Ograniczoność funkcji

[Bartosz Marganiec]

Witam,
mam pytanie co do ograniczoności funkcji. Jeśli zakładam, że funkcja
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda? Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?

Mnie się wydaje, że tak. Wystarczy pomyśleć o asymptotach. Gdyby nie
było warunku, że funkcja dąży do skończonej granicy, nic by z tego nie
wynikało, to znaczy wystarczyłaby zwykła funkcja liniowa f(x)=x.
Nieograniczona i ciągła.

[Bartosz Marganiec]

Post by Bartosz Marganiec
mam pytanie co do ograniczoności funkcji. Jeśli zakładam, że funkcja
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda? Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?

Może jaśniej. Założenia: funkcja jest nieograniczona, przyjmuje każdą
wartość z R. Przy tym lim(x->+oo) f(x) = M.

Wniosek: Funkcja posiada punkty nieciągłości?

Moim zdaniem oczywiste, ale oczywiste rzeczy też trzeba udowadniać.. ;)

[Jakub Wróblewski]

Witam,

Post by Bartosz Marganiec
Może jaśniej. Założenia: funkcja jest nieograniczona, przyjmuje każdą
wartość z R. Przy tym lim(x->+oo) f(x) = M.
Wniosek: Funkcja posiada punkty nieciągłości?

Obejrzyj:

f(x) = sin(x) e^(-x)

Pozdrawiam,
Jakub Wroblewski

[Lukasz Grabun]

Dnia Tue, 4 Jan 2005 21:04:04 +0000 (UTC), Bartosz Marganiec napisał(a):

(o funkcji)

Post by Bartosz Marganiec
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda? Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?

Absolutnie nie.

[Bartosz Marganiec]

Post by Lukasz Grabun

Post by Bartosz Marganiec
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda? Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?

Absolutnie nie.

Można rozwinąć? Mówiąc funkcja nieograniczona mam na myśli funkcję,
której wartość na pewno dąży do +/- oo, nie taką, która może przyjmować
takie wartości.

[Lukasz Grabun]

Post by Bartosz Marganiec

Post by Lukasz Grabun
Absolutnie nie.

Można rozwinąć? Mówiąc funkcja nieograniczona mam na myśli funkcję,
której wartość na pewno dąży do +/- oo, nie taką, która może przyjmować
takie wartości.

Jakub podał Ci już przykład.

[Mariusz Gromada]

Post by Bartosz Marganiec
mam pytanie co do ograniczoności funkcji. Jeśli zakładam, że funkcja
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda?

Nie.

Q - liczby wymierne
R\Q - liczby niewymierne

f(x) = { 1/x dla x \in R\Q, 0 dla x \in Q}

Post by Bartosz Marganiec
Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?

Nie.

f(x) = { 1/x dla x różnych od 0, 0 dla x = 0 }

[Bartosz Marganiec]

Post by Mariusz Gromada
Q - liczby wymierne
R\Q - liczby niewymierne
f(x) = { 1/x dla x \in R\Q, 0 dla x \in Q}

Post by Bartosz Marganiec
Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?

Nie.
f(x) = { 1/x dla x różnych od 0, 0 dla x = 0 }

Moje pytanie o posiadanie wartości w tym punkcie wynika z tego, ża owa
funkcja musi być ciągła. W sumie zapomniałem to napisać.

[Marcin Kysiak]

Post by Bartosz Marganiec
Moje pytanie o posiadanie wartości w tym punkcie wynika z tego, ża owa
funkcja musi być ciągła. W sumie zapomniałem to napisać.

Jeżeli f: R --> R jest ciągła i posiada skończone granice zarówno w +oo
jak i -oo, to jest ograniczona. To jest b. dobre ćwiczenie.

Do ograniczoności f w powyższym stwierdzeniu nie wystarcza jednak
założenie o istnieniu granicy skończonej tylko w +oo, co pokazuje
przykład Jakuba.

Pozdrawiam
Marcin

[Zbigniew Paprzycki]

Post by Bartosz Marganiec
Witam,
mam pytanie co do ograniczoności funkcji. Jeśli zakładam, że funkcja
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda? Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?
Mnie się wydaje, że tak. Wystarczy pomyśleć o asymptotach. Gdyby nie
było warunku, że funkcja dąży do skończonej granicy, nic by z tego nie
wynikało, to znaczy wystarczyłaby zwykła funkcja liniowa f(x)=x.
Nieograniczona i ciągła.
--
Pozdrawiam,

Funkcja taka może mieć nieskończoną granicę w jakimś punkcie, ale nie ma to
nic wspólnego z wartością funkcji w tym punkcie, ponieważ granicę (lub obie
jednostronne granice są własnością sąsiedztwa rozpatrywanego punktu, a nie
samego punktu) Sąsiedztwo, to otoczenie bez danego punktu. Funkcja może więc
tym samym mieć w takim punkcie dowolną wartość, natomiast może być
nieograniczona w sąsiedztwie punktu.
ZP

[Bartosz Marganiec]

Post by Zbigniew Paprzycki
Funkcja taka może mieć nieskończoną granicę w jakimś punkcie, ale nie ma to
nic wspólnego z wartością funkcji w tym punkcie, ponieważ granicę (lub obie
jednostronne granice są własnością sąsiedztwa rozpatrywanego punktu, a nie
samego punktu) Sąsiedztwo, to otoczenie bez danego punktu. Funkcja może więc
tym samym mieć w takim punkcie dowolną wartość, natomiast może być
nieograniczona w sąsiedztwie punktu.

OK, jednak ja pytam o to, czy posiadanie nieskończonej granicy w tym
punkcie wyklucza jej ciągłość. W tym punkcie funkcja jest nieciągła.
Musi być? Tzn. przypuśćmy, że mamy funkcję f(x) mającą obustronną granicę
w plus nieskończoności w punkcie x0 = 3. Jeśli przy tym f(x) dąży do wartości
skończonej, to wiemy, że funkcja musi posiadać punkt nieciągłości.
Prawda, czy nie?

[bo]

Post by Zbigniew Paprzycki

Post by Bartosz Marganiec
Witam,
mam pytanie co do ograniczoności funkcji. Jeśli zakładam, że funkcja
jest nieograniczona i ma w nieskończoności skończoną granicę, to wiem,
że w pewnym punkcie jej wartość dąży do +/- oo, prawda? Czy z tego
wynika, że w tym punkcie funkcja ta nie posiada wartości?
Mnie się wydaje, że tak. Wystarczy pomyśleć o asymptotach. Gdyby nie
było warunku, że funkcja dąży do skończonej granicy, nic by z tego nie
wynikało, to znaczy wystarczyłaby zwykła funkcja liniowa f(x)=x.
Nieograniczona i ciągła.
--
Pozdrawiam,

Funkcja taka może mieć nieskończoną granicę w jakimś punkcie, ale nie ma
to nic wspólnego z wartością funkcji w tym punkcie, ponieważ granicę (lub
obie jednostronne granice są własnością sąsiedztwa rozpatrywanego punktu,
a nie samego punktu) Sąsiedztwo, to otoczenie bez danego punktu. Funkcja
może więc tym samym mieć w takim punkcie dowolną wartość, natomiast może
być nieograniczona w sąsiedztwie punktu.
ZP

To za slabe zalozenia.

Gdyby byla jeszcze ciaglosc "przedzialami" chocby,

A tak to moze byc np

f(x) =

1 dla wymiernych

x/(x-1) dla niewymiernych.


funkcja ma wneiskonczonosci granice, niej est ograniczona,
wszedzie ma wartosc i w zadnym punkcie nr dazy do +/- oo

Boguslaw