Liczby bezkwadratowe. ZADANIE i otwarte pytania.

[Wlodzimierz Holsztynski]

Liczbe naturalna nazywamy bezkwadratowa,
gdy nie jest podzielna przez kwadrat
zadnej liczby naturalnej, wiekszej od 1.

Na przyklad liczby pierwsze 2 3 5 7 11 13 ...
sa wszystkie bezkwadratowe, podobnie
iloczyny dwoch ROZNYCH liczb pierwszych:
6 10 14 15 21 22 26 ...;
podobnie trzech roznych: 30 42 70 105 ...
i w ogole wszelakie iloczyny skonczone
ROZNYCH liczb pierwszych, i tylko one.

Liczby bezkwadratowe bede tez nazywal parterowymi
(bo kazdy czynnik pierwszy wystepuje parterowo),
a pozostale nazwe pietrowymi. Na przyklad
pietrowymi liczbami sa

4 8 9 12 18 24 25 27 28 ...

***

ZADANIE Udwodnij twierdzenie:
=======

kazda liczba naturalna x > 1 jest
suma dwoch liczb bezkwadratowych.

***

Niech:

AB :=

{(a b) \in N^2 : a < b i gcd(a b) = 1}

oraz

AB(x) := {(a b) \in AB : a+b=x}

PYTANIE 1 Czy dla dowolnej liczby naturalnej
========= x > 1 istnieje (a b) \in AB(x)
takie, ze obie liczby a b sa bezkwadratowe?

***

Powyzsze zadanie i pytanie kojarzy sie
z hipoteza Goldbacha, o tym ze kazda
liczba parzysta > 2 jest suma dwoch
liczb pierwszych. Jednak 6 = 3+3
nie jest suma dwoch *roznych* liczb pierwszych
-- tylko rozklad 6 = 1 + 5 daje
pozytywna odpowiedz na powyzsze PYTANIE
dla x=6. Co prawda 6 jest chyba jedyna
liczba parzysta > 2, ktora nie jest suma
dwoch roznych liczb pierwszych, kto wie.

Z przyjemnoscia mozna zajrzec na strone:

http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

czyli http://tinyurl.com/5lvby

Zwlaszcza zwroccie uwage na wynik Chena (1973, 1978).

***

PYTANIE 2 Czy kazda dostatecznie wielka
========= liczba naturalna x jest suma
pewnych dwoch liczb pietrowych a b, takich
ze (a b) \in AB (czyli (a b) \in AB(x))?

Na przyklad liczba 37 dopuszcza rozklad
pietrowy:

37 = 12 + 25

ale jej wielokrotnosc 111 = 3*37 juz
takiego rozkladu nie posiada (chyba sie
nie myle? :-).

***

Pozdrawiam,

Wlodek



***

[p***@dionizos.zind.ikem.pwr.wroc.pl]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Liczbe naturalna nazywamy bezkwadratowa,
gdy nie jest podzielna przez kwadrat
zadnej liczby naturalnej, wiekszej od 1.
Na przyklad liczby pierwsze 2 3 5 7 11 13 ...
sa wszystkie bezkwadratowe, podobnie
6 10 14 15 21 22 26 ...;
podobnie trzech roznych: 30 42 70 105 ...
i w ogole wszelakie iloczyny skonczone
ROZNYCH liczb pierwszych, i tylko one.
Liczby bezkwadratowe bede tez nazywal parterowymi
(bo kazdy czynnik pierwszy wystepuje parterowo),
a pozostale nazwe pietrowymi. Na przyklad
pietrowymi liczbami sa
4 8 9 12 18 24 25 27 28 ...
***
=======
kazda liczba naturalna x > 1 jest
suma dwoch liczb bezkwadratowych.
***
AB :=
{(a b) \in N^2 : a < b i gcd(a b) = 1}
oraz
AB(x) := {(a b) \in AB : a+b=x}
PYTANIE 1 Czy dla dowolnej liczby naturalnej
========= x > 1 istnieje (a b) \in AB(x)
takie, ze obie liczby a b sa bezkwadratowe?
***
Powyzsze zadanie i pytanie kojarzy sie
z hipoteza Goldbacha, o tym ze kazda
liczba parzysta > 2 jest suma dwoch
liczb pierwszych. Jednak 6 = 3+3
nie jest suma dwoch *roznych* liczb pierwszych
-- tylko rozklad 6 = 1 + 5 daje
pozytywna odpowiedz na powyzsze PYTANIE
dla x=6. Co prawda 6 jest chyba jedyna
liczba parzysta > 2, ktora nie jest suma
dwoch roznych liczb pierwszych, kto wie.
http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html
czyli http://tinyurl.com/5lvby
Zwlaszcza zwroccie uwage na wynik Chena (1973, 1978).
***
PYTANIE 2 Czy kazda dostatecznie wielka
========= liczba naturalna x jest suma
pewnych dwoch liczb pietrowych a b, takich
ze (a b) \in AB (czyli (a b) \in AB(x))?
Na przyklad liczba 37 dopuszcza rozklad
37 = 12 + 25
ale jej wielokrotnosc 111 = 3*37 juz
takiego rozkladu nie posiada (chyba sie
nie myle? :-).

A 1^2*107+2^2 nie spełnia wymagań ???

[p***@dionizos.zind.ikem.pwr.wroc.pl]

Post by p***@dionizos.zind.ikem.pwr.wroc.pl

Post by Wlodzimierz Holsztynski
PYTANIE 2 Czy kazda dostatecznie wielka
========= liczba naturalna x jest suma
pewnych dwoch liczb pietrowych a b, takich
ze (a b) \in AB (czyli (a b) \in AB(x))?
Na przyklad liczba 37 dopuszcza rozklad
37 = 12 + 25
ale jej wielokrotnosc 111 = 3*37 juz
takiego rozkladu nie posiada (chyba sie
nie myle? :-).

A 1^2*107+2^2 nie spełnia wymagań ???

.. jeżeli nie uwzlędnimy 1^n to dla liczb <=1000 nierozkładalne piętrowo
to:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 18 19 20 21 22 23 24 26 27 28 30 32 36
38 39 40 42 44 45 46 48 50 51 54 56 60 62 63 64 66 68 70 72 75 78 80 82 84
86 87 90 92 96 98 100 102 104 105 108 110 111 112 114 116 118 120 122 126
128 132 135 136 138 140 144 147 150 154 156 158 159 160 162 164 168 176 180
182 186 190 192 195 198 200 204 208 210 212 216 222 226 228 230 231 234 236
240 248 252 255 258 260 262 264 266 270 276 280 282 288 300 306 308 312 315
318 320 330 336 342 348 350 354 360 372 378 380 384 390 396 402 408 420 426
432 438 440 450 456 462 470 480 492 498 500 504 510 516 520 522 528 540 552
558 560 570 576 582 588 590 600 612 616 630 642 648 660 666 672 678 680 684
690 702 714 720 726 732 735 738 740 750 756 770 780 792 798 810 816 822 830
834 840 852 870 876 882 888 906 920 924 930 942 960 978 980 984 990

Sorry, za nie skrócenie cytowania w poprzednim poście :(

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
PYTANIE 2 Czy kazda dostatecznie wielka
========= liczba naturalna x jest suma
pewnych dwoch liczb pietrowych a b, takich
ze (a b) \in AB (czyli (a b) \in AB(x))?
Na przyklad liczba 37 dopuszcza rozklad
37 = 12 + 25
ale jej wielokrotnosc 111 = 3*37 juz
takiego rozkladu nie posiada (chyba sie
nie myle? :-).

... jeżeli nie uwzlędnimy 1^n

Liczba 1 nie jest liczba pierwsza, wiec
nie nalezy jej brac pod uwage jako p q
przy reprezentacjach x jako liczby
pietrowej x = p^2*y + q^2*z. W przeciwnym
wypadku kazda liczba naturalna x > 1
bylaby pietrowa, jako ze x = 1^2 + 1^2*(x-1)
(skladniki sumy sa wzglednie pierwsze),
lub dla x > 4 mielibysmy takze x = 2^2 + 1^2*(x-4).
Pojecie pietrowej liczby byloby wtedy zbedne,
jako ze kazda liczba naturalna > 1 bylaby pietrowa.

Dziekuje za tabelke. Gestosc liczb nierokladajacych
sie w sume dwoch pietrowych wydaje sie zmniejszac
(jezeli, jak sadze, jest ich rzeczywiscie
tylko skonczenie wiele, to nic dziwnego :-).

Ponadto niemal nie wystepuja wsrod nich liczby
nieparzyste.

**********************************************
PYTANIE Czy 315 jest najwieksza nieparzysta
liczba naturalna x > 1, ktora nie rozklada
sie w sume dwoch wzglednie pierwszych liczb
pietrowych?
**********************************************

A czy moglbys tabelke sformatowac w przejrzysty
sposob, na przyklad po 10 lub po 20 liczb w linijce
(przy 20 przydalby sie wiekszy odstep posrodku).
Moznaby tez stworzyc oddzielne dwie tabelki dla
liczb parzystych i nieparzystych.

Chyba sam tez sie wezme za napisanie programu.
Gdybys podal swoj kod, to byloby milo (nie ma
koniecznosci--ja i tak napisze po swojemu,
niekoniecznie lepiej :-).

Pozdrawiam,

Wlodek

[p***@dionizos.zind.ikem.pwr.wroc.pl]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Liczbe naturalna nazywamy bezkwadratowa,
gdy nie jest podzielna przez kwadrat
zadnej liczby naturalnej, wiekszej od 1.
Na przyklad liczby pierwsze 2 3 5 7 11 13 ...
sa wszystkie bezkwadratowe, podobnie
6 10 14 15 21 22 26 ...;
podobnie trzech roznych: 30 42 70 105 ...
i w ogole wszelakie iloczyny skonczone
ROZNYCH liczb pierwszych, i tylko one.
Liczby bezkwadratowe bede tez nazywal parterowymi
(bo kazdy czynnik pierwszy wystepuje parterowo),
a pozostale nazwe pietrowymi. Na przyklad
pietrowymi liczbami sa
4 8 9 12 18 24 25 27 28 ...
***
=======
kazda liczba naturalna x > 1 jest
suma dwoch liczb bezkwadratowych.
***
AB :=
{(a b) \in N^2 : a < b i gcd(a b) = 1}
oraz
AB(x) := {(a b) \in AB : a+b=x}
PYTANIE 1 Czy dla dowolnej liczby naturalnej
========= x > 1 istnieje (a b) \in AB(x)
takie, ze obie liczby a b sa bezkwadratowe?

brute force dla x <= 100 000:

dla liczb naturalnych (różnych od 4,6 oraz 3,5,7,9,15) istnieją
rozkłady AB o postaci:

- dla parzystych p1+p2
- dla nieparzystych p1+p2*2

gdzie p1, p2 różne nieparzyste liczby pierwsze. Liczba takich rozkładów (na
oko, z wyresu) wacha się w przedziale [ sqrt(x), 2*sqrt(x) ]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
***
Powyzsze zadanie i pytanie kojarzy sie
z hipoteza Goldbacha, o tym ze kazda
liczba parzysta > 2 jest suma dwoch
liczb pierwszych. Jednak 6 = 3+3
nie jest suma dwoch *roznych* liczb pierwszych
-- tylko rozklad 6 = 1 + 5 daje
pozytywna odpowiedz na powyzsze PYTANIE
dla x=6. Co prawda 6 jest chyba jedyna
liczba parzysta > 2, ktora nie jest suma
dwoch roznych liczb pierwszych, kto wie.

Nie rozumiem :(
Czy chodzi o to, że 6=3+3? Jak tak, to każda liczba 2*pierwsza ma taką
właściwość.

Post by Wlodzimierz Holsztynski
http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html
czyli http://tinyurl.com/5lvby
Zwlaszcza zwroccie uwage na wynik Chena (1973, 1978).

Porażający ;)

[Wlodzimierz Holsztynski]

Ludziska, wklejajcie rozwiaznia!

Wymienianie sie zadaniami i rozwiazaniami
jest odwieczna tradycja i matematyczna gimnastyka.

Post by Wlodzimierz Holsztynski
Liczbe naturalna nazywamy bezkwadratowa,
gdy nie jest podzielna przez kwadrat
zadnej liczby naturalnej, wiekszej od 1.
=======
kazda liczba naturalna x > 1 jest
suma dwoch liczb bezkwadratowych.

Nieco pelniejszym wynikiem, z punktu widzenia abc,
jest wersja:

ZADANIE' Kazda liczba naturalna x > 3 jest
======== suma dwoch liczb bezkwadratowych,
wiekszych od 1.

Tym razem rozklad 4=1+3 juz nas nie zadawala,
ale 4=2+2 owszem.

Wynik z ZADANIA' jest wciaz prosty (raczej latwy).
Nie podaję dalej idacych, gdyz... bylaby to podpowiedz.
Czesto energia kryje sie juz w samym sformulowaniu.
Wiec mocniejsze sformulowanie czesto oszczedza
energie rozwiazujacemu, zamiast wymagac wiekszej.

Pozdrawiam,

Wlodek

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
PYTANIE 2 Czy kazda dostatecznie wielka
========= liczba naturalna x jest suma
pewnych dwoch liczb pietrowych a b, takich
ze (a b) \in AB (czyli (a b) \in AB(x))?

Wyglada na to, ze moj domysl jest prawdziwy.

Nazwijmy liczbe bedaca suma dwoch wzglednie
pierwszych liczb pietrowych "pietrowym dupleksem",
a pozostale liczby nazwijmy plaskimi.

Sprawdzilem liczby x az po 160000 (160K).
Ostatnie trzy otrzymane plaskie liczby nieparzyste,
to 315 (wyliczona w tym watku przez odionizosa),
735 oraz 1155?

Czyzby najwieksza nieparzysta liczba plaska bylo 1155?
Jezeli tak, to wszystkich nieparzystych liczb
plaskich byloby raptem 30:


3 5 7 9 11 15 17 19
21 23 27 39 45 51 55 63
75 87 99 105 111 135 147 159
195 231 255 315 735 1155

Oczywiscie najmniejszym nieparzystym pietrowym
dupleksem jest 2^2+3^2 = 13.

Wsrod parzystych x \< 160000, najwieksza plaska liczba
jest 68250. Czy 68250 jest najwieksza liczba plaska?
-- najwieksza plaska, parzysta?

Na poczatku wszystkie liczby parzyste az po 32
sa plaskie. Najmniejszym pietrowym dupleksem
parzystym jest

34 = 3^2 + 5^2

czyli suma dwoch najmniejszych roznych kwadratow
nieparzystych.

Potem proporcja parzystych liczb plaskich
szybko maleje.

***

Jezeli to kogos interesuje, to przedstawie
program(y) i wiecej statystyki. Programy dalej
pisze leniwie w perlu. Latwo je przetlumaczyc
na C++. Bede wtedy szybsze.

Pozdrawiam,

Wlodek

[Wlodzimierz Holsztynski]

Post by Wlodzimierz Holsztynski
=======
kazda liczba naturalna x > 1 jest
suma dwoch liczb bezkwadratowych.

Kto wciaz chce sam zadanie rozwiazac,
niech nie czyta.



|
--
\
\
\
|
|
|
/
/
|
|
|
\
|
|
\ /
V



ROZWIAZANIE

Niech SD(x) oznacza liczbe liczb pietrowych
(niebezkwadratowych), mniejszych od x. Na
przyklad SD(2) = SD(3) = SD(4) = 0, SD(5)=1,
SD(20) = |{4 8 9 12 16 18}| = 6, itd.

Wystarczy udowodnic, ze SD(x) < (x-1)/2 dla
dowolnego x > 1. Rzeczywiscie, gdyby dla
kazdego a < x liczba a lub b:=x-a byla
pietrowa, to liczb pietrowych byloby co najmniej
(x-1)/2. Gdy liczb pietrowych jest mniej, to
stnieje liczba naturalna a < x taka, ze ani a
ani b:=x-a nie jest pietrowe, czyli x=a+b
jest wymaganym rozkladem na sume bezkwadratowcow.

Liczb naturalnych y < x, ktore sa podzielne
przez 4 jest nie wiecej niz (x-1)/4; podobnie
dla 9 nie wiecej niz (x-1)/9; itd. dla kazdego
kwadratu p^2. Zatem liczb pietrowych < x, czyli
podzielnych przez kwadrat pewnej liczby pierwszej
jest nie wiecej niz: (x-1)/4 + (x-1)/9 + (x-1)/25 + ...
czyli:

SD(x) \< (x-1) * Suma(1/p^2 : p -- liczba pierwsza)

Wystarczy wiec pokazac, ze suma odwrotnosci kwadratow
liczb pierwszych:

SP := Suma(1/p^2 : p -- liczba pierwsza)

jest mniejsza niz 1/2.

Otoz:

SP < 1/4 + Suma(1/n^2 : n=1 mod 2) - 1

Euler pokazal, ze powyzsza "Suma" wynosi pi^2/8,
a Archimedes oszacowal: pi < 22/7. Ponadto median
dwoch ulamkow o dodatnich licznikach i mianownikach
nalezy do przedzialu, ktorego koncami sa te dwa
ulamki, np.

121/98 < (121+3)/(98+2) < 3/2

Stad

pi^2/8 < (22/7)^2 / 8 = 121/98 < 124/100

oraz

SP < 25/100 + 124/100 - 1 = 49/100 < 1/2


KONIEC DOWODU


Kluczem do rozwiazania byla uwaga o SD(x)
oraz oszacowanie: SD(x) < (49/100)*(x-1).
Mozna i warto zaostrzyc to oszacowanie, co
uczynie w nastepnym poscie.

*****

Wlodek