jak narysować wykres funkcji zadanej parametrycznie ?

[josh]

Witam
mam problem z nastepujacym zadaniem:
oblicz pole i narysuj petli zadanej rownaniami parametrycznymi :
x=t^2-1 y=t^3-t

rozwiazanie jest dostepne w sieci
pod linkiem:
http://www.oen.agh.edu.pl/online/notatki2002/19/?go=zad4zestaw4&styl=&come=e3#e3
ale mam problem z interpretacja:
w jaki sposób po analizie x=t^2-1 y=t^3-t i sporządzeniu tabelki mozna
narysowac podany wykres ??
Czy wykresy innych funkcji np: x=2a*cos(t)-a*cos(2t)
y=2a*sin(t)-a*sin(2t) gdzie a to stała
rysujemy też w podany sposób ??

[£ukasz Kalbarczyk]

Post by josh
Witam
x=t^2-1 y=t^3-t

t=sqrt(x+1)
y=t^3-t=t(t^2-1)=tx=x*sqrt(x+1)

z dokł do znaku.

[Adam Kolany]

Post by josh
w jaki sposób po analizie x=t^2-1 y=t^3-t i sporządzeniu tabelki mozna
narysowac podany wykres ??
Czy wykresy innych funkcji np: x=2a*cos(t)-a*cos(2t)
y=2a*sin(t)-a*sin(2t) gdzie a to stała
rysujemy też w podany sposób ??

narysuj x=x(t) i y=y(t) na jednym wykresie (t - oś pozioma, x i y pionowa
chwilowo), do tego prostą przekątną układu (y=x) i dalej wymyśl sam.

[Maciek]

Post by josh
Witam
x=t^2-1 y=t^3-t
rozwiazanie jest dostepne w sieci
http://www.oen.agh.edu.pl/online/notatki2002/19/?go=zad4zestaw4&styl=&come=e3#e3
w jaki sposób po analizie x=t^2-1 y=t^3-t i sporządzeniu tabelki mozna
narysowac podany wykres ??

Praktycznie tak samo, jak wykres funkcji typu y=f(x).
Trzeba zbadac zmiennosc funkcji, znalezc jej szczegolne wlasnosci,
obliczone charakterystyczne punkty naniesc na papier, polaczyc
kreska (kreskami) i juz. :)

Punkty charakterystyczne to np. przeciecia krzywej z osiami ukladu
wspolrzednych, z innymi prostymi rownoleglymi do osi, z dwusiecznymi
cwiartek ukladu, itp.

o) przeciecia z OY znajdujesz rozwiazujac wzgledem t
rownanie x(t)=0 i podstawiajac znalezione t do y(t),
przeciecia z OX - rozwiazujac y(t)=0 i podstawiajac t do x(t);
o) przeciecia z prostymi rownoleglymi do osi znajdziesz
rozwiazujac odpowiednio rownania x(t)=c albo y(t)=c
o) przeciecia z dwusiecznymi - z rownan x(t)=y(t) i x(t)=-y(t)

Do punktow charakterystycznych naleza tez samoprzeciecia krzywej.
Krzywa przecina sie w P(X,Y) jesli istnieja dwie lub wiecej
rozne wartosci t, dla ktorych x(t)=X i y(t)=Y.
Punkty takie znajdziesz zatem szukajac rozwiazan (t1,t2) ukladu:

{ x(t1) = x(t2)
{ y(t1) = y(t2)
{ t1 =/= t2


Dalej, charakterystyczne sa lokalne "maksima" krzywej - punkty,
w ktorych krzywa siega lokalnie najdalej w prawo, w lewo,
w gore albo w dol.
Jesli wyobrazisz sobie krzywa jako tor ruchu punktu w czasie t
(przy czym x(t) i y(t) opisuja chwilowe wspolrzedne punktu),
to latwo spostrzezesz pewne warunki istnienia takich ekstremow.
Np. jesli w chwili t0 funkcja x(t) osiaga maksimum, a w pewnym
otoczeniu t0 funkcja y(t) jest monotoniczna, to punkt (x(t),y(t))
tuz przed "momentem" t0 posuwa sie w gore albo w dol - zaleznie
od tego, czy y(t) jest rosnaca czy malejaca - i rownoczesnie
w prawo, ku wiekszym iksom. W chwili t0 zas "zawraca" w strone
malejacych iksow. Zatem wartosc t0 wyznacza punkt "prawego
lokalnego maksimum" krzywej.
Jego wspolrzednymi sa oczywiscie x(t0), y(t0).


Mozesz rowniesz szukac "maksimow" w kierunkach posrednich,
badajac ekstrema funkcji:
t -> A*x(t) + B*y(t)
gdzie A,B - wybrane stale, rozne od zera.
Np. "maksima" w kierunku w prawo-gora (i rownoczesnie lewo-dol)
znajdziesz wyznaczajac ekstrema sumy
x(t) + y(t)


Dalej, majac punkty charakterystyczne mozesz okreslic kierunek,
w jakim krzywa przez te punkty przechodzi. Odwolujac sie znow
do analogii kinetycznej, skoro x(t), y(t) sa wspolrzednymi
poruszajacego sie punktu, to pochodne x'(t), y'(t) sa skladowymi
jego predkosci. Zatem wektor [ x'(t), y'(t) ] okresla "predkosc
chwilowa" punktu, wyznacza wiec kierunek stycznej do krzywej.
Oczywiscie pod warunkiem, ze funkcje x(t),y(t) sa w danym
punkcie rozniczkowalne! No i dodakowo: ze pochodne nie zeruja
sie rownoczesnie.
Po zaznaczeniu w punktach charakterystycznych stycznej do krzywej
znacznie latwiej bedzie narysowac sama te krzywa.


Dalej, jezeli w pewnych punktach t funkcja x(t) ma granice
w plus (albo minus) nieskonczonosci, to znaczy ze dla tych
wartosci parametru t krzywa ucieka nieskonczenie daleko w prawo
(albo w lewo). Jesli dla tych samych wartosci t funkcja y(t)
ma granice skonczona, to krzywa ma odpowiednia asymptote
pozioma. Odwrotnie, jesli y(t) ucieka do nieskonczonosci,
a x(t) jest skonczone, krzywa ma asymptote pionowa.
Jesli do nieskonczonosci uciekaja obie funkcje jednoczesnie,
to nalezy zbadac granice ilorazu y(t)/x(t) - moze okazac
sie skonczony, a wtedy wiemy, ze krzywa ma asymptote ukosna.

Dalej,...

Dalej kombinuj sam.
Na przyklad co wynika z istnienia badz nieistnienia, wlasciwej
badz nie, granicy: x(t), y(t) albo obu razem, przy t dazacym
do minus albo plus nieskonczonosci.
Ewentualnie co wynika z istnienia granicy ich ilorazu (zwlaszcza
gdy x() i y() maja granice niewlasciwa) lub ilorazu ich pochodnych
(zwlaszcza gdy x() i y() maja granice wlasciwa).


Maciek

[Maciek]

Post by josh
Witam
x=t^2-1 y=t^3-t
rozwiazanie jest dostepne w sieci
http://www.oen.agh.edu.pl/online/notatki2002/19/?go=zad4zestaw4&styl=&come=e3#e3
(.....)

Swoja droga, rysowanie wykresu nie jest konieczne
- choc oczywiscie bardzo ulatwia zabawe. ;-)
(Czy to chinskie powiedzenie: "jeden obraz wart tysiaca slow"?)

Mozna zadanie rozwiazac rowniez czysto rachunkowo.


Poniewaz wychodzi troche za dlugie, dam w dwu postach:
w tym zidentyfikujemy petle, w nastepnym obliczymy pole.


Zaczynamy od stwierdzenia, co to za "petla", ktorej pole mamy policzyc.
Petla to luk (odcinek) krzywej, ktorego konce pokrywaja sie.
Przede wszystkim wiec interesuja nas punkty samoprzeciecia krzywej.
Jak napisalem w poprzednim poscie, punkty te znajdujemy rozwiazujac
uklad:
{ x(t1) = x(t2) [1a]
{ y(t1) = y(t1) [1b]
{ t1 =/= t2 [1c]

Mamy wiec:
{ t1^2 - 1 = t2^2 - 1 [2a]
{ t1*x(t1) = t2*x(t2) [2b]

Z [2a] wynika:
|t1| = |t2| [3]
Konfrontujac [3] z [1c] otrzymujemy
t1 = -t2 [4]

Podstawiamy [4] do [2b]:
t1*x(t1) = -t1*x(t2)
Ale skoro [1a], to mamy dalej
t1*x(t1) = -t1*x(t1)
czyli
t1 * x(t1) = 0

To oznacza, ze
t1 = 0 [5a]
lub
x(t1) = 0 [5b]

Oczywiscie rozwiazanie [5a] wykluczamy, gdyz byloby ono
sprzeczne z [4] i [1c].

Mamy zatem [5b]:
x(t1) = 0

Po rozwinieciu x(t)=t^2-1 daje nam to rozwiazanie
t1 = -1, t2 = 1
co spelnia [4] i zgadza sie z [1c].

Wiecej rozwiazan uklad [1] nie ma (pomijajac trywialna
permutacje: t1=1, t2=-1) - krzywa ma wiec tylko jeden punkt
samoprzeciecia, przez ktory przechodzi tylko dwa razy.
Tym samym mamy jedna petle, odpowiadajaca przedzialowi parametru
-1 \< t \< 1
zamknieta w punkcie podwojnym
x(-1) = x(1) = 0
y(-1) = y(1) = 0

W zasadzie stwierdzenie "mamy petle" jest przedwczesne.
Nalezy najpierw wskazac, ze skoro x() i y() sa wielomianami,
to sa ograniczone na kazdym ograniczonym przedziale.
W szczegolnosci sa ograniczone na [-1;+1], a zatem krzywa
na pewno na tym odcinku wartosci t nie "ucieka" do nieskonczonosci.
Tym samym - teraz dopiero - MAMY porzadna petle, ograniczajaca
pewien obszar.


W nastepnym poscie policzymy jego pole.

Maciek

[Maciek]

W poprzedniej wiadomosci, news:bgtntj$6cb$***@szmaragd.futuro.pl
zidentyfikowalismy przedzial wartosci parametru "t" odpowiadajacy
petli krzywej, ograniczajacej pewien obszar.

Teraz zatem mozemy zabrac sie za policzenie jego pola.


Bynajmniej nie potrzeba tu korzystac z jego symetrii,
ani rozbijac petli na dwa luki (lub wiecej!) i calkowac
osobno fragmentow pol pod poszczegolnymi lukami.

Wystarczy zauwazyc, ze rozniczce dt odpowiada "prawie
prostokatny" pasek pola zawarty pomiedzy odpowiednim
odcinkiem krzywej a osia OY. Pasek ten ma dlugosc
(wzdluz osi OX) x i szerokosc (wzdluz OY) dy.
Odpowiada on wiec rozniczce pola
dS = x(t) * dy = x(t) * y'(t) * dt

Hihi, ciekawe, czy znowu sypna sie gromy? :-))))

Cale pole zamkniete przez petle wynosi wiec:

S = Calka od (t=-1) do (t=+1) z dS
= Calka od -1 do +1 z x(t)*y'(t) dt
= Calka od -1 do +1 z (t^2-1)*(3t^2-1) dt
= Calka od -1 do +1 z (3t^4 - 4t^2 + 1) dt

Funkcja pierwotna calkowanego trojmianu jest
F(t) = 3/5 t^5 - 4/3 t^3 + t + C

zatem

S = F(1) - F(-1)
= (3/5 - 4/3 + 1) - (-3/5 + 4/3 - 1)
= 4/15 - (-4/15)
= 8/15

A wiec wynik podany na wskazanej przez josh-a stronie
z "Cwiczeniami z Analizy MAtematycznej dla LENIWYCH"
jest bledny.

Proponuje cwiczenie dla leniwych:
prosze znalezc blad na ww stronie.
(To naprawde jest cwiczenie dla *leniwych*.)


Mozemy rownie dobrze liczyc paskami "pionowymi", tak jak
autor strony. Otrzymamy wowczas wynik poprawny:

dS = y(t) * dx = y(t)*x'(t) dt
S = Calka od -1 do +1 z (y * x' * dt)
= Calka od -1 do +1 z (t^3 - t)*2t dt
= Calka od -1 do +1 z (2t^4 - 2t^2) dt

F(t) = 2/5 t^5 - 2/3 t^3 + C

S = F(1) - F(-1)
= (2/5 - 2/3) - (-2/5 + 2/3)
= -4/15 - (-4/15)
= -8/15

Niewlasciwy znak wynika z "lewego" obiegu petli przez krzywa
i spokojnie mozna go zignorowac.
Jak wiadomo, zamieniajac granice calkowania (tzn. calkujac
od +1 do -1) otrzymalibysmy wynik o przeciwnym znaku, czyli
dodatni.
Odpowiada to zastapieniu "t" przez "-t" w calym zadaniu - zmiana
jest czysto formalna, bo przeciez sama krzywa, petla, ograniczony
przez nia obszar i jego pole NIE zmienia sie przy tym.
Calosc sprowadza sie do spojrzenia na kartke "od tylu".


Mozemy rowniez - zamiast prostokatami - calkowac trojkatami.
Otrzymany wynik bedzie lepszy, bo trojkaty lepiej wpasowuja
sie w luk krzywej niz prostokaty. ;-)))
Bierzemy rozniczke dt, odpowiadajacy jej odcinek krzywej
zastepujemy cieciwa, i na tej cieciwie oraz punkcie (0,0)
rozpinamy trojkat. Pole tego trojkata - rozniczke zukanego
pola obszaru ograniczonego przez petle - mozemy wyrazic
poprzez iloczyn wektorowy:

dS = 1/2 || [x, y] \times [dx, dy] ||
= 1/2 (x dy - y dx)

(przez nawiasy kwadratowe [.] oznaczam wektory,
przez ||.|| - modul wektora).
Podstawiajac:

x = t^2 - 1
y = t^3 - t
dx = 2t dt
dy = (3t^2 - 1) dt

otrzymujemy:

dS = 1/2 ((t^2-1)*(3t^2-1) dt - (t^3-t)*2t dt)
= 1/2 (t^4 - 2t^2 + 1) dt

Zatem
S = Calka od -1 do 1 z dS =
= 1/2 Calka od -1 do 1 (t^4 - 2t^2 + 1) dt

F(t) = 1/5 t^5 - 2/3 t^3 + t

S = 1/2 (F(1) - F(-1))
= 1/2 ((1/5 - 2/3 + 1) - (-1/5 + 2/3 - 1))
= 1/2 (8/15 - (-8/15))
= 8/15


Maciek

[Maciek]

Post by Maciek
{ x(t1) = x(t2) [1a]
{ y(t1) = y(t1) [1b]
{ t1 =/= t2 [1c]

Tu oczywiscie mialo byc:

{ x(t1) = x(t2) [1a]
{ y(t1) = y(t2) [1b]
{ t1 =/= t2 [1c]

Post by Maciek
Bierzemy rozniczke dt, odpowiadajacy jej odcinek krzywej
zastepujemy cieciwa, i na tej cieciwie oraz punkcie (0,0)
rozpinamy trojkat. Pole tego trojkata - rozniczke zukanego
pola obszaru ograniczonego przez petle - mozemy wyrazic
dS = 1/2 || [x, y] \times [dx, dy] ||
= 1/2 (x dy - y dx)

Oczywiscie ten iloczyn wektorowy "ma prawo istniec" w przestrzeni
trojwymiarowej, wiec wektory powinny byc zapisane w postaci:

[x, y, 0] \times [dx, dy, 0]

Poza tym nieslusznie uzylem symbolu (i pojecia) normy wektora.
Uzycie jej w tym miejscu skutkowaloby wzieciem *modulu*
z trzeciej skladowej iloczynu, czyli doprowadziloby do
wyrazenia:
dS = 1/2 | x dy - y dx |
co jest bledem.
Wprawdzie w rozpatrywanym tu zadaniu nie doprowadziloby to
do katastrofy, gdyz wyrazenie (x dy - y dx) nie zmienia znaku
w przedziale t \in [-1, 1]. Jednak gdyby krzywa byla bardziej
powyginana, otrzymany wynik moglby byc bledny.

Poprawnie nalezy wiec albo zapisac "wyjecie" trzeciej
skladowej z iloczynu wektorowego, albo dodatkowo iloczyn
wektorowy pomnozyc skalarnie przez wersor trzeciej osi:

dS = 1/2 ( [x, y, 0] \times [dx, dy, 0] )_{z}
= 1/2 ( [x, y, 0] \times [dx, dy, 0] ) \dot [0, 0, 1]
= 1/2 (x dy - y dx)


Przepraszam za zamieszanie.

Maciek