odleglosc na powierzchni sfery

[Juliusz Cwiakalski]

witam!!!
wymyslilem sobie taki oto problem:
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery

i zaznaczam ze nie chodzi o obliczenie odleglosci w lini prostej (czyli
jakby sie przebic przez sfere) tylko jaka najkrotsza droge nalezy pokonac
po powierzchni sfery aby dostac sie z pkt A do pkt B

wiem ze problem jest prosty, ale mam po wakacyjnym odmuzdzeniu totalne
zacmienie i nie moge wymyslic (zreszta z analizy nigdy nie bylem najlepszy)

rozwieje wszelkie watpliwosci - chodzi o obliczanie odleglosci miedzy
pktami na kuli ziemskiej (np miedzy miastami)

wdzieczny bede za wszelkie wskazowki

pozdr.
zulu

[PFG]

Post by Juliusz Cwiakalski
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery

Każdy sposób zgodny z definicją metryki będzie dobry :-)
Zazwyczaj odległość liczy się wdłuż koła wielkiego, biorąc krótszy
z dwumożliwych łuków.

[Adam Kolany]

Post by PFG

Post by Juliusz Cwiakalski
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery

Każdy sposób zgodny z definicją metryki będzie dobry :-)
Zazwyczaj odległość liczy się wdłuż koła wielkiego, biorąc krótszy
z dwumożliwych łuków.

do mierzenia odległości na powierzchniach gładkich, o ile pamiętam,
służy tensor metryczny.

[PFG]

Post by Adam Kolany

Post by PFG

Post by Juliusz Cwiakalski
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery

Każdy sposób zgodny z definicją metryki będzie dobry :-)
Zazwyczaj odległość liczy się wdłuż koła wielkiego, biorąc krótszy
z dwumożliwych łuków.

do mierzenia odległości na powierzchniach gładkich, o ile pamiętam,
służy tensor metryczny.

Czy uważasz, że pomogłeś pytaczowi, czy też twoja odpowiedź jakkolwiek
kwestionuje moją?

[Adam Kolany]

Post by PFG

Post by Adam Kolany

Post by PFG

Post by Juliusz Cwiakalski
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery

Każdy sposób zgodny z definicją metryki będzie dobry :-)
Zazwyczaj odległość liczy się wdłuż koła wielkiego, biorąc krótszy
z dwumożliwych łuków.

do mierzenia odległości na powierzchniach gładkich, o ile pamiętam,
służy tensor metryczny.

Czy uważasz, że pomogłeś pytaczowi, czy też twoja odpowiedź jakkolwiek
kwestionuje moją?

a co to ma do rzeczy? może on niech się raczej teraz wypowie?

bardziej merytorycznie:
uprzedziłem jego ew. uogólnienie pytania na np. elipsoidę obrotową.

[Damian Sobota]

Post by Juliusz Cwiakalski
witam!!!
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na
powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery
(...)
wdzieczny bede za wszelkie wskazowki

Oto wskazowka: Przez każde dwa punkty na sferze da sie poprowadzić okrąg
o środku równym środkowi sfery, a co za tym idzie obliczenie odległości
między dwoma punktami to po prostu obliczenie długości najkrótszego
łuku, który jest wyznaczony przez te dwa punkty.

Zadanie prawde mowiac na poziomie 1 klasy gimnazjum :). Dasz rade dalej sam.

[Juliusz Cwiakalski]

Post by Damian Sobota
Oto wskazowka: Przez każde dwa punkty na sferze da sie poprowadzić
okrąg o środku równym środkowi sfery, a co za tym idzie obliczenie
odległości między dwoma punktami to po prostu obliczenie długości
najkrótszego łuku, który jest wyznaczony przez te dwa punkty.
Zadanie prawde mowiac na poziomie 1 klasy gimnazjum :)

tym gimnazjum to mi wjechales na ambicje ;-)

twoja wskazowke wymyslilem juz wczoraj ale jakos do niczego mnie to nie
doprowadzilo - mialem totalne zacmienie... a teraz spojrzalem na to troche
bardziej wyspany i wszystko stalo sie jasne!!! ;-)

wystarczy znac kat miedzy wektorami wodzacymi tych punktow na sferze...
potem odleglosc to juz dlugosc luku okregu o promieniu sfery i tymze kacie
(potocznie mowiac)... a wiec:

mamy dane wsp. sferyczne A = (p_{a}, s_{a}) i B = (p_{b}, s_{b}) (promien
r jest ustalony )
p - kat miedzy rzutem promienia wodzacego na plaszczyzne xOy a osia oX
wiec 0 <= p <= 2pi
s - kat miedzy promieniem wodzacym pktu a plaszczyzna xOy
-pi/2 <= s <= pi/2

wsp kartezjanskie pktow A i B oznacze odpowiednio przez (x_{a},y_{a},z{a})
i (x_{b},y_{b},z_{b})

mamy wiec:
x_{a} = r * cos(p_{a}) * cos(s_{a})
y_{a} = r * sin(p_{a}) * cos(s_{a})
z_{a} = r * sin(s_{a})
i analogicznie
x_{b} = r * cos(p_{b}) * cos(s_{b})
y_{b} = r * sin(p_{b}) * cos(s_{b})
z_{b} = r * sin(s_{b})

kat miedzy wektorami A i B (oznaczmy go przez k) wyliczymy z iloczynu
skalarnego: <A,B> = |A| * |B| * cos (k)
wiec
k = arccos( <A,B> / (|A| * |B|))
i teraz odleglosc miedzy punktami A i B po powierzchni sfery (oznaczmy
d_{S}(A,B)) wynosi:
d_{S}(A,B) = (k / 2pi) * r - gotowe ;-)

aha, przez <A,B> rozumiem euklidesowy iloczyn skalarny czyli:
<A,B> = x_{a}*x_{b} + y_{a}*y_{b} + y_{a}*y_{b}
oraz |A| oznaczylem dlugosc wektora wiec:
|A| = \sqrt{(x_{a})^2 + (y_{a})^2 + (z_{a})^2}

prosze o przesledzenie i ew. zweryfikowanie mojego toku myslenia
dziekuje bardzo
pozdr.
zulu

[TEMPVS]

O wiele ciekawszym wydaje się być problem rozmieszczenia n punktów na sferze
tak, aby najmniejsza odległośc między nimi była jak największa, zwłaszcza
dla pechowego n=13...

[TEMPVS]

Post by TEMPVS
O wiele ciekawszym wydaje się być problem rozmieszczenia n punktów na sferze
tak, aby najmniejsza odległośc między nimi była jak największa

Czy przynajmnie ktoś może odpowiedzieć na pytanie, czy ten problem jest
równoważny problemowi rozmieszczenia n punktów na sferze tak, aby utworzony
z nich wielościan miał jak największą objętość, czy też nie jest równoważny?

[Andrzej]

Post by Juliusz Cwiakalski
witam!!!
mamy jakas sfere o zadanym promieniu, mamy jakies 2 pkty na powierzchni
tej sfery (mamy podane ich wspolrzedne sferyczne) i jak obliczyc odleglosc
tych punktow od siebie po powierzchni sfery

Zadanie, ktore sobie wymysliles znane jest nawigatorom morskim [a takze
lotniczym od poczatku XX wieku] od bardzo dawna. Chodzi o linie zwana
ortodroma, ktora laczy dwa punkty na sferze i jest odcinkiem tzw kola
wielkiego, czyli okregu przechodzacego przez dwa punkty na powierzchni kuli,
ktorego srodek stanowi srodek kuli. Przykladem kola wielkiego jest rownik. Aby
obliczyc dlugosc ortodromy nalezy skorzystac ze wzoru
cosC = sinAsinB + cosAcosBcosR gdzie:
A - szerokosc geogr puntu A
B - szerokosc geogr punktu B
R - roznica dlugosci geogr pomiedzy punktami A i B [jezeli punkty leza po
obu stronach poludnika 0 dlugosci geograficzne A i B nalezy do siebie dodac
Wynik nalezy zamienic na kat [zobaczyc jakiemu katowi odpowiada otrzymana
wartosc cosinusa], a nastepnie ten kat zamienic na minuty pamietajac, ze 1
stpien = 60 minut Nastepnie nalezy liczbe minut pomnozyc przez 1852 m, czyli
dlugosc jednej minuty na kole wielkim.
Jezeli te zagadnienia Cie interesuja polecam ksiazke Trygonometria dla
nawigatorow, gdzie podano wyprowadzenie tego wzoru, a takze innych wzorow z
trygonometrii sferycznej majacych zastosowania w nawigacji. Problem ortodromy
widac najlepiej kiedy lecimy samolotem z Warszawy do Chicago. Zamiast leciec
wprost na zchod, samolot poleci wpierw w kierunku Kolobrzegu, pozniej bedzie
lecial nad pln Szkocja, przeleci kolo Grenlandii i dalej poleci na pld -
zachod. Ten luk jest nakrotsza droga, czyli odcinkiem kola wielkiego.Ciekawe
jest tez to, skad pilot [kapitam statku] ma wiedziec jaki ma byc poczatkowy
kurs. To tez sie oblicza ze wzoru. Wszystko to znajdziesz w:
Dane bibliograficzne w/w ksiazki:
Klekowski Stanislaw, Trygonometria dla nawigatorow, Wydawnictwo Morskie
Gdansk 1979. Moze w jakiejs bibliotece [na wyzszych uczelniach zwiazanych z
naukami scislymi na pewno] ja znajdziesz. Pozdrowienia. Andzrej