Wartość oczekiwana modułu zmiennej losowej

[Oldboy]

Witam

Próbuję wyprowadzić wzór na obliczanie wartości oczekiwanej modułu (wartości
absolutnej) zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym o znanych parametrach EX i DX.
Wydawało mi się, że to będzie łatwe, ale siedzę nad tym od godziny i nic.
Może ktoś miałby sugestię jak się za to zabrać?

AZ

[p***@dionizos.zind.ikem.pwr.wroc.pl]

Post by Oldboy
Witam
Próbuję wyprowadzić wzór na obliczanie wartości oczekiwanej modułu (wartości
absolutnej) zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym o znanych parametrach EX i DX.
Wydawało mi się, że to będzie łatwe, ale siedzę nad tym od godziny i nic.
Może ktoś miałby sugestię jak się za to zabrać?

Jak się zabrać - to nie wiem :(

Ale dam wynik:

http://en.wikipedia.org/wiki/Folded_normal_distribution

[Oldboy]

Dzięki.
Nie znałem nazwy "Folded" normal distribution, dlatego sam nie znalazłem tego w
Googlach.

Post by p***@dionizos.zind.ikem.pwr.wroc.pl
Jak się zabrać - to nie wiem :(
http://en.wikipedia.org/wiki/Folded_normal_distribution

[WuKa]

Post by Oldboy
Może ktoś miałby sugestię jak się za to zabrać?

Trzeba rozbić całkę na dwie: od -oo do 0 i od 0 do +oo, tę drugą dopełnić
pierwszą, ale wziętą z plusem (i oczywiście odjąć dodany składnik) a wtedy
otrzymasz E(|X|)=E(X)-2*pewna okrojona całka z identyczną częścią
podcałkową, jak pozostałe, ale w przedziale (-oo, 0).
I chyba tu może być problem, bo jest to całka z tej części gęstości, która
leży w lewej półpłaszczyźnie, a o stopniu "zanurzenia" decyduje głównie EX.
Po jakimś czasie udało mi się jednak całkowaniem przez części i kilkoma
przejściami granicznymi wyrazić ów "kawałek" całki w postaci: (dla krótkości
oznaczeń przyjmę, że EX=A, DX=B, a F(x) - dystrybuanta rozkładu
standaryzowanego N(0,1)))

-1/(B*sqrt(2pi))*[exp(-(A^2)/(2B))+sqrt(B*2pi)*(F(A/sqrt(B))-0.5)]

gdyby wyjściowy rozkład był od razu standaryzowany (A=EX=0, B=DX=1), to
mielibyśmy -1/sqrt(2pi)=-0.3999.. czyli ostatecznie
E(|X|)=EX-2*(-0.399...)=0 + 0.798..=0.798..

Złożenie wzoru w całość oraz sprawdzenie moich wyliczeń (nie wykluczam
jakiejś pomyłki) zostawiam Tobie.

WuKa

[Oldboy]

Serdeczne dzięki.
Ostatni raz całkowałem na studiach, a to było już dość dawno temu.
Trochę zmartwiło mnie występowanie we wzorze dystrybuanty rozkładu normalnego.
Ale szczęśliwie mój prawdziwy problem polegał na wyznaczeniu wartości
bezwzględnej różnicy dwóch zmiennych losowych X-Y o identycznym rozkładzie, więc
wszystko ładnie sie uprościło.

Post by WuKa
Trzeba rozbić całkę na dwie: od -oo do 0 i od 0 do +oo, tę drugą
dopełnić pierwszą, ale wziętą z plusem (i oczywiście odjąć dodany
składnik) a wtedy otrzymasz E(|X|)=E(X)-2*pewna okrojona całka z
identyczną częścią podcałkową, jak pozostałe, ale w przedziale (-oo, 0).
I chyba tu może być problem, bo jest to całka z tej części gęstości,
która leży w lewej półpłaszczyźnie, a o stopniu "zanurzenia" decyduje
głównie EX.
Po jakimś czasie udało mi się jednak całkowaniem przez części i kilkoma
przejściami granicznymi wyrazić ów "kawałek" całki w postaci: (dla
krótkości oznaczeń przyjmę, że EX=A, DX=B, a F(x) - dystrybuanta
rozkładu standaryzowanego N(0,1)))
-1/(B*sqrt(2pi))*[exp(-(A^2)/(2B))+sqrt(B*2pi)*(F(A/sqrt(B))-0.5)]
gdyby wyjściowy rozkład był od razu standaryzowany (A=EX=0, B=DX=1), to
mielibyśmy -1/sqrt(2pi)=-0.3999.. czyli ostatecznie
E(|X|)=EX-2*(-0.399...)=0 + 0.798..=0.798..
Złożenie wzoru w całość oraz sprawdzenie moich wyliczeń (nie wykluczam
jakiejś pomyłki) zostawiam Tobie.
WuKa

[Antek Laczkowski]

Post by Oldboy
Witam
Próbuję wyprowadzić wzór na obliczanie wartości oczekiwanej modułu
(wartości absolutnej) zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym o
znanych parametrach EX i DX.
Wydawało mi się, że to będzie łatwe, ale siedzę nad tym od godziny i nic.
Może ktoś miałby sugestię jak się za to zabrać?

Może: Wartosc_oczekiwana(f(x)+f(-x)) / 2
gdzie f = rozkład normalny zmiennej X, ale przesunięty o EX,
aby średnia dawała zero ?

Antek