Odwzorowanie zerowe

[MarcinS]

Witam! Mam następujące problem z którym się nie mogę uporać:

Dane są odwzorowania liniowe A:R^m\to R^n, B:R^m\to R^m oraz C:R^n\to R^n.
Jak z równości AB=CA wywnioskować, że A=0 wiedząc że
\sigma(B)\cap\sigma(C)=0 (spektrum B i spektrum C kroją się pusto)?

Doszedłem jak narazie do wniosku, że Ax=0, jeśli x jest wektorem własnym B.
Mogę prosić o wskazówkę, jak wykazać, że Ax=0 dla wszystkich x\in R^m?

[Kasia D.]

Dane s=B1 odwzorowania liniowe A:R^m\to R^n, B:R^m\to R^m oraz C:R^n\to R=

^n.

Jak z r=F3wno=B6ci AB=3DCA wywnioskowa=E6, =BFe A=3D0 wiedz=B1c =BFe
\sigma(B)\cap\sigma(C)=3D0 (spektrum B i spektrum C kroj=B1 si=EA pusto)?
Doszed=B3em jak narazie do wniosku, =BFe Ax=3D0, je=B6li x jest wektorem =

w=B3asnym B.

Mog=EA prosi=E6 o wskaz=F3wk=EA, jak wykaza=E6, =BFe Ax=3D0 dla wszystkic=

h x\in R^m?
Jesli rozwazasz B i C nad liczbami zespolonymi (a czemu nie, skoro i tak
musisz uwzgledniac ich zespolone wartosci wlasne - inaczej teza zadania
bylaby falszywa), to zostaje Ci tylko pokazac Ax=3D0 dla wektorow
pierwiastkowych B. Robi sie to prawie tak samo jak dla wektorow wlasnych.

--=20
z domeny math.uni.wroc.pl
pozdrawia Kasia

[MarcinS]

Post by Kasia D.

Post by MarcinS
Dane są odwzorowania liniowe A:R^m\to R^n, B:R^m\to R^m oraz C:R^n\to R^n.
Jak z równości AB=CA wywnioskować, że A=0 wiedząc że
\sigma(B)\cap\sigma(C)=0 (spektrum B i spektrum C kroją się pusto)?
Doszedłem jak narazie do wniosku, że Ax=0, jeśli x jest wektorem własnym B.
Mogę prosić o wskazówkę, jak wykazać, że Ax=0 dla wszystkich x\in R^m?

Jesli rozwazasz B i C nad liczbami zespolonymi (a czemu nie, skoro i tak
musisz uwzgledniac ich zespolone wartosci wlasne - inaczej teza zadania
bylaby falszywa), to zostaje Ci tylko pokazac Ax=0 dla wektorow
pierwiastkowych B. Robi sie to prawie tak samo jak dla wektorow wlasnych.

Przepraszam, co to są wektory pierwiastkowe?
Pierwszy raz się spotykam z tym pojęciem,
chciaż dużo czasu poświęcam matematyce.

p.s. Bardzo proszęo odpowiedź, bez "wyguglaj sobie" :)

[Kasia D.]

Przepraszam, co to s=B1 wektory pierwiastkowe?

Definicja jest taka: wektor x nazywamy wektorem pierwiastkowym
odwzorowania A dla wartosci wlasnej t, jezeli istnieje takie n, ze
(A-t*Id)^n(x) =3D 0. (Szczegolnym przypadkiem wektora pierwiastkowego
dla n =3D 1 jest wektor wlasny.) Nie wiem, czy to jest standardowa
terminologia. Jest np. u Kostrykina-Manina.

Ale tak naprawde chodzilo mi po prostu o pozostale elementy bazy Jordana
odwzorowania B - w przypadku nietrywialnych klatek one nie sa wektorami
wlasnymi, ale sa pierwiastkowymi. Np. dla klatki 2x2 masz w bazie wektor
wlasny, powiedzmy x, o ktorym juz pokazales, ze Ax =3D 0, i masz drugi
wektor y, o ktorym wiesz, ze B(y) =3D t*y + x (czyli (B-t*Id)^2(y)=3D
(B-t*Id)(x) =3D 0). Latwo wtedy pokazac, ze A(y) =3D 0. Dla wiekszych klate=
k
indukcyjnie.

--=20
z domeny math.uni.wroc.pl
pozdrawia Kasia

[Maciej Marek]

Post by Kasia D.
Definicja jest taka: wektor x nazywamy wektorem pierwiastkowym
odwzorowania A dla wartosci wlasnej t, jezeli istnieje takie n, ze
(A-t*Id)^n(x) = 0.  (Szczegolnym przypadkiem wektora pierwiastkowego
dla n = 1 jest wektor wlasny).

Ja spotkałem się z nazwą: "wektor główny".

Pozdrawiam
Maciej Marek

[MarcinS]

Dnia 21 Mar 2005 09:05:53 +0100, Maciej Marek

Post by Maciej Marek

Post by Kasia D.
Definicja jest taka: wektor x nazywamy wektorem pierwiastkowym
odwzorowania A dla wartosci wlasnej t, jezeli istnieje takie n, ze
(A-t*Id)^n(x) = 0.  (Szczegolnym przypadkiem wektora pierwiastkowego
dla n = 1 jest wektor wlasny).

Ja spotkałem się z nazwą: "wektor główny".
Pozdrawiam
Maciej Marek

Perko pisze np. "generalized eigenvector". Jak to można rozumieć?

[Maciej Marek]

Post by MarcinS
Perko pisze np. "generalized eigenvector". Jak to można rozumieć?

Uogólniony wektor własny.

Pozdrawiam
Maciej Marek

[MarcinS]

Post by MarcinS

Post by Kasia D.

Post by MarcinS
Dane są odwzorowania liniowe A:R^m\to R^n, B:R^m\to R^m oraz C:R^n\to R^n.
Jak z równości AB=CA wywnioskować, że A=0 wiedząc że
\sigma(B)\cap\sigma(C)=0 (spektrum B i spektrum C kroją się pusto)?
Doszedłem jak narazie do wniosku, że Ax=0, jeśli x jest wektorem własnym B.
Mogę prosić o wskazówkę, jak wykazać, że Ax=0 dla wszystkich x\in R^m?

Jesli rozwazasz B i C nad liczbami zespolonymi (a czemu nie, skoro i tak
musisz uwzgledniac ich zespolone wartosci wlasne - inaczej teza zadania
bylaby falszywa), to zostaje Ci tylko pokazac Ax=0 dla wektorow
pierwiastkowych B. Robi sie to prawie tak samo jak dla wektorow wlasnych.

Przepraszam, co to są wektory pierwiastkowe?
Pierwszy raz się spotykam z tym pojęciem,
chciaż dużo czasu poświęcam matematyce.
p.s. Bardzo proszęo odpowiedź, bez "wyguglaj sobie" :)

Racja, dziękuję za odpowiedź. Ja nazywam wektor pierwiastkowy "uokólnionym
wektorem własnym". :)

[MarcinS]

Post by Kasia D.

Post by MarcinS
Dane są odwzorowania liniowe A:R^m\to R^n, B:R^m\to R^m oraz C:R^n\to R^n.
Jak z równości AB=CA wywnioskować, że A=0 wiedząc że
\sigma(B)\cap\sigma(C)=0 (spektrum B i spektrum C kroją się pusto)?
Doszedłem jak narazie do wniosku, że Ax=0, jeśli x jest wektorem własnym B.
Mogę prosić o wskazówkę, jak wykazać, że Ax=0 dla wszystkich x\in R^m?

Jesli rozwazasz B i C nad liczbami zespolonymi (a czemu nie, skoro i tak
musisz uwzgledniac ich zespolone wartosci wlasne - inaczej teza zadania
bylaby falszywa), to zostaje Ci tylko pokazac Ax=0 dla wektorow
pierwiastkowych B. Robi sie to prawie tak samo jak dla wektorow wlasnych.

Jeśli x - wektor pierwiastkowy B oznacza tyle że x\in ker(B), to teza że
Ax=0
jest trywialna. Prosiłbym jeszcze o jakieś naprowadzenie, dlaczego
to implikuje, że A=0.