Marcin Jaworski" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:eeb76332-5e34-4ec0-8053-***@googlegroups.com...
Bardzo dziękuję za rzeczowe i logiczne wyjaśnienie.

Post by Jacek Marcin Jaworski

Post by Przemysław Kwiatkowski
- Jest pierwiastek arytmetyczny, zdefiniowany jedynie dla liczb
rzeczywistych (istnieje co najwyżej jeden, bo dla wykładników parzystych
z definicji przyjmuje się dodatni wynik).

Właśnie ja specjalnie się jej zapytałem: Czy to, że pierwiastek w
liczbach rzeczywistych jest zawsze dodatni zostało udowodnione czy to
jakaś konwencja?

konwencja.

pierwiastek stopnia N z liczby, ma N wartosci zespolonych, z ktorych
jedna lub dwie moga byc czysto rzeczywiste.

Jak sie nie mowi o liczbach zespolonych, to sie o tych innych
wartosciach nie mowi ... lub mowi.
Jak wygodniej.


J.