Post by MaciekWitam.
Przepraszam ze sie do konca jasno nie wyrazilem.
Problem jest w tym ze rownanie wychodzi koszmarnie dlugie ( nawet podstawiajac
nowe zmienne ) lub cos niewlasciwie robie.
Albo cos niewlasciwie robisz, albo ....niestarannie napisales
Post by MaciekMam problem z rozwiazaniem ukladu rownan kwadratowych. (....)
(x-x1)^2+(y-y1)^2=r1^2 - okrag
(x-x1)^2/a^2+(y-y1)^2/b^2=1 - elipsa
Jak z tego widac, obie krzywe maja wspolny srodek - punkt (x1, y1).
Wprowadzamy wiec nowe wspolrzedne:
X = x - x1
Y = y - y1
i uklad rownan wyglada tak:
X^2 + Y^2 = r1^2
X^2/a^2 + Y^2/b^2 = 1
Mnozymy drugie rownanie stronami przez a^2 i odejmujemy od pierwszego
Y^2 * (1 - a^2/b^2) = r1^2 - a^2 [1]
albo inaczej:
Y^2 = (r1^2 - a^2) / (1 - a^2/b^2) [2]
albo, po rozszerzeniu o b^2:
Y^2 = b^2 * (r1^2 - a^2) / (b^2 - a^2) [3]
Teraz mamy mozliwe nastepujace przypadki.
1. a=b=r - rownanie [1] przyjmuje postac
Y^2 * 0 = 0
jest wiec nieoznaczone - mamy continuum rozwiazan.
Geometrycznie - obie krzywe pokrywaja sie, sa tym samym okregiem;
czyli: "przecinaja sie" wszedzie.
2a. a=b =/= r - rownanie [1] rownowazne jest wiec:
Y^2 * 0 = 'pewna liczba rozna od zera'
czyli sprzeczne - brak rozwiazan. Geometrycznie: druga krzywa
tez jest okregiem, ale roznym od pierwszego.
2b. b^2 < a^2 < r1^2 - rownanie [2] ma postac:
Y^2 = 'liczba dodatnia' / 'liczba ujemna'
nie ma wiec rozwiazan. Geometrycznie: dluzsza polos elipsy
jest krotsza od promienia okregu, wiec elipsa lezy wewnatrz
kola, i nie ma punktow wspolnych z okregiem.
2c. r1^2 < a^2 < b^2 - rownanie [2] ma postac:
Y^2 = 'liczba ujemna' / 'liczba dodatnia'
nie ma wiec rozwiazan. Geometrycznie: krotsza polos elipsy
jest dluzsza od promienia okregu, wiec elipsa lezy na zewnatrz
kola i nie ma punktow wspolnych z okregiem.
2d. r1^2 < b^2 < a^2
2e. a^2 < b^2 < r1^2 - w obu tych przypadkach wystepujace
w rownaniu [3] roznice:
r1^2 - a^2
b^2 - a^2
maja ten sam znak, przy czym pierwsza z nich ma wiekszy modul.
Otrzymujemy zatem
Y^2 > b^2
Ewentualne punkty przeciecia leza poza elipsa (bo rzedne punktow elipsy
nie przekraczaja co do modulu wartosci b) - a wiec przeciec nie ma.
Algebraicznie okaze sie to po podstawieniu Y^2 do dowolnego z dwu
danych rownan - wyjdzie wtedy rownanie
X^2 = 'liczba ujemna'
ktore nie ma rozwiazania.
Geometrycznie - jak w przyp. 2b i 2c.
3a. r1^2 = a^2 < b^2
3b. b^2 < a^2 = r1^2 - z rownania [2]:
Y^2 = 0
czyli Y = 0. Podstawiajac do danych rownan krzywych otrzymujemy:
X^2 = a^2 = r1^2
czyli
X = a lub X = -a
Ostatecznie rozwiazania sa dwa: (a,0) i (-a,0).
Geometrycznie - elipsa styczna w dwu wierzcholkach do okregu.
3c. r1^2 = b^2 < a^2
3d. a^2 < b^2 = r1^2 - z rownania [3]:
Y^2 = b^2 * (b^2-a^2)/(b^2-a^2) = b^2
Podstawiajac do danych rownan krzywych otrzymujemy:
X^2 = 0.
Ostatecznie rozwiazania sa dwa: (0,b) i (0,-b).
Geometrycznie - elipsa styczna w dwu wierzcholkach do okregu.
4a. a^2 < r1^2 < b^2
4b. b^2 < r1^2 < a^2 - te dwa przypadki zamykaja liste mozliwosci.
Z rownania [3] otrzymujemy
0 < Y^2 < b^2
Y^2 = b^2 * (r1^2 - a^2) / (b^2 - a^2)
a po podstawieniu do rownania okregu:
X^2 = r1^2 - Y^2
= (r1^2*b^2 - r1^2*a^2 - r1^2*b^2 + a^2*b^2) / (b^2 - a^2)
= (a^2*b^2 - r1^2*a^2) / (b^2 - a^2)
= a^2 * (r1^2 - b^2) / (a^2 - b^2)
To daje cztery rozwiazania:
(X', Y') (-X', Y')
(X', -Y') (-X', -Y')
gdzie:
X' = |a| * sqrt( (r1^2/b^2 - 1) / (a^2/b^2 - 1) )
Y' = |b| * sqrt( (r1^2/a^2 - 1) / (b^2/a^2 - 1) )
Geometrycznie - krotsza polos elipsy jest krotsza od promienia okregu,
a dluzsza polos - dluzsza od promienia okregu. Zatem w kazdej cwiartce
elipsa przecina sie z okregiem, co razem daje cztery punkty przeciecia.
HTH
Maciek
--
Wesprzyj Wielka Orkiestre Swiatecznej Pomocy!
Kup cokolwiek, byle drogo :-) http://aukcje.wosp.org.pl/