całkowanie funkcji Dirichleta (lub jej podobnej)

[Aerdil Avallac'h]

Witam!
Chciałbym sie zapytać jak obliczyć całke Lebesgue`a funkcji

f(x) = { 1 , dla x należącego do liczb wymiernych
{ 0 , dla x należącego do liczb niewymiernych

w książce mam napisane dokladnie tak:
f(x) = { 0 , x nalezy do wymiernych
{ 1, x nalezy do niewymiernych
i całka Lebesgue`a w przedziale (0,1) jest równa 1

z kolei w drugiej ksiazce pisze dokładnie tak:

f(x) = { 1, x nalezy do wymiernych
{ 0, x nalezy do niewymiernych
całka Lebesgue`a w przedziale <0,1> jest równa 0

dlaczego az taka różnica jest ?

_____________
Best regards
Aerdil

[Jakub Wroblewski]

Witam,

Post by Aerdil Avallac'h
f(x) = { 0 , x nalezy do wymiernych
{ 1, x nalezy do niewymiernych
i całka Lebesgue`a w przedziale (0,1) jest równa 1
f(x) = { 1, x nalezy do wymiernych
{ 0, x nalezy do niewymiernych
całka Lebesgue`a w przedziale <0,1> jest równa 0
dlaczego az taka różnica jest ?

A jaka? Ja nie widze istotnej roznicy. Zauwaz, ze (pierwsza definicja) = 1 -
(druga definicja), wiec nic dziwnego, ze calki tez sie w ten sposob roznia.

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski

[Aerdil Avallac'h]

Post by Jakub Wroblewski

Post by Aerdil Avallac'h
f(x) = { 0 , x nalezy do wymiernych
{ 1, x nalezy do niewymiernych
i całka Lebesgue`a w przedziale (0,1) jest równa 1
f(x) = { 1, x nalezy do wymiernych
{ 0, x nalezy do niewymiernych
całka Lebesgue`a w przedziale <0,1> jest równa 0
dlaczego az taka różnica jest ?

A jaka? Ja nie widze istotnej roznicy. Zauwaz, ze (pierwsza definicja) = 1 -
(druga definicja), wiec nic dziwnego, ze calki tez sie w ten sposob roznia.
Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski

w takim razie *jak* obliczyć całkę Lebesgue`a ?

________________
Best regards
Aerdil

[Jakub Wroblewski]

Witam,

Post by Aerdil Avallac'h
w takim razie *jak* obliczyć całkę Lebesgue`a ?

Tak ogolnie, to poczytaj tu:
http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=32
rozdzial 8 i 9, albo w jakiejs ksiazce papierowej.

Przy czym w Twoim przypadku mamy o tyle latwiej, ze calka z funkcji
przyjmujacej tylko 0 i 1 jest rowna mierze zbioru punktow o wartosci 1,
czyli wystarczy wiedziec, jaka jest miara Lebesgue'a zbioru liczb wymiernych
w R. Czyli wystarczy pokazac (lub przytoczyc jako fakt powszechnie znany),
ze zbiory przeliczalne maja w R miare 0.

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski
--
FAQ list dyskusyjnych:
pl.sci.matematyka: http://ux1.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/
pl.sci.fizyka: http://dione.ids.pl/~pborys/fizyka/faq/
pl.sci.kosmos: http://baza.polsek.org.pl/

[Jakub Wroblewski]

Witam,

Post by Jakub Wroblewski

Post by Jakub Wroblewski
A jaka? Ja nie widze istotnej roznicy. Zauwaz, ze (pierwsza definicja) =

1 -

Post by Jakub Wroblewski
(druga definicja), wiec nic dziwnego, ze calki tez sie w ten sposob

roznia.
całki się nie róznią - to funkcje podcałkowe się róznią i

Pisales w pierwszym liscie, ze pierwsza calka to 1, a druga to 0.

Post by Jakub Wroblewski
przedziały w których ograniczona jest funkcja
poza tym nic mi nie wyjasnia nadal dlaczego
całka pierwszej funkcji dla jej przedziału (otwartego) jest równa 1

Otwartosc czy domknietosc przedzialu nie sprawia tu istotnej roznicy. A
calka jest 1, bo zbior liczb wymiernych ma miare 0, a wiec jesli z czegos,
co ma miare 1 (odcinek (0,1)) wyjmiesz cos, co ma miare 0, to miara nadal
bedzie 1.

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski
--
FAQ list dyskusyjnych:
pl.sci.matematyka: http://ux1.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/
pl.sci.fizyka: http://dione.ids.pl/~pborys/fizyka/faq/
pl.sci.kosmos: http://baza.polsek.org.pl/

[Adam Kolany]

Post by Jakub Wroblewski
Witam,

Post by Jakub Wroblewski
A
calka jest 1, bo zbior liczb wymiernych ma miare 0

a zbiĂłr liczb niewymiernych w przedziale nie ma miary 0 ?

Ano nie ma - taka to juz niesprawiedliwosc na tym swiecie. Liczb
niewymiernych jest znacznie wiecej, niz wymiernych, i tworza w odcinku (0,1)
zbior miary 1.

racji Ci tutaj nie sposob odmowic, ale ilosc z miara niewielkie ma
korelcje.

podobnei jak miara z topologia. chyba Steinhaus z Banahen cos o tym pisali??

Post by Jakub Wroblewski
Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski
--
pl.sci.matematyka: http://ux1.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/
pl.sci.fizyka: http://dione.ids.pl/~pborys/fizyka/faq/
pl.sci.kosmos: http://baza.polsek.org.pl/

[Maciek]

(.....)
f(x) = { 0 , x nalezy do wymiernych
{ 1, x nalezy do niewymiernych
i całka Lebesgue`a w przedziale (0,1) jest równa 1
f(x) = { 1, x nalezy do wymiernych
{ 0, x nalezy do niewymiernych
całka Lebesgue`a w przedziale <0,1> jest równa 0
dlaczego az taka różnica jest ?

Może dlatego, że
f_(z pierwszej książki)(x) = 1 - f_(z drugiej książki)(x)
Przy tym, zauważ, tylko druga z nich jest funkcją Dirichleta.


Maciek

[Aerdil Avallac'h]

Post by Aerdil Avallac'h
f(x) = { 1 , dla x należącego do liczb wymiernych
{ 0 , dla x należącego do liczb niewymiernych
f(x) = { 0 , x nalezy do wymiernych
{ 1, x nalezy do niewymiernych
i całka Lebesgue`a w przedziale (0,1) jest równa 1
f(x) = { 1, x nalezy do wymiernych
{ 0, x nalezy do niewymiernych
całka Lebesgue`a w przedziale <0,1> jest równa 0
dlaczego az taka różnica jest ?

Bo gdy dodamy obie funkcje to otrzymamy dla kazdego x
g(x) = 1
jej calka tez wynosi w tymprzedziale 1 wiec jesli
calka z pierwszej jest 1 to z drugiej musi byc 0

Istotnie, jednak mysle to rozpatrywac jako dwa rózne przypadki ;-)
A skad wiadomo ktora całka wynosi 1 a ktora 0 w takim przypadku ?

______________
Best regards
Aerdil

[Aerdil Avallac'h]

okay... juz rozumię ;)
dzięki za pomoc

________________
Best regards
Aerdil